Utilisateur:Karl1263/DM6

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Source : DM6.pdf

Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Données :

  • Constante des gaz parfaits : R = 8, 314 J.mol-1.K -1
  • Numéros atomiques : ZP = 15 ; ZCl = 17
  • Enthalpies de formation standard ∆f H0 et entropie standard S0 à 298 K :


corps f H0 (kJ.mol-1) S0 (J.K-1.mol-1)
P(s) (blanc) 0 58,9
P(s) (rouge) -17,56 22,8
P4(g) 22,8 279,9

1. Il existe deux formes du phosphore solide : le phosphore rouge et le phosphore blanc (très toxique).

a. Calculer μ°P(s) (blanc) − μ°P(s) (rouge) à 298 K .
b. En conclure que l’on fait, dans le cas du phosphore, une exception pour le choix de l'état standard de référence.

2. Par chauffage, le phosphore rouge se sublime en phosphore gazeux de formule P4 :

4P(s) (rouge) = P4(g)
a. Exprimer l'enthalpie libre standard de cette réaction en fonction de la température T en faisant l'approximation d'Ellingham. On donnera le résultat sous forme d'une fonction de T avec des coefficients numériques.
b. En déduire une expression de la pression de la vapeur de phosphore à l'équilibre en fonction de T.
c. Pour quelle température la pression de vapeur du phosphore à l'équilibre est-elle égale à 1 bar ?

Exercice 2 : Préparation du dihydrogène par reformage du méthane[modifier | modifier le wikicode]

Données :

  • Constante de gaz parfaits : R = 8,314 J.K-1.mol-1


Composé Enthalpie standard de formation à 298 K en kJ.mol-1 −74, 4 Entropie molaire standard en J.K -1.mol-1 Capacité calorifique molaire à pression constante en J.K-1.mol-1
CH4(g) -74,4 186,3 35,3
H2O(g) -241,8 188,8 33,6
CO(g) -110,5 197,7 29,1
H2(g) 130,7 28,8
Les capacités calorifiques molaires à pression constante sont supposées indépendantes de la température.

Le reformage du méthane à la vapeur d'eau (procédé appelé vaporeformage) sur catalyseur au nickel est la réaction la plus appropriée à la production de dihydrogène. Les combustibles utilisés renferment des produits sulfurés qui sont des poisons vis-à-vis du catalyseur ; aussi un réactif de désulfuration à base d’oxyde de zinc est il placé en amont du reformeur. La réaction de désulfuration qui s'opère à 400 K s’écrit :


avec :
1.a. Calculer la constante d'équilibre K1 de cette réaction à 400 K.
1.b. À l'entrée de cette unité de traitement, le mélange gazeux renferme 70,6 % de H2O(g), 25 % de CH4(g)
et 4,4 % de H2S(g) (pourcentages molaires). Évaluer la composition du mélange gazeux à l'issue de cette
étape de désulfuration. Indication : Faire un tableau bilan de matière avec, dans l'état initial, 100 mol de gaz. Déterminer
ensuite l'avancement de réaction dans l'état final.
1.c. La réaction (1) est-elle endothermique ou exothermique ?
Ce mélange est ensuite porté à 1273 K sous pression constante puis mis en présente de nickel qui permet de catalyser la réaction de vaporeformage du méthane :
(la cinétique de cette réaction serait beaucoup trop lente sans catalyseur).
2.a. Calculer à 298 K l'enthalpie standard de réaction , puis exprimer en fonction de la température.
2.b. Calculer à 298 K l'entropie standard de réaction , puis exprimer en fonction de la température.
2.c. K2 désignant la constante d'équilibre, donner l’expression de en fonction de la température. Calculer K2 à 1273 K.
En réalité, l'équilibre de reformage du méthane s'accompagne toujours de l'équilibre suivant :
pour lequel est donnée la constante d'équilibre à 1273K : K3 (1273) = 0, 409.
Considérons un mélange initial de 1mol de méthane et de 3mol d'eau ; appelons ξ3 le degré d'avancement de la réaction (3) et ξ4 celui de la réaction (4).
3.a. Dresser un tableau bilan de matière pour les espèces intervenant dans les équilibres (2) et (3).
3.b. Justifier l'approximation ξ2 1mol. Calculer alors ξ3.
3.c. La pression totale étant maintenue à la valeur constante 5,0 bar, déterminer les pressions partielles en CO(g), H2(g), H2O(g), CO(g) et CH4(g) à la sortie du réformeur. Vérifier l'approximation faite à la question précédente.
3.d. Préciser l'avantage apporté par la réaction (3).
Au sein de la cellule élémentaire de la pile, du carbone est susceptible de se déposer simultanément à la conversion du méthane, selon deux réactions :
Équilibre de Boudouard :
pour lequel :
et
Réaction directe de craquage du méthane :
pour laquelle :
et
4.a. Exprimer les affinités chimiques et des réactions (4) et (5).
4.b. Les calculer dans les conditions de la question 3 et conclure.
4.c. Expliquer pourquoi le dépôt de carbone doit être évité au niveau de l’installation.

Exercice 3 : Décomposition du sulfate de calcium[modifier | modifier le wikicode]

Données à 298 K :


CaSO4(s) CaO(s) O2(g) SO2(g) SO3(g) S(s)
-299,7 -370,8
-1431,2 -634,5 -296,4 -395,4
106,6 39,7 204,8 247,9 31,8

Constante des gaz parfaits R = 8,314 J.mol-1.K-1.

Dans tout l'exercice, on se place dans un domaine de température comprenant la valeur 298 K où l'on pourra utiliser l'approximation d'Ellingham et où les constituants ci-dessus ne changent pas d'état physique.

1. On considère la réaction de dissociation du sulfate de calcium anhydre :

Calculer l'enthalpie standard et l'entropie standard de la réaction (1) à 298 K. Exprimer l'enthalpie libre standard de la réaction (1) en fonction de la température.

2. Les produits de la réaction précédente peuvent réagir selon la réaction :
2.a. Déterminer l'entropie molaire standard de formation à 298 K de SO3(g) puis son entropie molaire standard absolue à 298 K.
2.b. Exprimer l'enthalpie libre standard de la réaction (2) en fonction de la température.
3. Dans une enceinte initialement vide on introduit du sulfate de calcium anhydre, puis on chauffe à la température T et on impose une pression totale P.
3.a. Dans cette question, on néglige la réaction (2).
• Dresser un tableau bilan de matière pour la réaction (1).
• Déterminer les pressions partielles des gaz SO2(g) et O2(g) en fonction de P.
• En déduire l’expression de l'affinité chimique de la réaction (1) en fonction de T et de P.
• Pour quelle température T1 a-t-on l'équilibre chimique (1) si P = 1bar ?
• Que se passe-t-il pour P = 1bar et T < T1 ? pour P = 1bar et T > T1 ?
3.b. On veut vérifier le bien fondé de l'approximation faite à la question 3.a.. On suppose que la température à la valeur T1 déterminée à la question 3.a..
• Calculer la constante de l'équilibre (2) à la température T1, (T1).
• Montrer que : où P0 = 1 bar.
• Conclure.

Premier problème : Étude d’un anémomètre[modifier | modifier le wikicode]

Dans un anémomètre, l’ensemble mobile (S), en rotation autour de l'axe vertical ascendant Oz du repère galiléen orthonormé direct = (Oxyz), est constitué d'un rotor et de trois pales identiques disposées à 120° l'une de l'autre (figures 1 et 2).

Figure 1 (perspective) Figure 2 (dans le plan Oxy)
Figure 1 (perspective) Figure 2 (dans le plan Oxy)

Le rotor est un cylindre, d'axe Oz, de rayon a et de centre d’inertie O.

Chaque pale est constituée d'une tige et d'une plaque. La figure 1 montre, en perspective, l'une d'elles qui est constituée par :

  • une tige AB contenue dans le plan Oxy, de longueur a, soudée en A au rotor dans le prolongement du rayon OA (ainsi ) ;
  • une plaque , homogène, carrée de côté 2a, soudée à la tige en B ; les cotés et sont parallèles à la tige et les cotés et , de milieux respectifs B et C, sont verticaux.

On note :

  • M la masse totale de l’ensemble (S),
  • l'accélération de la pesanteur (g constante positive),
  • , ) l'angle définissant la position de (S) par rapport à ,
  • et
  • J le moment d'inertie de l’ensemble mobile (S) par rapport à l'axe Oz.

La rotation de l’ensemble mobile est provoquée par un jet de fluide situé sur la droite x=2a du plan Oxy et orienté vers les y croissants. L'action de ce jet sur la plaque est représentée, pour par une force aérodynamique  :

s'appliquant au point M d'impact du jet sur cette plaque (cf. figure 2). F0 et λ sont des constantes positives.

Il est tenu compte du frottement de (S) sur l'axe Oz selon 4 hypothèses :

  • (H1) pas de frottement ;
  • (H2) frottement solide : le moment en O de l'action de l'axe Oz sur (S) (action de liaison) est
f est une constante positive (coefficient de frottement solide) ;
  • (H3) frottement visqueux : le moment en O de l'action de l'axe Oz sur (S) (action de liaison) est
où α est une constante positive (coefficient de frottement visqueux).
  • (H4) frottement solide (H2) et frottement visqueux (H3) : le moment en O de l'action de l'axe Oz sur (S) (action de liaison) est .



1. a. Calculer le moment en O de la force aérodynamique pour par une force aérodynamique .
b. Montrer que ce moment est indépendant de la position de l’ensemble mobile (S).
2. a. Montrer que le centre d'inertie de l’ensemble mobile (S) est en O.
b. Déterminer la force la résultante de l'action de l'axe Oz sur (S) (action de liaison) pour par une force aérodynamique .
c. Représenter graphiquement la variation de la composante Rx de sur en fonction de θ pour une rotation de (S) d'un tour complet.
3. On se place dans l'hypothèse (H3).
Déterminer l’expression de la vitesse angulaire en prenant comme condition initiale .
4. On se place dans l’hypothèse (H4).
a. Établir l'équation différentielle vérifiée par .
b. Les conditions initiales du mouvement sont : . Quelle condition, dépendant de λ et
, doit satisfaire le coefficient de frottement f pour qu’il y ait mise en mouvement de (S) ? Discuter cette
condition quand θ varie de par une force aérodynamique .
5. Calculer la variation de pour une rotation d'un tour complet de l’ensemble mobile (S).
a. dans l'hypothèse (H1) (pas de frottement) ;
b. dans l'hypothèse (H2) (frottement solide seul).

Deuxième problème : Mouvement d'un clown sur un ballon[modifier | modifier le wikicode]

Le référentiel terrestre est supposé galiléen. On le rapporte à un repère orthonormé direct (Oxyz) tel que l'axe Oz est vertical ascendant. L'accélération de la pesanteur est .

Un ballon sphérique rigide a un rayon R, une masse m uniformément répartie en surface et un moment d'inertie par rapport à tout axe passant par son centre. Il roule sans glisser sur le sol horizontal de sorte que son centre C reste dans le plan Ozx.

Le coefficient de frottement de glissement au contact entre le ballon et le sol est f. Ce coefficient caractérise l'action de contact du sol sur le ballon. Cette action se réduit à une force inconnue appliquée en I. Si le ballon ne glisse pas sur le sol ; si le ballon glisse alors : .

Exercice frottement ballon sol.svg

Un clown a ses pieds en un point A du ballon situé dans le plan Ozx et tel que la droite CA fasse un angle α donné et constant avec la verticale (cf. figure). Le clown, de centre de masse H, marche ou court à petits pas sur le ballon en direction de son point le plus haut ; il fait en sorte qu’à tout instant la droite instantanée CA fasse l'angle α avec la verticale et la droite AH soit constamment verticale (cf. figure). On donne : . Le clown est assimilé à un solide de masse M en mouvement de translation dans  ; on néglige ainsi l'inertie des parties mobiles du clown dans sa marche ou sa course petits pas.

On appelle le système matériel constitué par le clown et le ballon.

Notations : la vitesse du centre C du ballon dans le référentiel est notée et son vecteur rotation dans est noté .

Partie A — Cinématique et cinétique[modifier | modifier le wikicode]

1.a. Quelles sont la vitesse et l'accélération de H dans  ?
2. Quelle est la relation traduisant le roulement sans glissement du ballon sur le sol ?
3. Exprimer la vitesse du clown par rapport à la surface du ballon soit .
4.a. Quel est, dans , le moment cinétique du ballon en son centre C ? On exprimera en fonction de m, R et v.
b. En déduire le moment cinétique dans du ballon au point de contact avec le sol I.
5.a. Quel est, dans , le moment cinétique du clown en H ? En déduire, dans , le moment cinétique du clown en I.
b. Exprimer en fonction de R, v, m, M et α le moment cinétique total du système S en I, dans le référentiel .

Partie B — Dynamique[modifier | modifier le wikicode]

1. Faire le bilan des actions mécaniques extérieures appliquées au système S. Ces actions sont-elles connues ou inconnues ?
2.a. Écrire le théorème de Koœnig donnant le moment cinétique . En déduire que : désigne le moment, pris en I, de toutes les actions extérieures appliquées à S. Pouviez-vous écrire directement cette relation ?
b. Montrer que :
c. Calculer numériquement pour M = 60 kg ; m = 6 kg R = 0,5 m ; α = 5° ; g = 9,8 m.s-2.
3.a. Calculer littéralement (en fonction de M, m, g et a) puis numériquement les composantes Rx et Rz de la réaction du sol sur le ballon.
b. Montrer que f = 0,2 il ne peut y avoir glissement ni au départ, ni en un instant ultérieur.
4. Le clown ne peut courir à petits pas à plus de Vmax = 2 m.-1 par rapport à la surface du ballon. Initialement le clown et le ballon sont immobiles. Au bout de quel temps T cette vitesse est-elle atteinte ? Quelle est la distance L parcourue par le ballon ? On demande pour T et L les expressions littérales (en fonction de Vmax et de a) et les valeurs numériques.

Partie C — Statique et dynamique sur un plan incliné[modifier | modifier le wikicode]

Exercice frottement ballon sol 2.svg

Le ballon est désormais sur une planche inclinée d'un angle β par rapport au sol. Le clown est toujours vertical : AH est orthogonal au sol. Le clown marche ou court à petit pas pour maintenir l'angle algébrique entre les vecteurs et constamment égal à α.

On admet que la démarche menée dans les parties A et B conduit, dans ce cas, au résultat suivant :

en notant et un vecteur unitaire de la ligne de plus grande pente de la planche inclinée dirigé vers le bas (cf. figure).

1. Commenter ce résultat en le comparant à celui de la question 2.b. de la partie B.
2. Clown en équilibre :
a. Montrer que, pour une valeur particulière de α dépendant de l'angle β, l'équilibre du système clown-ballon est possible.
b. Quelle est la condition sur β pour que le glissement en I ne s'amorce pas ? Faire l’application numérique en prenant f = 0, 2.
c. Calculer numériquement α à l'équilibre pour β = 5°.
3. Mouvement descendant : Le système clown-ballon descend le plan incliné. Initialement le ballon et le clown sont immobiles. On prend α = β = 5°.
a. Calculer numériquement puis la distance parcourue quand le clown atteint la vitesse limite, par rapport au ballon, de 2 m.s-1.
b. Comparer au résultat de la question 4.
4. Mouvement ascendant : Le clown veut avoir un mouvement ascendant, c'est-à-dire remonter la pente .
a. Montrer que α doit satisfaire à une inégalité, dépendant de β. Si β = 5°, la valeur α = −15° est-elle satisfaisante ? Calculer numériquement dans ce cas.
b. Calculer, littéralement et numériquement, les composantes Rx et Rz de la réaction du sol sur le ballon et vérifier que le glissement ne peut s'amorcer si f = 0, 2.
c. Quelle longueur le ballon peut-il parcourir avant que le clown perde l'équilibre ? À quelle hauteur cela correspond-il ?