Utilisateur:MartinLemoulant/Modélisation des Réseaux (M1 SIREN, 2021)/Activité D

Rappel de mon réseau :

Je reprends le réseau créé pour l'activité B à partir des réseaux de Mathilde et Adrian.

[ MartinLemoulant ] -> [ Gainsbourg ]
[ MartinLemoulant ] -> [ Georges Brassens ]
[ MartinLemoulant ] -> [ Kamaal Williams ]
[ MartinLemoulant ] -> [ Miles Davis ]
[ MartinLemoulant ] -> [ Underground Resistance ]
[ MartinLemoulant ] -> [ Drexciya ]
[ MartinLemoulant ] -> [ Istanbul ]
[ MartinLemoulant ] -> [ New-York ]
[ MartinLemoulant ] -> [ guitare ]
[ MartinLemoulant ] -> [ peinture ]
[ MartinLemoulant ] -> [ The Office ]
[ Mathilde ] -> [ Arts ]
[ Mathilde ] -> [ Dessin ]
[ Mathilde ] -> [ Alicia Keys ]
[ Mathilde ] -> [ Notorious B.I.G. ]
[ Mathilde ] -> [ PNL ]
[ Mathilde ] -> [ Johannesburg ]
[ Mathilde ] -> [ The Office ]
[ Mathilde ] -> [ New York ]
[ Mathilde ] -> [ Peinture ]
[ Mathilde ] -> [ Piano ]
[ Adrian ] -> [ Daft Punk ]
[ Adrian ] -> [ Jeff Mills ]
[ Adrian ] -> [ SCH ]
[ Adrian ] -> [ Idriss Muhammad ]
[ Adrian ] -> [ Istanbul ]
[ Adrian ] -> [ The Office ]
[ Adrian ] -> [ Puerto Escondido ]
[ Adrian ] -> [ Berlin ]
[ Adrian ] -> [ Football ]
[ Adrian ] -> [ Tennis ]
[ Adrian ] -> [ Surf ]

Questions :

1. Pour les degrés sortant et entrant, faites un tableau et un graphique de leur distribution.

**Distribution des degrés entrants**
Degré	Nombre de nœuds	Nœuds
0	3	Martin, Mathilde, Adrian
1	23	Tous les autres nœuds
2	3	Istanbul, New York, peinture
3	1	The Office

Graphique de distribution des degrés entrants :

Distribution des degrés sortants
Degré	Nombre de nœuds	Nœuds
0	27	Tous les autres nœuds
10	1	Mathilde
11	2	Adrian, Martin

Graphique de distribution des degrés sortants :

2. Les degrés sortant et entrant des nœuds sont corrélés positivement ou négativement ? Expliquez (aucun calcul n'est nécessaire).

On remarque dans les tableaux que

Les nœuds à degré entrant différent de zéro (tous les nœuds sauf Martin, Adrian, Mathilde) ont un degré sortant nul
Les nœuds à degré sortant différent de zéro (Mathilde, Adrian, Martin) ont un degré entrant nul

On peut parler d'une corrélation négative entre ces deux propriétés : plus une des propriétés est élevée, plus l'autre sera basse.

On considère pour la suite que le réseau est non orienté.

3. Calculez le coefficient de clustering (transitivité) pour les nœuds.

Rappel : coefficient de clustering = fraction de paires de voisins connectés

On remarque que dans ce graphique, aucun nœud ne possède de voisins connectés entre eux. Ainsi, le coefficient de clustering pour chacun des nœuds de degré D > 1 sera c(n) = 0.

Pour les nœuds de degré 1 (i.e. tous les nœuds sauf Martin Mathilde, Adrian, peinture, New York, Istanbul et The Office), on ne peut pas calculer le coefficient de clustering car on obtiendrait c(n) = 0/((1*0)/2). Ainsi, le coefficient de clustering pour tout nœud de degré D = 1 est indéfini.

4. Faites un tableau pour la corrélation combinée entre degré et degré.

Degré	Nœuds	Moyenne du degré des voisins des nœuds	Moyenne finale
1	Tous les autres nœuds	11(pour 9+7=16 nœuds), 10 (pour 7 nœuds)	${\frac {(16\times 11+7\times 10)}{23}}=10,70$
2	Istanbul, New York, Peinture	${\frac {(2\times 11)}{2}}$ , ${\frac {(10+11)}{2}}$ , ${\frac {(10+11)}{2}}$	${\frac {(11+2\times 10,5)}{3}}=10,67$
3	The Office	${\frac {(10+2\times 11)}{3}}$	${\frac {32}{3}}=10,67$
10	Mathilde	${\frac {(3+2\times 2+7\times 1)}{10}}$	${\frac {14}{10}}=1,40$
11	Adrian, Martin	${\frac {(9\times 1+2\times 2+3)}{11}}$ , ${\frac {(7\times 1+3\times 2+3)}{11}}$	${\frac {{\frac {16}{11}}+{\frac {16}{11}}}{2}}=1,45$

À partir du résultat précédent, pouvez-vous dire que votre réseau est assortatif ou dissortatif par rapport au degré ?

Les nœuds à petit degré tendent à avoir des voisins à degré élevé, et les nœuds à degré élevé des voisins à faible degré. On peut dire que le degré est dissortatif.

Si possible, choisissez un nœud à coefficient de clustering plus petit que 1. Trouvez le plus petit ensemble de liens que vous pouvez ajouter dans votre réseau pour que ce nœud ait un coefficient de clustering égal à 1.

Je prends le nœud Istanbul, de degré D = 2, à coefficient de clustering c = 0. J'ajoute un lien entre Martin et Mathilde. Le coefficient passe donc de 0 (aucune paire de voisins connectée) à 0 (toutes les paires de voisins sont connectées).

Si possible, choisissez un nœud à coefficient de clustering égal à 1. Trouvez le plus grand ensemble de liens que vous pouvez retirer du réseau sans modifier ni le nombre de voisins ni le coefficient de clustering de ce nœud.

Il n'existe pas de nœud pour lequel c(n) = 1.