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Mémo Maths

Propriétés des logarithmes et exponentielles

$e^{0}=1\qquad e^{a+b}=e^{a}.e^{b}\qquad (e^{a})^{k}=e^{ka}\qquad$
​

$e^{(a-b)}={\frac {e^{a}}{e^{b}}}\qquad \ln {(ab)}=\ln(a)+ln(b)\qquad \ln {a^{k}}=k\ln(a)$
​

$\log _{k}(a)={\frac {\ln(a)}{\ln(k)}}\qquad \ln {e^{a}}=a$

Dérivation et différentielles des fonctions simples

Soit $x$ une variable, $k$ une constante toutes deux $\in \mathbb {R}$; et $f$, $u$ et $v$ trois fonctions :

Rappel : $f'={\frac {df}{dx}}$ donnant $df={\frac {df}{dx}}.dx=f'dx$ ("Trouver la différentielle"="Trouver la dérivée et la multiplier par la différentielle de la variable en fonction de laquelle on a dérivé").

Fonction	Dérivée	Différentielle
$f(x)$	$f'(x)$	$df(x)$
$x$	$1$	$dx$
$k.x$	$k$	$kdx$
$x^{k}$	$k.x^{k-1}$	$k.x^{k-1}dx$
${\frac {1}{x^{k}}}$	${\frac {-k}{x^{k+1}}}$	${\frac {-k}{x^{k+1}}}dx$
${\sqrt {x}}$	${\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$	${\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}dx$
$\sin x$	$\cos x$	$dx\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$	$-dx\sin x$
$\tan x$	$1+\tan ^{2}x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}$	$(1+\tan ^{2}x).dx={\frac {1}{\cos ^{2}x}}dx$
$e^{x}$	$e^{x}$	$e^{x}.dx$
$\ln x$	${\frac {1}{x}}$	${\frac {1}{x}}dx$

Dérivation et différentielles des fonctions composées

Fonction	Dérivée	Différentielle
$u+v$	$u'+v'$	$du+dv$
$u.v$	$u'.v+v'.u$	$du.v+dv.u$
${\frac {1}{v}}$	$-{\frac {v'}{v^{2}}}$	$-{\frac {dv}{v^{2}}}$
${\frac {u}{v}}$	${\frac {u'.v-v'.u}{v^{2}}}$	${\frac {du.v-dv.u}{v^{2}}}$
$u^{k}$	$k.u'.u^{k-1}$	$k.du.u^{k-1}$
$e^{u}$	$u'.e^{u}$	$du.e^{u}$
${\frac {1}{u^{k}}}$	$-{\frac {k.u'}{u^{k+1}}}$	$-{\frac {k.du}{u^{k+1}}}$
${\sqrt {u}}$	${\frac {u'}{2{\sqrt {u}}}}$	${\frac {du}{2{\sqrt {u}}}}$
$\sin u$	$u'.\cos u$	$du.\cos u$
$\cos u$	$-u'.\sin u$	$-du.\sin u$
$\ln u$	${\frac {u'}{u}}$	${\frac {du}{u}}$
$\log _{k}\left|u\right|={\frac {\ln \left|u\right|}{\ln k}}$	${\frac {u'}{\left|u\right|\ln k}}$	${\frac {du}{\left|u\right|\ln k}}$
$k^{u}=e^{\ln {k.u}}$	$\ln k.u'.k^{u}$	$\ln k.du.k^{u}$

Primitives, Intégrales

Primitives usuelles, où C une constante $\in \mathbb {R}$ :
​ Rappel : $F'(x)=f(x)$

Fonction : f(x)	Primitive : F(x)
$k\in \mathbb {R}$	$kx+C$
$x^{k}$ avec $k\neq -1$	$({\frac {1}{k+1}})x^{k+1}+C$
$x^{-1}={\frac {1}{x}}$	$\ln(\left|x\right|)+C$
$\sin(x)$	$C-\cos(x)$
$\cos(x)$	$C+\sin(x)$
$\tan(x)$	$C-\ln(\left|\cos(x)\right|)$
$e^{x}$	$e^{x}+C$

Intégrale : $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)$

Relation de Chasles : $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{c}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$

Linéarité : $\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x$

Signe : $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{b}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x$

Intégration par parties : $\int _{a}^{b}u'(x).v(x)\,\mathrm {d} x=[u(x).v(x)]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u(x).v'(x)\,\mathrm {d} x$

Calculs d'erreurs, incertitudes

Notation scientifique : Le premier chiffre différent de zéro est mis à l'unité, multiplié par $10^{\pm n}$

Chiffres significatifs : Chiffres à partir du premier différent de zéro en partant de la gauche (les zéros après comptent). Dans un calcul, le nombre de chiffres significatifs donné au résultat est celui de la donnée ayant le plus petit (ou celui donné dans la consigne).

Incertitude absolue : $\Delta f\leq \left|{\frac {\delta f}{\delta x}}\right|{\Delta x}+\left|{\frac {\delta f}{\delta y}}\right|{\Delta y}+\left|{\frac {\delta f}{\delta z}}\right|{\Delta z}$ où $\Delta$x, $\Delta$y,$\Delta$z les incertitudes absolues de x, y et z. Attention, un seul chiffre significatif à l'incertitude.

Incertitude relative : ${\frac {\Delta f}{f}}$ (en passant par $\ln(f)$)

Polynômes

$ax^{2}+bx+c=0\qquad \Delta =b^{2}-4ac\qquad \alpha ={\frac {-b}{2a}}\qquad \beta ={\frac {\sqrt {\left|\Delta \right|}}{2a}}$

Si $\Delta \geq 0$ alors $r_{1}=\alpha -\beta$ et $r_{2}=\alpha +\beta$
​

Si $\Delta =0$ alors $r_{0}=\alpha$
​

Si $\Delta \leq 0$ alors $r_{1}=\alpha -i\beta$ et $r_{2}=\alpha +i\beta$