Question I :
Graphe du réseau Parmi les lettres a, b, c, d, e, f, g, h, la première lettre de mon nom est (e) et la dernière également (e) donc on pris (d) à la place : Que ntin Bid one
On a donc retiré de L1 (e) un lien sortant (celui de e vers a) et on a ajouté un lien entrant à L2 (d) (celui de b vers d).
On identifie donc trois composantes fortement connexes :
- une entre les noeuds g et h
- une entre les noeuds a, b, c, d et f
- une au noeud e
Question II
Le calcul de la centralité du vecteur propre par multiplication matricielle correspond à
P
i
=
∑
j
M
i
j
∗
P
j
{\displaystyle Pi=\sum _{j}Mij*Pj}
Avec Pj la densité de matière pour le noeud J et Mij la matrice représentant le système linéaire que l'on obtient en calculant la matrice d'adjacence du graphe sur la densité des noeuds.
Aussi pour écrire cette multiplication matricielle il faut procéder en trois étapes :
- D'abord créer la matrice d'adjacence du graphe en considérant que la somme de Pi (la densité de matière d'un noeud i)=1
A
B
C
D
E
F
G
H
A
0
1
1
1
0
0
0
0
B
0
0
1
1
1
0
0
0
C
0
0
0
0
0
0
1
1
D
0
0
1
0
0
1
0
0
E
0
0
0
0
0
0
0
0
F
1
0
0
0
0
0
0
0
G
0
0
0
0
0
0
0
1
H
0
0
0
0
0
0
1
0
- Une fois cette matrice obtenue, on peut calculer la matrice de diffusion en sortie de la matière, M :
A
B
C
D
E
F
G
H
A
0
(
1
3
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{3}}\right)}
(
1
3
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{3}}\right)}
(
1
3
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{3}}\right)}
0
0
0
0
B
0
0
(
1
3
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{3}}\right)}
(
1
3
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{3}}\right)}
(
1
3
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{3}}\right)}
0
0
0
C
0
0
0
0
0
0
(
1
2
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\right)}
(
1
2
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\right)}
D
0
0
(
1
2
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\right)}
0
0
(
1
2
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\right)}
0
0
E
0
0
0
0
0
0
0
0
F
1
0
0
0
0
0
0
0
G
0
0
0
0
0
0
0
1
H
0
0
0
0
0
0
1
0
- Enfin en regardant chaque colonne de chaque noeud on obtient la matrice de diffusion en entrée de la matière, Mt :
A
B
C
D
E
F
G
H
A
0
0
0
0
0
1
0
0
B
(
1
3
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{3}}\right)}
0
0
0
0
0
0
0
C
(
1
3
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{3}}\right)}
(
1
3
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{3}}\right)}
0
(
1
2
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\right)}
0
0
0
0
D
(
1
3
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{3}}\right)}
(
1
3
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{3}}\right)}
0
0
0
0
0
0
E
0
(
1
3
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{3}}\right)}
0
0
0
0
0
0
F
0
0
0
(
1
2
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\right)}
0
0
0
0
G
0
0
(
1
2
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\right)}
0
0
0
0
1
H
0
0
(
1
2
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\right)}
0
0
0
1
0
La centralité du vecteur propre est don égal à la matrice obtenue multipliée par la densité de matière des noeuds soit :
(
P
a
P
b
P
c
P
d
P
e
P
f
P
g
P
h
)
=
(
0
0
0
0
0
1
0
0
(
1
3
)
0
0
0
0
0
0
0
(
1
3
)
(
1
3
)
0
(
1
2
)
0
0
0
0
(
1
3
)
(
1
3
)
0
0
0
0
0
0
0
(
1
3
)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(
1
2
)
0
0
0
0
0
0
(
1
2
)
0
0
0
0
1
0
0
(
1
2
)
0
0
0
1
0
)
∗
{
P
a
P
b
P
c
P
d
P
e
P
f
P
g
P
h
}
{\displaystyle {\begin{pmatrix}Pa\\Pb\\Pc\\Pd\\Pe\\Pf\\Pg\\Ph\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0&1&0&0\\\left({\frac {1}{3}}\right)&0&0&0&0&0&0&0\\\left({\frac {1}{3}}\right)&\left({\frac {1}{3}}\right)&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&0\\\left({\frac {1}{3}}\right)&\left({\frac {1}{3}}\right)&0&0&0&0&0&0\\0&\left({\frac {1}{3}}\right)&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&0\\0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&0&1\\0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&1&0\end{pmatrix}}*{\begin{Bmatrix}Pa\\Pb\\Pc\\Pd\\Pe\\Pf\\Pg\\Ph\end{Bmatrix}}}
Avant de passer la suite, nous allons réaliser la distribution de la matière via 2 itérations pour ensuite pouvoir comparer la valeur quand on applique un coefficient s :
- première distribution de matière :
(
0
0
0
0
0
1
0
0
(
1
3
)
0
0
0
0
0
0
0
(
1
3
)
(
1
3
)
0
(
1
2
)
0
0
0
0
(
1
3
)
(
1
3
)
0
0
0
0
0
0
0
(
1
3
)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(
1
2
)
0
0
0
0
0
0
(
1
2
)
0
0
0
0
1
0
0
(
1
2
)
0
0
0
1
0
)
∗
{
(
1
8
)
(
1
8
)
(
1
8
)
(
1
8
)
(
1
8
)
(
1
8
)
(
1
8
)
(
1
8
)
}
=
(
(
1
8
)
(
1
24
)
(
7
48
)
(
1
12
)
(
1
24
)
(
1
16
)
(
3
16
)
(
3
16
)
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&0&0&0&1&0&0\\\left({\frac {1}{3}}\right)&0&0&0&0&0&0&0\\\left({\frac {1}{3}}\right)&\left({\frac {1}{3}}\right)&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&0\\\left({\frac {1}{3}}\right)&\left({\frac {1}{3}}\right)&0&0&0&0&0&0\\0&\left({\frac {1}{3}}\right)&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&0\\0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&0&1\\0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&1&0\end{pmatrix}}*{\begin{Bmatrix}\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\end{Bmatrix}}={\begin{pmatrix}\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{24}}\right)\\\left({\frac {7}{48}}\right)\\\left({\frac {1}{12}}\right)\\\left({\frac {1}{24}}\right)\\\left({\frac {1}{16}}\right)\\\left({\frac {3}{16}}\right)\\\left({\frac {3}{16}}\right)\end{pmatrix}}}
- deuxième distribution de matière :
(
0
0
0
0
0
1
0
0
(
1
3
)
0
0
0
0
0
0
0
(
1
3
)
(
1
3
)
0
(
1
2
)
0
0
0
0
(
1
3
)
(
1
3
)
0
0
0
0
0
0
0
(
1
3
)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(
1
2
)
0
0
0
0
0
0
(
1
2
)
0
0
0
0
1
0
0
(
1
2
)
0
0
0
1
0
)
∗
(
(
1
8
)
(
1
24
)
(
7
48
)
(
1
12
)
(
1
24
)
(
1
16
)
(
3
16
)
(
3
16
)
)
=
{
(
1
16
)
(
1
24
)
(
7
72
)
(
1
18
)
(
1
72
)
(
1
24
)
(
25
96
)
(
25
96
)
}
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&0&0&0&1&0&0\\\left({\frac {1}{3}}\right)&0&0&0&0&0&0&0\\\left({\frac {1}{3}}\right)&\left({\frac {1}{3}}\right)&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&0\\\left({\frac {1}{3}}\right)&\left({\frac {1}{3}}\right)&0&0&0&0&0&0\\0&\left({\frac {1}{3}}\right)&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&0\\0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&0&1\\0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&1&0\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{24}}\right)\\\left({\frac {7}{48}}\right)\\\left({\frac {1}{12}}\right)\\\left({\frac {1}{24}}\right)\\\left({\frac {1}{16}}\right)\\\left({\frac {3}{16}}\right)\\\left({\frac {3}{16}}\right)\end{pmatrix}}={\begin{Bmatrix}\left({\frac {1}{16}}\right)\\\left({\frac {1}{24}}\right)\\\left({\frac {7}{72}}\right)\\\left({\frac {1}{18}}\right)\\\left({\frac {1}{72}}\right)\\\left({\frac {1}{24}}\right)\\\left({\frac {25}{96}}\right)\\\left({\frac {25}{96}}\right)\end{Bmatrix}}}
Question III :
Je prends 1 comme matière et j'initialise :
(
P
a
P
b
P
c
P
d
P
e
P
f
P
g
P
h
)
=
{
(
1
8
)
(
1
8
)
(
1
8
)
(
1
8
)
(
1
8
)
(
1
8
)
(
1
8
)
(
1
8
)
}
{\displaystyle {\begin{pmatrix}Pa\\Pb\\Pc\\Pd\\Pe\\Pf\\Pg\\Ph\end{pmatrix}}={\begin{Bmatrix}\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\end{Bmatrix}}}
Puis je fais une première itération :
(
0
0
0
0
0
1
0
0
(
1
3
)
0
0
0
0
0
0
0
(
1
3
)
(
1
3
)
0
(
1
2
)
0
0
0
0
(
1
3
)
(
1
3
)
0
0
0
0
0
0
0
(
1
3
)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(
1
2
)
0
0
0
0
0
0
(
1
2
)
0
0
0
0
1
0
0
(
1
2
)
0
0
0
1
0
)
∗
{
(
1
8
)
(
1
8
)
(
1
8
)
(
1
8
)
(
1
8
)
(
1
8
)
(
1
8
)
(
1
8
)
}
=
(
(
1
8
)
(
1
24
)
(
7
48
)
(
1
12
)
(
1
24
)
(
1
16
)
(
3
16
)
(
3
16
)
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&0&0&0&1&0&0\\\left({\frac {1}{3}}\right)&0&0&0&0&0&0&0\\\left({\frac {1}{3}}\right)&\left({\frac {1}{3}}\right)&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&0\\\left({\frac {1}{3}}\right)&\left({\frac {1}{3}}\right)&0&0&0&0&0&0\\0&\left({\frac {1}{3}}\right)&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&0\\0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&0&1\\0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&1&0\end{pmatrix}}*{\begin{Bmatrix}\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\end{Bmatrix}}={\begin{pmatrix}\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{24}}\right)\\\left({\frac {7}{48}}\right)\\\left({\frac {1}{12}}\right)\\\left({\frac {1}{24}}\right)\\\left({\frac {1}{16}}\right)\\\left({\frac {3}{16}}\right)\\\left({\frac {3}{16}}\right)\end{pmatrix}}}
a) Je multiplie la matière dans chaque noeud par 0,9 :
(
(
1
8
)
(
1
24
)
(
7
48
)
(
1
12
)
(
1
24
)
(
1
16
)
(
3
16
)
(
3
16
)
)
∗
0
,
9
=
{
(
9
80
)
(
3
80
)
(
21
160
)
(
3
40
)
(
3
80
)
(
9
160
)
(
27
160
)
(
27
160
)
}
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{24}}\right)\\\left({\frac {7}{48}}\right)\\\left({\frac {1}{12}}\right)\\\left({\frac {1}{24}}\right)\\\left({\frac {1}{16}}\right)\\\left({\frac {3}{16}}\right)\\\left({\frac {3}{16}}\right)\end{pmatrix}}*0,9={\begin{Bmatrix}\left({\frac {9}{80}}\right)\\\left({\frac {3}{80}}\right)\\\left({\frac {21}{160}}\right)\\\left({\frac {3}{40}}\right)\\\left({\frac {3}{80}}\right)\\\left({\frac {9}{160}}\right)\\\left({\frac {27}{160}}\right)\\\left({\frac {27}{160}}\right)\end{Bmatrix}}}
b) Je partage S-1 de matière entre tous les noeuds soit 0,9 - 1 = 0,1. La matière totale étant de 1, je dois partager entre tous les noeuds 1 * 0,1 =
(
1
10
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{10}}\right)}
(
1
80
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{80}}\right)}
{
(
9
80
)
(
3
80
)
(
21
160
)
(
3
40
)
(
3
80
)
(
9
160
)
(
27
160
)
(
27
160
)
}
+
{
(
1
80
)
(
1
80
)
(
1
80
)
(
1
80
)
(
1
80
)
(
1
80
)
(
1
80
)
(
1
80
)
}
=
(
(
1
8
)
(
1
20
)
(
23
160
)
(
7
80
)
(
1
20
)
(
11
160
)
(
29
160
)
(
29
160
)
)
{\displaystyle {\begin{Bmatrix}\left({\frac {9}{80}}\right)\\\left({\frac {3}{80}}\right)\\\left({\frac {21}{160}}\right)\\\left({\frac {3}{40}}\right)\\\left({\frac {3}{80}}\right)\\\left({\frac {9}{160}}\right)\\\left({\frac {27}{160}}\right)\\\left({\frac {27}{160}}\right)\end{Bmatrix}}+{\begin{Bmatrix}\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\end{Bmatrix}}={\begin{pmatrix}\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{20}}\right)\\\left({\frac {23}{160}}\right)\\\left({\frac {7}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{20}}\right)\\\left({\frac {11}{160}}\right)\\\left({\frac {29}{160}}\right)\\\left({\frac {29}{160}}\right)\end{pmatrix}}}
c) Afin de vérifier que la matière est bien constante, il suffit de comparer la densité de matière obtenue à la quantité de matière de départ soit :
(
1
8
)
+
(
1
20
)
=
(
23
160
)
+
(
7
80
)
+
(
1
20
)
+
(
11
160
)
+
(
29
160
)
+
(
29
160
)
=
0
,
8875
{\displaystyle \left({\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{20}}\right)=\left({\frac {23}{160}}\right)+\left({\frac {7}{80}}\right)+\left({\frac {1}{20}}\right)+\left({\frac {11}{160}}\right)+\left({\frac {29}{160}}\right)+\left({\frac {29}{160}}\right)=0,8875}
Faisons à présent la seconde itération de matière :
(
0
0
0
0
0
1
0
0
(
1
3
)
0
0
0
0
0
0
0
(
1
3
)
(
1
3
)
0
(
1
2
)
0
0
0
0
(
1
3
)
(
1
3
)
0
0
0
0
0
0
0
(
1
3
)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(
1
2
)
0
0
0
0
0
0
(
1
2
)
0
0
0
0
1
0
0
(
1
2
)
0
0
0
1
0
)
∗
(
(
1
8
)
(
1
24
)
(
7
48
)
(
1
12
)
(
1
24
)
(
1
16
)
(
3
16
)
(
3
16
)
)
=
{
(
1
16
)
(
1
24
)
(
7
72
)
(
1
18
)
(
1
72
)
(
1
24
)
(
25
96
)
(
25
96
)
}
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&0&0&0&1&0&0\\\left({\frac {1}{3}}\right)&0&0&0&0&0&0&0\\\left({\frac {1}{3}}\right)&\left({\frac {1}{3}}\right)&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&0\\\left({\frac {1}{3}}\right)&\left({\frac {1}{3}}\right)&0&0&0&0&0&0\\0&\left({\frac {1}{3}}\right)&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&0\\0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&0&1\\0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&1&0\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{24}}\right)\\\left({\frac {7}{48}}\right)\\\left({\frac {1}{12}}\right)\\\left({\frac {1}{24}}\right)\\\left({\frac {1}{16}}\right)\\\left({\frac {3}{16}}\right)\\\left({\frac {3}{16}}\right)\end{pmatrix}}={\begin{Bmatrix}\left({\frac {1}{16}}\right)\\\left({\frac {1}{24}}\right)\\\left({\frac {7}{72}}\right)\\\left({\frac {1}{18}}\right)\\\left({\frac {1}{72}}\right)\\\left({\frac {1}{24}}\right)\\\left({\frac {25}{96}}\right)\\\left({\frac {25}{96}}\right)\end{Bmatrix}}}
a) Je multiplie la matière dans chaque noeud par 0,9
{
(
1
16
)
(
1
24
)
(
7
72
)
(
1
18
)
(
1
72
)
(
1
24
)
(
25
96
)
(
25
96
)
}
∗
0.9
=
{
(
9
160
)
(
3
80
)
(
7
80
)
(
1
20
)
(
1
80
)
(
3
80
)
(
15
64
)
(
15
64
)
}
{\displaystyle {\begin{Bmatrix}\left({\frac {1}{16}}\right)\\\left({\frac {1}{24}}\right)\\\left({\frac {7}{72}}\right)\\\left({\frac {1}{18}}\right)\\\left({\frac {1}{72}}\right)\\\left({\frac {1}{24}}\right)\\\left({\frac {25}{96}}\right)\\\left({\frac {25}{96}}\right)\end{Bmatrix}}*0.9={\begin{Bmatrix}\left({\frac {9}{160}}\right)\\\left({\frac {3}{80}}\right)\\\left({\frac {7}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{20}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {3}{80}}\right)\\\left({\frac {15}{64}}\right)\\\left({\frac {15}{64}}\right)\end{Bmatrix}}}
b) Je partage S-1 de matière entre tous les noeuds soit 0,9 - 1 = 0,1. La matière totale étant de 1, je dois partager entre tous les noeuds 1 * 0,1 =
(
1
10
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{10}}\right)}
(
1
80
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{80}}\right)}
{
(
9
160
)
(
3
80
)
(
7
80
)
(
1
20
)
(
1
80
)
(
3
80
)
(
15
64
)
(
15
64
)
}
+
{
(
1
80
)
(
1
80
)
(
1
80
)
(
1
80
)
(
1
80
)
(
1
80
)
(
1
80
)
(
1
80
)
}
=
{
(
11
160
)
(
1
20
)
(
1
10
)
(
1
16
)
(
1
40
)
(
1
20
)
(
79
320
)
(
79
320
)
}
{\displaystyle {\begin{Bmatrix}\left({\frac {9}{160}}\right)\\\left({\frac {3}{80}}\right)\\\left({\frac {7}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{20}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {3}{80}}\right)\\\left({\frac {15}{64}}\right)\\\left({\frac {15}{64}}\right)\end{Bmatrix}}+{\begin{Bmatrix}\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}\left({\frac {11}{160}}\right)\\\left({\frac {1}{20}}\right)\\\left({\frac {1}{10}}\right)\\\left({\frac {1}{16}}\right)\\\left({\frac {1}{40}}\right)\\\left({\frac {1}{20}}\right)\\\left({\frac {79}{320}}\right)\\\left({\frac {79}{320}}\right)\end{Bmatrix}}}
c) Afin de vérifier que la matière est bien constante, il suffit de comparer la densité de matière obtenue à la quantité de matière de départ soit :
(
11
160
)
+
(
1
20
)
+
(
1
10
)
+
(
1
16
)
+
(
1
40
)
+
(
1
20
)
+
(
79
320
)
+
(
79
320
)
=
0
,
85
{\displaystyle \left({\frac {11}{160}}\right)+\left({\frac {1}{20}}\right)+\left({\frac {1}{10}}\right)+\left({\frac {1}{16}}\right)+\left({\frac {1}{40}}\right)+\left({\frac {1}{20}}\right)+\left({\frac {79}{320}}\right)+\left({\frac {79}{320}}\right)=0,85}
Le résultat ne correspond pas à 1 la matière ne reste donc pas constante. A nouveau le noeud E n'étant n'ayant aucune sortie, de la matière est perdue ici à chaque tour malgré la redistribution.
Afin de mieux respecter le principe de circulation, nous allons reprendre l'activité en considérant que le noeud E dispose d'un lien sortant vers tous les autres noeuds, afin d'éviter une perte de matière.
Ce nouveau paramètre intégré, la matrice de diffusion en entrée de la matière, Mt correspond à :
A
B
C
D
E
F
G
H
A
0
0
0
0
(
1
7
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{7}}\right)}
1
0
0
B
(
1
3
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{3}}\right)}
0
0
0
(
1
7
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{7}}\right)}
0
0
0
C
(
1
3
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{3}}\right)}
(
1
3
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{3}}\right)}
0
(
1
2
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\right)}
(
1
7
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{7}}\right)}
0
0
0
D
(
1
3
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{3}}\right)}
(
1
3
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{3}}\right)}
0
0
(
1
7
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{7}}\right)}
0
0
0
E
0
(
1
3
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{3}}\right)}
0
0
0
0
0
0
F
0
0
0
(
1
2
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\right)}
(
1
7
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{7}}\right)}
0
0
0
G
0
0
(
1
2
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\right)}
0
(
1
7
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{7}}\right)}
0
0
1
H
0
0
(
1
2
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\right)}
0
(
1
7
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{7}}\right)}
0
1
0
La centralité du vecteur propre est don égal à la matrice obtenue multipliée par la densité de matière des noeuds soit :
(
P
a
P
b
P
c
P
d
P
e
P
f
P
g
P
h
)
=
(
0
0
0
0
(
1
7
)
1
0
0
(
1
3
)
0
0
0
(
1
7
)
0
0
0
(
1
3
)
(
1
3
)
0
(
1
2
)
(
1
7
)
0
0
0
(
1
3
)
(
1
3
)
0
0
(
1
7
)
0
0
0
0
(
1
3
)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(
1
2
)
(
1
7
)
0
0
0
0
0
(
1
2
)
0
(
1
7
)
0
0
1
0
0
(
1
2
)
0
(
1
7
)
0
1
0
)
∗
{
P
a
P
b
P
c
P
d
P
e
P
f
P
g
P
h
}
{\displaystyle {\begin{pmatrix}Pa\\Pb\\Pc\\Pd\\Pe\\Pf\\Pg\\Ph\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&\left({\frac {1}{7}}\right)&1&0&0\\\left({\frac {1}{3}}\right)&0&0&0&\left({\frac {1}{7}}\right)&0&0&0\\\left({\frac {1}{3}}\right)&\left({\frac {1}{3}}\right)&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&\left({\frac {1}{7}}\right)&0&0&0\\\left({\frac {1}{3}}\right)&\left({\frac {1}{3}}\right)&0&0&\left({\frac {1}{7}}\right)&0&0&0\\0&\left({\frac {1}{3}}\right)&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&\left({\frac {1}{7}}\right)&0&0&0\\0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&\left({\frac {1}{7}}\right)&0&0&1\\0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&\left({\frac {1}{7}}\right)&0&1&0\end{pmatrix}}*{\begin{Bmatrix}Pa\\Pb\\Pc\\Pd\\Pe\\Pf\\Pg\\Ph\end{Bmatrix}}}
Avant de passer la suite, nous allons réaliser la distribution de la matière via 2 itérations pour ensuite pouvoir comparer la valeur quand on applique un coefficient s
- première distribution de matière :
(
0
0
0
0
(
1
7
)
1
0
0
(
1
3
)
0
0
0
(
1
7
)
0
0
0
(
1
3
)
(
1
3
)
0
(
1
2
)
(
1
7
)
0
0
0
(
1
3
)
(
1
3
)
0
0
(
1
7
)
0
0
0
0
(
1
3
)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(
1
2
)
(
1
7
)
0
0
0
0
0
(
1
2
)
0
(
1
7
)
0
0
1
0
0
(
1
2
)
0
(
1
7
)
0
1
0
)
∗
{
(
1
8
)
(
1
8
)
(
1
8
)
(
1
8
)
(
1
8
)
(
1
8
)
(
1
8
)
(
1
8
)
}
=
{
(
1
7
)
(
5
84
)
(
55
336
)
(
17
168
)
(
1
24
)
(
9
112
)
(
23
112
)
(
23
112
)
}
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&0&0&\left({\frac {1}{7}}\right)&1&0&0\\\left({\frac {1}{3}}\right)&0&0&0&\left({\frac {1}{7}}\right)&0&0&0\\\left({\frac {1}{3}}\right)&\left({\frac {1}{3}}\right)&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&\left({\frac {1}{7}}\right)&0&0&0\\\left({\frac {1}{3}}\right)&\left({\frac {1}{3}}\right)&0&0&\left({\frac {1}{7}}\right)&0&0&0\\0&\left({\frac {1}{3}}\right)&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&\left({\frac {1}{7}}\right)&0&0&0\\0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&\left({\frac {1}{7}}\right)&0&0&1\\0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&\left({\frac {1}{7}}\right)&0&1&0\end{pmatrix}}*{\begin{Bmatrix}\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}\left({\frac {1}{7}}\right)\\\left({\frac {5}{84}}\right)\\\left({\frac {55}{336}}\right)\\\left({\frac {17}{168}}\right)\\\left({\frac {1}{24}}\right)\\\left({\frac {9}{112}}\right)\\\left({\frac {23}{112}}\right)\\\left({\frac {23}{112}}\right)\end{Bmatrix}}}
(
0
0
0
0
(
1
7
)
1
0
0
(
1
3
)
0
0
0
(
1
7
)
0
0
0
(
1
3
)
(
1
3
)
0
(
1
2
)
(
1
7
)
0
0
0
(
1
3
)
(
1
3
)
0
0
(
1
7
)
0
0
0
0
(
1
3
)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(
1
2
)
(
1
7
)
0
0
0
0
0
(
1
2
)
0
(
1
7
)
0
0
1
0
0
(
1
2
)
0
(
1
7
)
0
1
0
)
∗
{
(
1
7
)
(
5
84
)
(
55
336
)
(
17
168
)
(
1
24
)
(
9
112
)
(
23
112
)
(
23
112
)
}
=
{
(
29
336
)
(
3
56
)
(
125
1008
)
(
37
504
)
(
5
252
)
(
19
336
)
(
197
672
)
(
197
672
)
}
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&0&0&\left({\frac {1}{7}}\right)&1&0&0\\\left({\frac {1}{3}}\right)&0&0&0&\left({\frac {1}{7}}\right)&0&0&0\\\left({\frac {1}{3}}\right)&\left({\frac {1}{3}}\right)&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&\left({\frac {1}{7}}\right)&0&0&0\\\left({\frac {1}{3}}\right)&\left({\frac {1}{3}}\right)&0&0&\left({\frac {1}{7}}\right)&0&0&0\\0&\left({\frac {1}{3}}\right)&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&\left({\frac {1}{7}}\right)&0&0&0\\0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&\left({\frac {1}{7}}\right)&0&0&1\\0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&\left({\frac {1}{7}}\right)&0&1&0\end{pmatrix}}*{\begin{Bmatrix}\left({\frac {1}{7}}\right)\\\left({\frac {5}{84}}\right)\\\left({\frac {55}{336}}\right)\\\left({\frac {17}{168}}\right)\\\left({\frac {1}{24}}\right)\\\left({\frac {9}{112}}\right)\\\left({\frac {23}{112}}\right)\\\left({\frac {23}{112}}\right)\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}\left({\frac {29}{336}}\right)\\\left({\frac {3}{56}}\right)\\\left({\frac {125}{1008}}\right)\\\left({\frac {37}{504}}\right)\\\left({\frac {5}{252}}\right)\\\left({\frac {19}{336}}\right)\\\left({\frac {197}{672}}\right)\\\left({\frac {197}{672}}\right)\end{Bmatrix}}}
Question III :
Je prends 1 comme matière et j'initialise :
(
P
a
P
b
P
c
P
d
P
e
P
f
P
g
P
h
)
=
{
(
1
8
)
(
1
8
)
(
1
8
)
(
1
8
)
(
1
8
)
(
1
8
)
(
1
8
)
(
1
8
)
}
{\displaystyle {\begin{pmatrix}Pa\\Pb\\Pc\\Pd\\Pe\\Pf\\Pg\\Ph\end{pmatrix}}={\begin{Bmatrix}\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\end{Bmatrix}}}
Puis je fais une première itération :
(
0
0
0
0
(
1
7
)
1
0
0
(
1
3
)
0
0
0
(
1
7
)
0
0
0
(
1
3
)
(
1
3
)
0
(
1
2
)
(
1
7
)
0
0
0
(
1
3
)
(
1
3
)
0
0
(
1
7
)
0
0
0
0
(
1
3
)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(
1
2
)
(
1
7
)
0
0
0
0
0
(
1
2
)
0
(
1
7
)
0
0
1
0
0
(
1
2
)
0
(
1
7
)
0
1
0
)
∗
{
(
1
8
)
(
1
8
)
(
1
8
)
(
1
8
)
(
1
8
)
(
1
8
)
(
1
8
)
(
1
8
)
}
=
{
(
1
7
)
(
5
84
)
(
55
336
)
(
17
168
)
(
1
24
)
(
9
112
)
(
23
112
)
(
23
112
)
}
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&0&0&\left({\frac {1}{7}}\right)&1&0&0\\\left({\frac {1}{3}}\right)&0&0&0&\left({\frac {1}{7}}\right)&0&0&0\\\left({\frac {1}{3}}\right)&\left({\frac {1}{3}}\right)&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&\left({\frac {1}{7}}\right)&0&0&0\\\left({\frac {1}{3}}\right)&\left({\frac {1}{3}}\right)&0&0&\left({\frac {1}{7}}\right)&0&0&0\\0&\left({\frac {1}{3}}\right)&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&\left({\frac {1}{7}}\right)&0&0&0\\0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&\left({\frac {1}{7}}\right)&0&0&1\\0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&\left({\frac {1}{7}}\right)&0&1&0\end{pmatrix}}*{\begin{Bmatrix}\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}\left({\frac {1}{7}}\right)\\\left({\frac {5}{84}}\right)\\\left({\frac {55}{336}}\right)\\\left({\frac {17}{168}}\right)\\\left({\frac {1}{24}}\right)\\\left({\frac {9}{112}}\right)\\\left({\frac {23}{112}}\right)\\\left({\frac {23}{112}}\right)\end{Bmatrix}}}
a) Je multiplie la matière dans chaque noeud par 0,9 :
{
(
1
7
)
(
5
84
)
(
55
336
)
(
17
168
)
(
1
24
)
(
9
112
)
(
23
112
)
(
23
112
)
}
∗
0
,
9
=
{
(
9
70
)
(
3
56
)
(
33
224
)
(
51
560
)
(
3
80
)
(
81
1120
)
(
207
1120
)
(
207
1120
)
}
{\displaystyle {\begin{Bmatrix}\left({\frac {1}{7}}\right)\\\left({\frac {5}{84}}\right)\\\left({\frac {55}{336}}\right)\\\left({\frac {17}{168}}\right)\\\left({\frac {1}{24}}\right)\\\left({\frac {9}{112}}\right)\\\left({\frac {23}{112}}\right)\\\left({\frac {23}{112}}\right)\end{Bmatrix}}*0,9={\begin{Bmatrix}\left({\frac {9}{70}}\right)\\\left({\frac {3}{56}}\right)\\\left({\frac {33}{224}}\right)\\\left({\frac {51}{560}}\right)\\\left({\frac {3}{80}}\right)\\\left({\frac {81}{1120}}\right)\\\left({\frac {207}{1120}}\right)\\\left({\frac {207}{1120}}\right)\end{Bmatrix}}}
b) Je partage S-1 de matière entre tous les noeuds soit 0,9 - 1 = 0,1. La matière totale étant de 1, je dois partager entre tous les noeuds 1 * 0,1 =
(
1
10
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{10}}\right)}
(
1
80
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{80}}\right)}
{
(
9
70
)
(
3
56
)
(
33
224
)
(
51
560
)
(
3
80
)
(
81
1120
)
(
207
1120
)
(
207
1120
)
}
+
{
(
1
80
)
(
1
80
)
(
1
80
)
(
1
80
)
(
1
80
)
(
1
80
)
(
1
80
)
(
1
80
)
}
=
(
(
79
560
)
(
37
560
)
(
179
1120
)
(
29
280
)
(
1
20
)
(
19
224
)
(
221
1120
)
(
221
1120
)
)
{\displaystyle {\begin{Bmatrix}\left({\frac {9}{70}}\right)\\\left({\frac {3}{56}}\right)\\\left({\frac {33}{224}}\right)\\\left({\frac {51}{560}}\right)\\\left({\frac {3}{80}}\right)\\\left({\frac {81}{1120}}\right)\\\left({\frac {207}{1120}}\right)\\\left({\frac {207}{1120}}\right)\end{Bmatrix}}+{\begin{Bmatrix}\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\end{Bmatrix}}={\begin{pmatrix}\left({\frac {79}{560}}\right)\\\left({\frac {37}{560}}\right)\\\left({\frac {179}{1120}}\right)\\\left({\frac {29}{280}}\right)\\\left({\frac {1}{20}}\right)\\\left({\frac {19}{224}}\right)\\\left({\frac {221}{1120}}\right)\\\left({\frac {221}{1120}}\right)\end{pmatrix}}}
c) Afin de vérifier que la matière est bien constante, il suffit de comparer la densité de matière obtenue à la quantité de matière de départ soit :
(
79
560
)
+
(
37
560
)
+
(
179
1120
)
+
(
29
280
)
+
(
1
20
)
+
(
19
224
)
+
(
221
1120
)
+
(
221
1120
)
=
1
{\displaystyle \left({\frac {79}{560}}\right)+\left({\frac {37}{560}}\right)+\left({\frac {179}{1120}}\right)+\left({\frac {29}{280}}\right)+\left({\frac {1}{20}}\right)+\left({\frac {19}{224}}\right)+\left({\frac {221}{1120}}\right)+\left({\frac {221}{1120}}\right)=1}
Faisons à présent la seconde itération de matière :
(
0
0
0
0
(
1
7
)
1
0
0
(
1
3
)
0
0
0
(
1
7
)
0
0
0
(
1
3
)
(
1
3
)
0
(
1
2
)
(
1
7
)
0
0
0
(
1
3
)
(
1
3
)
0
0
(
1
7
)
0
0
0
0
(
1
3
)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(
1
2
)
(
1
7
)
0
0
0
0
0
(
1
2
)
0
(
1
7
)
0
0
1
0
0
(
1
2
)
0
(
1
7
)
0
1
0
)
∗
{
(
1
7
)
(
5
84
)
(
55
336
)
(
17
168
)
(
1
24
)
(
9
112
)
(
23
112
)
(
23
112
)
}
=
{
(
29
336
)
(
3
56
)
(
125
1008
)
(
37
504
)
(
5
252
)
(
19
336
)
(
197
672
)
(
197
672
)
}
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&0&0&\left({\frac {1}{7}}\right)&1&0&0\\\left({\frac {1}{3}}\right)&0&0&0&\left({\frac {1}{7}}\right)&0&0&0\\\left({\frac {1}{3}}\right)&\left({\frac {1}{3}}\right)&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&\left({\frac {1}{7}}\right)&0&0&0\\\left({\frac {1}{3}}\right)&\left({\frac {1}{3}}\right)&0&0&\left({\frac {1}{7}}\right)&0&0&0\\0&\left({\frac {1}{3}}\right)&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&\left({\frac {1}{7}}\right)&0&0&0\\0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&\left({\frac {1}{7}}\right)&0&0&1\\0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&\left({\frac {1}{7}}\right)&0&1&0\end{pmatrix}}*{\begin{Bmatrix}\left({\frac {1}{7}}\right)\\\left({\frac {5}{84}}\right)\\\left({\frac {55}{336}}\right)\\\left({\frac {17}{168}}\right)\\\left({\frac {1}{24}}\right)\\\left({\frac {9}{112}}\right)\\\left({\frac {23}{112}}\right)\\\left({\frac {23}{112}}\right)\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}\left({\frac {29}{336}}\right)\\\left({\frac {3}{56}}\right)\\\left({\frac {125}{1008}}\right)\\\left({\frac {37}{504}}\right)\\\left({\frac {5}{252}}\right)\\\left({\frac {19}{336}}\right)\\\left({\frac {197}{672}}\right)\\\left({\frac {197}{672}}\right)\end{Bmatrix}}}
{
(
29
336
)
(
3
56
)
(
125
1008
)
(
37
504
)
(
5
252
)
(
19
336
)
(
197
672
)
(
197
672
)
}
∗
0
,
9
=
{
(
87
1120
)
(
27
560
)
(
25
224
)
(
37
560
)
(
1
50
)
(
57
1120
)
(
591
2240
)
(
591
2240
)
}
{\displaystyle {\begin{Bmatrix}\left({\frac {29}{336}}\right)\\\left({\frac {3}{56}}\right)\\\left({\frac {125}{1008}}\right)\\\left({\frac {37}{504}}\right)\\\left({\frac {5}{252}}\right)\\\left({\frac {19}{336}}\right)\\\left({\frac {197}{672}}\right)\\\left({\frac {197}{672}}\right)\end{Bmatrix}}*0,9={\begin{Bmatrix}\left({\frac {87}{1120}}\right)\\\left({\frac {27}{560}}\right)\\\left({\frac {25}{224}}\right)\\\left({\frac {37}{560}}\right)\\\left({\frac {1}{50}}\right)\\\left({\frac {57}{1120}}\right)\\\left({\frac {591}{2240}}\right)\\\left({\frac {591}{2240}}\right)\end{Bmatrix}}}
b) Je partage S-1 de matière entre tous les noeuds soit 0,9 - 1 = 0,1. La matière totale étant de 1, je dois partager entre tous les noeuds 1 * 0,1 =
(
1
10
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{10}}\right)}
(
1
80
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{80}}\right)}
{
(
87
1120
)
(
27
560
)
(
25
224
)
(
37
560
)
(
1
56
)
(
57
1120
)
(
591
2240
)
(
591
2240
)
}
+
{
(
1
80
)
(
1
80
)
(
1
80
)
(
1
80
)
(
1
80
)
(
1
80
)
(
1
80
)
(
1
80
)
}
=
(
(
101
1120
)
(
17
280
)
(
139
1120
)
(
11
140
)
(
17
560
)
(
71
1120
)
(
619
2240
)
(
619
2240
)
)
{\displaystyle {\begin{Bmatrix}\left({\frac {87}{1120}}\right)\\\left({\frac {27}{560}}\right)\\\left({\frac {25}{224}}\right)\\\left({\frac {37}{560}}\right)\\\left({\frac {1}{56}}\right)\\\left({\frac {57}{1120}}\right)\\\left({\frac {591}{2240}}\right)\\\left({\frac {591}{2240}}\right)\end{Bmatrix}}+{\begin{Bmatrix}\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\end{Bmatrix}}={\begin{pmatrix}\left({\frac {101}{1120}}\right)\\\left({\frac {17}{280}}\right)\\\left({\frac {139}{1120}}\right)\\\left({\frac {11}{140}}\right)\\\left({\frac {17}{560}}\right)\\\left({\frac {71}{1120}}\right)\\\left({\frac {619}{2240}}\right)\\\left({\frac {619}{2240}}\right)\end{pmatrix}}}
c) Afin de vérifier que la matière est bien constante, il suffit de comparer la densité de matière obtenue à la quantité de matière de départ soit :
(
101
1120
)
+
(
17
280
)
+
(
139
1120
)
+
(
11
140
)
+
(
17
560
)
+
(
71
1120
)
+
(
619
2240
)
+
(
619
2240
)
=
1
{\displaystyle \left({\frac {101}{1120}}\right)+\left({\frac {17}{280}}\right)+\left({\frac {139}{1120}}\right)+\left({\frac {11}{140}}\right)+\left({\frac {17}{560}}\right)+\left({\frac {71}{1120}}\right)+\left({\frac {619}{2240}}\right)+\left({\frac {619}{2240}}\right)=1}
