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Classement des fonctions selon la parité[modifier | modifier le wikicode]

Il existe une infinité de fonctions paires et impaires, certaines plus intéressantes et plus proches du réel que d'autres.

Sachant que toute fonction peut se décomposer en une paire et une impaire, qui peuvent être respectivement des combinaisons linéaires P et I de produits pairs et impairs.
Sachant que le produit de deux paires ou de deux impaires est pair, et que celui d'une paire et d'une impaires est impaire.

Il en est de même pour les échantillonnages On classera les fonctions et échantillonnages, à un coefficient multiplicateur près, en fonctions basiques qui serviront de composantes aux décompositions des échantillonnages et fonctions à modéliser :

  • Choisi(e)s tel(le)s que f(0)=0, la valeur 0 de la variable étant centrale, la valeur de la fonction devenant la valeur à l'origine
Tel que et l'intervalle t de définition de f centré sur
  • 4 types principaux, dont 3 de base apparemment uniques, et ayant cette propriété f'(t)=0 se font jour alors :
A / celles qui fluctuent et sont bornées à l'infini paires fPH et impaires fIH( type sin cos, produits et combinaisons linéaires similaires )
B / celles qui tendent vers 0 à l'infini, paires fP0 ou impaires fI0 , type ondelettes de Daubechies mais avec valeur nulle pour t=0
C / celles qui tendent vers 1 à l'infini, paires fP1 ou impaire fI1
D / celles non bornées qui feront l'objet d'une étude spéciale.
fPH & fiH fP0 & fI0 fP0 & fI1
fonctions paires
fonctions impaires
fonctions paires toute combinaison linéaire de produits pairs de fonctions
fonctions impaires toute combinaison linéaire de produits impairs de fonctions

Exemple basique de modélisation

2k+1 couples de fonctions 3 données 5 données 7 données 9 données

Modélisation Mixte Harmonique Hyperbolique par 5 points , 5 couples x,y[modifier | modifier le wikicode]

Soit 5 couples

La mission consiste, si vous l'acceptez, à déterminer une fonction qui répond, soit exactement, soit au mieux au sens de la régression, à ces données.

Possibilité&s , parmi d'autres à trouver :

hh signifie que la fonction sin ou cos peuvent être selon les calculs harmonique ou hyperbolique
D'où
Plus rapide et plus stylé consiste à dire que tout échantillonnage peut se décomposer en une somme d'un échantillonnage pair et d'un échantillonnage impair
Ce qui donne ici
OU
:ET:
OU
OU AVEC 7 Couples de données
OU AVEC 7 Couples de données
OU
En faisant successivement k=1,3,5,....
OU AVEC 7 Couples de données
En faisant successivement k=1,2,3....
OU AVEC 7 Couples de données
En faisant successivement k=1,3,5....

OU

Toute combinaison d'une fonction paire t d'une fonction impaire avec 5 inconnues en tout

Harmonique simple de régression unipulsatoire[modifier | modifier le wikicode]

Méthode[modifier | modifier le wikicode]

L'équation de la courbe de l'harmonique peut se ramener à la forme :
Avec les propriétés suivantes :
- La somme des carrés des différences des aux est minimale pour un donné ( propriété de base de la régression )
Propriété P1 : minimale
Parmi toutes ces harmoniques obtenues pour tous les , une pour chaque, certaines sont plus probables que d'autres. Exemples :
_ celles où est minimale ou inférieure à une valeur donnée. (Condition C1)
_ celles où la valeur absolue de la différence entre et {la moyenne des k plus grands y – la moyenne de k plus petits y} hors est minimale ou inférieure à une valeur donnée (Condition C2).
_ celles où la puissance de y minimale  : est minimale ou inférieure à une valeur donnée (Condition C3).
_ ou d'autres conditions. On quitte le domaines des maths pures pour les maths appliquées.

Application[modifier | modifier le wikicode]

2k+1 couples[modifier | modifier le wikicode]

Méthode directe[modifier | modifier le wikicode]
Calcul de S et C de régression[modifier | modifier le wikicode]
P1 : Se traduit par le système : et
Et après simplification vu les parités :
D'où S et C :


et

Calcul de wt optimal ( phi déphasage ) et des maxi-mini[modifier | modifier le wikicode]
Pour et on obtient les extrèmum et
D'où par
Aux extrémum, en substituant , on obtient soit :
Avec la condition C1 plus haut , il s'agira de minimiser la quantité :( bon vérifié )
Un programme ou le tableur donneront la valeur de w optimale cherchée telle que :
Les harmoniques simples s'écrivent alors  :
SUITE A VERIFIER

Parmi celles-ci, celle qui a une amplitude minimale ; pour on a minimal.
Parmi aussi, celle de efficace qui donnera en faisant .A noter que la valeur efficace est la valeur moyenne au sens Riemanien.

Méthode par décomposition paritaire[modifier | modifier le wikicode]
avec et
avec et par définition des parties impaires et paires d'une fonction ou d'un échantillonnage.
Chercher la régressions de y, ce peut être dans certains cas de superpositions de phénomènes, chercher séparément les régressions propres de y_I et y_P puis les ajouter.
On écrit les conditions de régression pour chaque partie et on les traduit :
D'où S et C : et
Or :
Et :
D'où en sommant terme à terme :
et
Ce qui par ailleurs affranchit donc de la parité du nombre de couples ( 2k ou 2k+1 )
La suite des calculs 122112 est la même afin d'obtenir une valeur unique de
Avec la condition C1 plus haut , il s'agira de minimiser la quantité :
Un programme ou le tableur donneront la valeur de w optimale cherchée .

4k+2 couples[modifier | modifier le wikicode]

Aux extrémum, en substituant , on obtient soit :

Harmonique multipulsatoire de pulsations 2pi/n n>3[modifier | modifier le wikicode]

Par la suite on emploiera la méthode directe par partition paritaire des échantillonnages et des fonctions de régression.

Problème général[modifier | modifier le wikicode]

Soit à décomposer un échantillonnage y* en une somme sin et cos de périodes n de 3 à N.
Comme précédemment, pour 2k+1 couples (i,y) avec i au pas de 1, on écrit y sous la forme :
Procédure :
partager y* en partie paire ( cos et terme constant ) et impaire ( sin ) ;
écrire les conditions de régression pour chaque partie, comme quoi les sommes des carrés des différences sont minimales et que donc les dérivées par rapport à chaque S et chaque C sont nulles. Cela permet d'obtenir deux systèmes de n équations linéaires, un en S et un en C, résolvables en C et S.
On obtient:

___________

Alors que la Transformée de Fourier décompose uniquement en sin et cos de périodes < 2k, intervalle de définition, cette méthode travaille sur les périodes inférieures ET supérieures à l'intervalle de définition 2k ! On peut donc commencer à envisager des extrapolations possibles.
Il faut balayer toutes les valeurs pour trouver le spectre. Une méthode déjà présentée dans un Laboratoire de Patrick Bréjon, désormais disparu permet d'accéder directement à ce spectre selon les valeurs décroissantes de n , croissantes de omega

Autre approche : harmonique double de pulsations 2pi/n et 2pi/n+k puis 2pi/n et k2pi/n[modifier | modifier le wikicode]

2k+1 couples[modifier | modifier le wikicode]

Suite à revoir afin de respecter les données du titre
avec et
avec et par définition des parties impaires et paires d'une fonction ou d'un échantillonnage.
Les conditions de régression sont :
Soit donc :

Harmonique double de pulsations w et w+h[modifier | modifier le wikicode]