Utilisateur:QuentinSIREN/Modélisation des Réseaux (M1 SIREN, 2020)/Activité D

On choisit d'ajouter au réseau projeté celui de Marine et d'Elsa ce qui donne :

Question 1 :


Nombre de nœuds / Degré	1	3
2	Quentin	/
7	Antoine	/
8	Marine	/
9	/	Esla / Thomas / Lana

Question 2 :

Afin de connaître la corrélation de voisins entre degré et degré il faut noter que l'on cherche le degré des nœuds d'une part et le degré des voisins d'une autre. La question précédente nous a permis de connaître le degré des nœuds. Il faut à présent calculer pour chaque nœud le degré des voisins. Ce calcul se fait par une moyenne. Si on prend le nœud Quentin, il a deux voisins (Marine et Antoine) qui ont respectivement 8 et 7 degrés. Alors pour connaître la corrélation du degré des voisins de Quentin il suffit de faire : C(Q) = (7+8)/2= 7,5. La corrélation du degré des voisins du nœud Quentin est donc de 7,5. En procédant de la même façon pour les autres nœuds ont obtient :


Nœud	degré	degré voisins	Corrélation de voisins (calcul)
Quentin	2	7,5	C(Q) = $\left({\frac {(7+8)}{2}}\right)$ = 7,5
Antoine	7	7,4	C(A)= $\left({\frac {(2+8+9+9+9)}{5}}\right)$ =7,4
Marine	8	7,2	C(M)= $\left({\frac {(2+7+9+9+9)}{5}}\right)$ =7,2
Esla Lana Thomas	9	8,25	C(E/L/T)= $\left({\frac {\left({\frac {7+8+9+9}{4}}\right)\left({\frac {7+8+9+9}{4}}\right)\left({\frac {7+8+9+9}{4}}\right)}{3}}\right)$ =8,25

Question 3 :

Au vu des résultats et du graphique on peut dire que le réseau est assortatif concernant le degré des nœuds, car malgré une petite baisse avec les degrés 7 et 8, on constate globalement que le degré des voisins augmentent avec le degré des nœuds. Toutefois les données présentes ici ne permettent pas de conclure pleinement à l'assortativité du réseau, c'est plus une hypothèse qu'une affirmation. Mais la courbe semble indiquer qu'on se dirige vers un réseau assortatif.

Question 4 :

Le coefficient de clustering d'un nœud se calcul en divisant les pairs de voisins connectés par les pairs de voisins soit :


Nœud	Coefficient de clustering	Calcul
Quentin	1	$\left({\frac {1}{\left({\frac {2*(2-1)}{2}}\right)}}\right)$
Antoine	0,7	$\left({\frac {7}{\left({\frac {5*(5-1)}{2}}\right)}}\right)$
Marine	0,7	$\left({\frac {7}{\left({\frac {5*(5-1)}{2}}\right)}}\right)$
Esla	1	$\left({\frac {6}{\left({\frac {4*(4-1)}{2}}\right)}}\right)$
Thomas	1	$\left({\frac {6}{\left({\frac {4*(4-1)}{2}}\right)}}\right)$
Lana	1	$\left({\frac {6}{\left({\frac {4*(4-1)}{2}}\right)}}\right)$

Question 5 :

Pour faire le tableau de la corrélation combinée entre le degré et le coefficient de clustering on fait comme suit :

Degré Coefficient
Nœud	Degré	Coefficient de clustering
Quentin	2	1
Antoine	7	0,7
Marine	8	0,7
Elsa	9	1
Lana	9	1
Thomas	9	1

Degré Coefficient (moyenne)
Degré	Coefficient de clustering
2	1
7	0,7
8	0,7
9	1/3

Seul la moyenne du degré 9 est calculé car pour les autres nœuds il n'y a pas de degrés égaux.

Question 6 :

Sur la tableau et graphique de la question 1 on a étudié la distribution des degrés soit la connectivité des nœuds. On observe que le réseau se compose de beaucoup de nœuds très connectés puisque la moyenne des degrés pour un nœud du réseau est de $\left({\frac {(2+7+8+9+9+9)}{6}}\right)=7,3$ et un seul nœud moins connecté et plus isolé (Quentin).

Sur le tableau et graphique de la question 2 on a étudié la corrélation des degrés entre degré soit entre le degré d'un nœud et le degré de ses voisins. On a ainsi pu constater que globalement plus le nombre de degré d'un nœud augmenté et plus le nombre de degrés voisins augmentés aussi. Cela nous a permis de conclure que plus un nœud et connecté et plus ses voisins les sont aussi.

Sur le tableau et graphique de la question 5, on a étudié la corrélation de propriété entre les degrés et le coefficient de clustering. On constate notamment grâce au graphique que plus le degré d'un nœud augmente plus sont coefficient diminue. Or cela nous permet d'avoir un modèle de prédiction sur la transitivité des nœuds. En effet il semble que plus le degré d'un nœud augmente et plus la probabilité qu'il soit connecté avec d'autres nœuds augmente également.

Question 7 :
Si on prend le nœud Antoine qui possède un coefficient de 0,7, on constate qu'il est relié à tous les nœuds et que touts les nœuds forment des pairs de nœuds entre eux excepté le nœud Quentin qui ne fait qu'une seule paire avec le nœud Marine. Pour obtenir un coefficient de 1, il faudrait que le nœud Quentin forme trois nouvelles pairs de nœuds, donc il faudrait rajouter 3 liens : - un avec le nœud Elsa

- un avec le nœud Thomas

- un avec le nœud Elsa

On obtient alors :

C(A) $\left({\frac {10}{\left({\frac {5*(5-1)}{2}}\right)}}\right)$ =1

Question 8 :

Si on prend le nœud Quentin qui possède un coefficient de 1, on constate que ce coefficient ne dépend que des nœuds auxquels il est relié soit Marine et Antoine. Ainsi si on supprime tous les liens en double et toutes les connexions afin de garder un simple réseau connexe, on obtient :

On a donc pu enlever 16 liens sans modifier le coefficient de clustering de Quentin qui est toujours de 1.

Question 9 :

La proximité se définit comme l'inverse de la somme des distances. Si l'on calcul la proximité de chaque nœud on obtient :


Nœud	Proximité	Calcul
Quentin	$\left({\frac {1}{8}}\right)$	$\left({\frac {1}{1+1+2+2+2}}\right)$
Antoine	$\left({\frac {1}{5}}\right)$	$\left({\frac {1}{1+1+1+1+1}}\right)$
Marine	$\left({\frac {1}{5}}\right)$	$\left({\frac {1}{1+1+1+1+1}}\right)$
Elsa	$\left({\frac {1}{6}}\right)$	$\left({\frac {1}{1+1+1+1+2}}\right)$
Lana	$\left({\frac {1}{6}}\right)$	$\left({\frac {1}{1+1+1+1+2}}\right)$
Thomas	$\left({\frac {1}{6}}\right)$	$\left({\frac {1}{1+1+1+1+2}}\right)$

On constate donc que le nœud avec la plus petite proximité est Quentin et on en compte deux pour la plus grande : Marine et Antoine. Ce résultat est logique car les nœuds Marine et Antoine sont les plus connectés avec tous les nœuds et le nœud Quentin est celui le moins connecté.

L'intermédiarité se définit comme la somme pour chaque pair des autres nœuds de la fraction des chemins les plus courts entre ces nœuds et le premier. Si l'on calcul l'intermédiarité on obtient :


Nœud	Intermédiarité
Quentin	0
Antoine	1,5
Marine	1,5
Elsa	0
Lana	0
Thomas	0

On a donc pour l'intermédiarité la plus petite les nœuds Elsa, Thomas, Lana et Quentin et pour l'intermédiarité la plus grande les nœuds Marine et Antoine. Ce résultat est logique car le nœud Quentin n'est pas directement relié aux nœuds Elsa, Lana et Thomas, aussi son seul passage est par les nœuds Antoine et Marine, ce qui explique leur forte intermédiarité. Ils font le pont entre les nœuds Lana, Elsa, Thomas et le nœud Quentin.