Utilisateur:Marine SIREN/Modélisation des Réseaux (M1 SIREN, 2020)/Activité D
Liens multiples comme un seul degré
[modifier | modifier le wikicode]Je choisis comme réseau projeté celui d'Auriane et celui de Quentin, en plus du mien.
1.
| Nombre de nœuds
/ Degrés |
1 | 4 |
|---|---|---|
| 2 | Auriane, Quentin, Emilia, Elsa = 4 | |
| 3 | Antoine = 1 | |
| 5 | Marine = 1 |
2.
Pour réaliser le tableau de la corrélation de voisins entre degré et degré, il nous faut dans un premier temps connaître la moyenne du degré des voisins de chaque nœud. Par exemple pour le nœud Quentin, ce dernier a 2 voisins : Antoine et Marine. Antoine est un nœud à degré 3 et Marine à degré 5 comme vu à la question 1. Dès lors, pour trouver la moyenne du degré des voisins du nœud Quentin, il suffit de faire le calcul suivant : (5+3)/2 = 4. La moyenne du degré des voisins du nœud Quentin est 4.
Nous obtenons alors le tableau suivant :
| Nœud | Moyenne du degré des voisins du nœud |
|---|---|
| Marine | (2+3+2+2+2+2)/5 = 11/5 = 2,2 |
| Quentin | (5+3)/2 = 8/2 = 4 |
| Antoine | (2+5+2)/3 = 9/3 = 3 |
| Elsa | (5+3)/2 = 8/2 = 4 |
| Auriane | (5+2)/2 = 7/2 = 3,5 |
| Emilia | (5+2)/2 = 7/2 = 3,5 |
À noter que nous devons ensuite calculer la moyenne du degré des voisins pour les nœuds de même degré. Ainsi pour les nœuds de degré 2, la moyenne du degré des voisins est donc de (4+4+3,5+3,5)/4 = 3,75
Nous pouvons maintenant obtenir le tableau de la corrélation de voisins entre degré et degré:
| Degré des voisins ( moyenne)
/ Degré |
2,2 | 3 | 3,75 |
|---|---|---|---|
| 2 | Auriane, Quentin, Emilia, Elsa = 4 | ||
| 3 | Antoine = 1 | ||
| 5 | Marine = 1 |
3.
Nous pouvons voir que les nœuds à degré petit sont connectés à des nœuds à degré plus grand. Inverserment, les nœuds à degré élevé sont connectés à des nœuds à degré plus petit. On constate donc une corrélation négative entre degré et degré des voisins. Le réseau est alors dissortatif.
4.
Coefficient de clustering = c(i) = (pairs de voisins connectés)/ ((n(i)*(n(i)-1)/2)
c(Marine) = 3/((5*4)/2) = 3/10 = 0,3
c(Quentin) = 1/((2*1)/2) = 1/1 = 1
c(Antoine) = 2/((3*2)/2) = 2/3
c(Elsa) = 1/((2*1)/2) =1/1 = 1
c(Auriane) = 1/((2*1)/2) = 1/1 = 1
c(Emilia) = 1/((2*1)/2) = 1/1 = 1
5.
| Coefficient de clustering
/ Degré |
0,3 | 2/3 | 1 |
|---|---|---|---|
| 2 | Auriane, Quentin, Emilia, Elsa = 4 | ||
| 3 | Antoine = 1 | ||
| 5 | Marine = 1 |
6.
Tableau 1 et Graphique 1 : Le tableau 1 et graphique 1 renseignent sur la distribution de degrés et donc sur la connectivité des nœuds. Nous pouvons voir ainsi voir que le réseau a beaucoup de nœuds peu connectés (connectés à environ 2 nœuds) et peu de nœuds très connectés (connectés à environ 3-5 liens)
Tableau 2.b et Graphique 2 : Le tableau 2.b et graphique 2 renseignent sur la relation entre la connectivité d'un nœud et celle de ses voisins. Nous pouvons observer, comme expliqué à la question 3, que plus un nœud est connecté, moins ses voisins sont connectés. A l'inverse, moins un nœud est connecté, plus ses voisins le sont.
Tableau 3 et Graphique 3: Le tableau 3 et graphique 3 permettent de voir comment le réseau se structure: qu'est-ce qui se passe autour d'un nœud si je me balade ? Nous pouvons voir que moins un nœud est connecté, plus son coefficient de clustering est élevé. Ainsi, non seulement les nœuds peu connectés ont des voisins connectés (cf analyse tableau 2.b et graphique 2) mais en plus ses voisins sont connectés entre eux. Les nœuds peu connectés sont donc dans dans des groupes très connectés localement. A l'inverse, les nœuds très connectés ont des voisins peu connectés entre eux.
7.
Le nœud Antoine a un coefficient de clustering inférieur à 1 (2/3). Pour que ce nœud ait un coefficient de clustering égal à 1, il suffit de rajouter un seul lien entre le nœud Quentin et le nœud Elsa.
Nous aurons ainsi c(Antoine) = 3/((3*2)/2) = 3/3 = 1
8.
Le nœud Quentin a un coefficient de clustering égal à 1. Sans modifier ni le nombre de voisins ni le coefficient de clustering de ce nœud, nous pouvons retirer les liens suivants : Antoine - Elsa ; Marine - Elsa ; Marine - Emilia ; Auriane - Marine ; Emilia - Auriane. Le plus grand ensemble de liens que nous pouvons enlever est donc 5.
9.
Graphiquement, je pense que le nœud Marine a la plus grande proximité et intermédiarité. Et que les nœuds de degré 2 ont la plus faible proximité et intermédiarité.
Vérifions par le calcul :
Proximité : distance entre le nœud et chaque autre nœud
c(Marine) = 1/(1+1+1+1+1) = 1/5
c(Quentin) = 1/(1+1+2+2+2) = 1/8
c(Antoine) = 1/(1+1+1+2+2) = 1/7
c(Elsa) = 1/(1+1+2+2+2) = 1/8
c(Auriane) = 1/(1+2+2+2+1) = 1/8
c(Emilia) = 1/(1+2+2+2+1) = 1/8
Marine est le nœud le plus proche des autres car il a la plus grande proximité. Tous les nœuds de degré 2 (Quentin - Elsa - Auriane - Emilia) ont la plus petite proximité, ils sont donc les plus isolés.
Intermédiarité : la somme, pour chaque pair des autres nœuds, de la fraction des chemins les plus courts entre ces nœuds qui passent par le premier
g(Marine) = 1/2 + 1 +1 +1 +1 + 1/2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +1 +1 + 1 = 13
g(Quentin) = 0
g(Antoine) = 1/2 + 1/2 = 1
g(Elsa) = 0
g(Auriane) = 0
g(Emilia) = 0
g(total) = 14
Le nœud le plus important en termes de dynamique de réseau est Marine: c'est le nœud avec la plus grande intermédiarité.
Les nœuds de degré 2 (Quentin - Elsa - Auriane - Emilia) ont une faible intermédiarité.
Finalement, les nœuds à degré élevé (degré 3 ou 5) jouent un rôle d'intermédiaire et les nœuds à degré bas (degré 2) ne sont pas du tout intermédiaires.
Prise en compte des liens multiples
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Précisons que lorsque plusieurs éléments sont présents sur un lien, cela représente plusieurs liens. Par exemple, le nœud "Emilia" et le nœud "Auriane" sont bien reliés par 2 liens: le lien "Piano" et le lien "Guitare". Il s'agit ici juste d'une simplification graphique.
1.
| Nombre de nœuds
/ Degrés |
1 | 2 |
|---|---|---|
| 2 | Quentin = 1 | |
| 3 | Emilia, Elsa = 2 | |
| 4 | Auriane = 1 | |
| 5 | Antoine = 1 | |
| 9 | Marine = 1 |
2. Pour réaliser le tableau de la corrélation de voisins entre degré et degré, il nous faut dans un premier temps connaître la moyenne du degré des voisins de chaque nœud. Par exemple pour le nœud Quentin, ce dernier a 2 voisins : Antoine et Marine. Antoine est un nœud à degré 5 et Marine à degré 9 comme vu à la question 1. Dès lors, pour trouver la moyenne du degré des voisins du nœud Quentin, il suffit de faire le calcul suivant : (5+9)/2 = 7. La moyenne du degré des voisins du nœud Quentin est 7.
Nous obtenons alors le tableau suivant :
| Nœud | Moyenne du degré des voisins |
|---|---|
| Marine | (2+3+3+4+5) / 5 = 3,4 |
| Quentin | (5+9)/2 = 7 |
| Antoine | (2+3+9)/3 = 4,7 |
| Elsa | (5+9)/2 = 7 |
| Auriane | (3+9)/2 = 6 |
| Emilia | (9+4)/2 = 6,5 |
À noter que nous devons ensuite calculer la moyenne du degré des voisins pour les nœuds de même degré. Ainsi pour les nœuds de degré 3, la moyenne du degré des voisins est donc de (7+6,5)/2 = 6,75
Nous pouvons maintenant obtenir le tableau de la corrélation de voisins entre degré et degré:
| Moyenne du degré des voisins
/ Degré |
3,4 | 4,7 | 6 | 6,75 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | Quentin | ||||
| 3 | Emilia et Elsa | ||||
| 4 | Auriane | ||||
| 5 | Antoine | ||||
| 9 | Marine |
3. Nous pouvons voir que les nœuds à degré petit sont connectés à des nœuds à degré plus grand. Inverserment, les nœuds à degré élevé sont connectés à des nœuds à degré plus petit. On constate donc une corrélation négative entre degré et degré des voisins. Le réseau est alors dissortatif.
4.
Coefficient de clustering = c(i) = (pairs de voisins connectés)/ ((n(i)*(n(i)-1)/2)
c(Marine) = 3/((5*4)/2) = 3/10 = 0,3
c(Quentin) = 1/((2*1)/2) = 1/1 = 1
c(Antoine) = 2/((3*2)/2) = 2/3
c(Elsa) = 1/((2*1)/2) =1/1 = 1
c(Auriane) = 1/((2*1)/2) = 1/1 = 1
c(Emilia) = 1/((2*1)/2) = 1/1 = 1
5.
La question 2 renseigne sur la relation entre la connectivité d'un nœud et celle de ses voisins. On voit alors une dissortativité des degrés: les nœuds à degré élevé sont connectés à des nœuds à degré plus faible. A l'inverse, les nœuds à degré plus faible sont connectés à des nœuds à degré plus élevé.
La question 3 permet de voir comment le réseau se structure: qu'est-ce qui se passe autour d'un nœud si je me balade ? Nous pouvons voir que moins un nœud est connecté, plus son coefficient de clustering est élevé (=1) - et inversement. Ainsi, non seulement les nœuds peu connectés ont des voisins connectés (cf question 2) mais en plus ses voisins sont connectés entre eux. Les nœuds peu connectés sont donc dans dans des groupes très connectés localement. A l'inverse, les nœuds plus connectés (degré 5 ou 9) ont des voisins peu connectés entre eux.
6.
Le nœud Marine a un coefficient de clustering inférieur à 1 (0,3). Pour que ce nœud ait un coefficient de clustering égal à 1, il faut rajouter 7 liens : [Emilia] - [Antoine] ; [Emilia] - [Elsa] ; [Auriane] - [Quentin] ; |Auriane] - [Antoine] ; [Quentin] - [Emilia] ; [Auriane] - [Elsa] et [Quentin] - [Elsa]
Nous aurons ainsi c(Marine) = 10/((5*4)/2) = 1
7.
Le nœud Quentin a un coefficient de clustering égal à 1. Sans modifier ni le nombre de voisins ni le coefficient de clustering de ce nœud, nous pouvons retirer les liens suivants : Antoine - Elsa ; Marine - Elsa ; Marine - Emilia ; Auriane - Marine ; Emilia - Auriane. Le plus grand ensemble de liens que nous pouvons enlever est donc 5.
8.
Graphiquement, je pense que le nœud Marine a la plus grande proximité car il a un degré beaucoup plus élevé même sans prendre en compte les liens multiples. Il est connecté à tous les nœuds, alors que tous les autres nœuds sont connectés uniquement au nœud Marine et à un autre nœud (excepté pour le nœud Antoine). Je pense donc que les nœuds à degré faible (2,3,4) auront la plus petite proximité.
Vérifions par le calcul :
Proximité : distance entre le nœud et chaque autre nœud
c(Marine) = 1/(1+1+1+1+1) = 1/5
c(Quentin) = 1/(1+1+2+2+2) = 1/8
c(Antoine) = 1/(1+1+1+2+2) = 1/7
c(Elsa) = 1/(1+1+2+2+2) = 1/8
c(Auriane) = 1/(1+2+2+2+1) = 1/8
c(Emilia) = 1/(1+2+2+2+1) = 1/8
Marine est donc bien le nœud avec la plus grand proximité: il est alors le nœud le plus proche des autres. Tous les autres nœuds - exceptés Antoine - ont la plus petite proximité pour la raison évoquée précédemment.
Je pense que le nœud Marine aura la plus grande intermédiarité et que les nœuds à degré faible (2,3,4) auront la plus petite intermédiarité. Comme le nœud Marine est hyperconnecté, ils auront je pense une intermédiarité nulle. Ils sont tous connectés uniquement au nœud Marine et à un autre voisin. Ils doivent donc tous passer une fois par le nœud Marine pour atteindre un autre nœud (excepté pour l'autre nœud auquel ils sont connectés).
Vérifions par le calcul
Intermédiarité : la somme, pour chaque pair des autres nœuds, de la fraction des chemins les plus courts entre ces nœuds qui passent par le premier
g(Marine) = 1/2 + 1 +1 +1 +1 + 1/2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +1 +1 + 1 = 13
g(Quentin) = 0
g(Antoine) = 1/2 + 1/2 = 1
g(Elsa) = 0
g(Auriane) = 0
g(Emilia) = 0
g(total) = 14
Le nœud le plus important en termes de dynamique de réseau est Marine: c'est le nœud avec la plus grande intermédiarité.
Finalement, les nœuds à degré élevé jouent un rôle d'intermédiaire et les nœuds à degré plus bas ne sont pas du tout intermédiaires. De même pour la proximité.