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Il existe une infinité de fonctions paires et impaires, certaines plus intéressantes et plus proches du réel que d'autres.
Sachant que toute fonction peut se décomposer en une paire et une impaire, qui peuvent être respectivement des combinaisons linéaires P et I de produits pairs et impairs.
Sachant que le produit de deux paires ou de deux impaires est pair, et que celui d'une paire et d'une impaires est impaire. Il en est de même pour les échantillonnages
On classera les fonctions et échantillonnages, à un coefficient multiplicateur près, en fonctions basiques qui serviront de composantes aux décompositions des échantillonnages et fonctions à modéliser :
Choisi(e)s tel(le)s que f(0)=0, la valeur 0 de la variable étant centrale, la valeur de la fonction devenant la valeur à l'origine
f
(
t
)
=
f
(
0
)
+
A
∗
I
i
m
p
a
i
r
e
(
t
)
+
B
∗
P
p
a
i
r
e
(
t
)
{\displaystyle f(t)=f(0)+A*I_{impaire}(t)+B*P_{paire}(t)}
Tel que
P
p
a
i
r
e
(
0
)
=
0
{\displaystyle P_{paire}(0)=0}
t
=
0
{\displaystyle t=0}
4 types principaux, dont 3 de base apparemment uniques, et ayant cette propriété f'(t)=0 se font jour alors : A / celles qui fluctuent et sont bornées à l'infini paires fPH et impaires fIH( type sin cos, produits et combinaisons linéaires similaires )
B / celles qui tendent vers 0 à l'infini, paires fP0 ou impaires fI0 , type ondelettes de Daubechies mais avec valeur nulle pour t=0
C / celles qui tendent vers 1 à l'infini, paires fP1 ou impaire fI1
D / celles non bornées qui feront l'objet d'une étude spéciale.
fPH & fiH
fP0 & fI0
fP0 & fI1
…
fonctions paires
1
−
c
o
s
(
w
1
t
n
)
{\displaystyle 1-cos(w_{1}t^{n})}
1
−
e
−
w
1
t
2
h
1
{\displaystyle 1-e^{-w_{1}t^{2h_{1}}}}
1
−
1
c
h
(
w
t
h
1
)
{\displaystyle 1-{\frac {1}{ch(wt^{h_{1}})}}}
…
fonctions impaires
s
i
n
(
w
2
t
n
)
{\displaystyle sin(w_{2}t^{n})}
e
−
w
1
2
h
1
s
h
(
−
w
2
h
2
)
{\displaystyle e^{-w_{1}^{2h_{1}}}sh({-w_{2}^{h_{2}}})}
t
h
(
w
t
h
2
)
{\displaystyle th(wt^{h_{2}})}
…
fonctions paires
F
1
i
m
p
a
i
r
e
F
2
i
m
p
a
i
r
e
{\displaystyle {\frac {F_{1}impaire}{F_{2}impaire}}}
F
1
i
m
p
∗
F
2
i
m
p
{\displaystyle {F_{1}imp}*{F_{2}imp}}
F
1
p
a
i
r
e
∗
F
2
p
a
i
r
e
{\displaystyle {F_{1}paire}*{F_{2}paire}}
|
t
|
t
∗
F
i
m
p
{\displaystyle {\frac {|t|}{t}}*Fimp}
toute combinaison linéaire de produits pairs de fonctions
fonctions impaires
F
1
i
m
p
a
i
r
e
F
2
p
a
i
r
e
{\displaystyle {\frac {F_{1}impaire}{F_{2}paire}}}
F
2
p
a
i
r
e
F
1
i
m
p
a
i
r
e
{\displaystyle {\frac {F_{2}paire}{F_{1}impaire}}}
F
1
i
m
p
∗
F
2
p
a
i
r
e
{\displaystyle {F_{1}imp}*{F_{2}paire}}
|
t
|
t
∗
F
p
a
i
r
e
{\displaystyle {\frac {|t|}{t}}*Fpaire}
toute combinaison linéaire de produits impairs de fonctions
Exemple basique de modélisation
2k+1 couples de fonctions
3 données
(
x
i
,
y
i
)
{\displaystyle (x_{i},y_{i})}
i
=
−
1
,
0
,
1
{\displaystyle i=-1,0,1}
5 données
i
=
−
2
,
−
1
,
0
,
1
,
2
{\displaystyle i=-2,-1,0,1,2}
7 données
9 données
s
i
n
|
c
o
s
{\displaystyle sin|cos}
y
0
+
w
1
s
i
n
(
w
1
)
+
w
2
(
1
−
c
o
s
(
w
2
)
)
{\displaystyle y_{0}+w_{1}sin(w_{1})+w_{2}(1-cos(w_{2}))}
y
0
+
S
s
i
n
(
w
1
)
+
C
(
1
−
c
o
s
(
w
2
)
)
{\displaystyle y_{0}+Ssin(w_{1})+C(1-cos(w_{2}))}
y
0
+
S
e
−
s
t
2
s
i
n
(
w
1
)
+
C
e
−
c
t
2
(
1
−
c
o
s
(
w
2
)
)
{\displaystyle y_{0}+Se^{-st^{2}}sin(w_{1})+Ce^{-ct^{2}}(1-cos(w_{2}))}
y
0
+
S
1
s
i
n
(
w
1
)
+
S
3
s
i
n
(
w
3
)
+
C
2
(
1
−
c
o
s
(
w
2
)
)
+
C
4
(
1
−
c
o
s
(
w
4
)
)
{\displaystyle y_{0}+S_{1}sin(w_{1})+S_{3}sin(w_{3})+C_{2}(1-cos(w_{2}))+C_{4}(1-cos(w_{4}))}
Soit 5 couples
(
x
i
,
y
i
)
,
i
(
−
2
,
−
1
,
0
,
+
1
,
+
2
)
{\displaystyle (x_{i},y_{i}),i(-2,-1,0,+1,+2)}
La mission consiste, si vous l'acceptez, à déterminer une fonction qui répond, soit exactement, soit au mieux au sens de la régression, à ces données.
Possibilité&s , parmi d'autres à trouver :
1
/
y
i
=
y
0
+
S
∗
s
i
n
h
h
(
ω
s
∗
i
)
+
C
∗
(
1
−
c
o
s
h
h
(
ω
c
∗
i
)
)
{\displaystyle 1/y_{i}=y_{0}+S*sinhh(\omega _{s}*i)+C*(1-coshh(\omega _{c}*i))}
hh signifie que la fonction sin ou cos peuvent être selon les calculs harmonique ou hyperbolique
{
y
−
2
=
y
0
+
S
∗
s
i
n
h
h
(
ω
s
∗
−
2
)
+
C
∗
(
1
−
c
o
s
h
h
(
ω
c
∗
−
2
)
)
y
−
1
=
y
0
+
S
∗
s
i
n
h
h
(
ω
s
∗
−
1
)
+
C
∗
(
1
−
c
o
s
h
h
(
ω
c
∗
−
1
)
)
y
+
1
=
y
0
+
S
∗
s
i
n
h
h
(
ω
s
∗
+
1
)
+
C
∗
(
1
−
c
o
s
h
h
(
ω
c
∗
+
1
)
)
y
+
2
=
y
0
+
S
∗
s
i
n
h
h
(
ω
s
∗
+
2
)
+
C
∗
(
1
−
c
o
s
h
h
(
ω
c
∗
+
2
)
)
{\displaystyle {\begin{cases}y_{-2}=y_{0}+S*sinhh(\omega _{s}*-2)+C*(1-coshh(\omega _{c}*-2))\\y_{-1}=y_{0}+S*sinhh(\omega _{s}*-1)+C*(1-coshh(\omega _{c}*-1))\\y_{+1}=y_{0}+S*sinhh(\omega _{s}*+1)+C*(1-coshh(\omega _{c}*+1))\\y_{+2}=y_{0}+S*sinhh(\omega _{s}*+2)+C*(1-coshh(\omega _{c}*+2))\end{cases}}}
{
y
+
2
+
y
−
2
=
2
∗
y
0
+
C
∗
(
1
−
c
o
s
h
h
(
ω
c
∗
2
)
)
y
+
1
+
y
−
1
=
2
∗
y
0
+
C
∗
(
1
−
c
o
s
h
h
(
ω
c
∗
1
)
)
{\displaystyle {\begin{cases}y_{+2}+y_{-2}=2*y_{0}+C*(1-coshh(\omega _{c}*2))\\y_{+1}+y_{-1}=2*y_{0}+C*(1-coshh(\omega _{c}*1))\end{cases}}}
{
y
+
2
−
y
−
2
=
S
∗
s
i
n
h
h
(
ω
s
∗
2
)
y
+
1
−
y
−
1
=
S
∗
s
i
n
h
h
(
ω
s
∗
1
)
{\displaystyle {\begin{cases}y_{+2}-y_{-2}=S*sinhh(\omega _{s}*2)\\y_{+1}-y_{-1}=S*sinhh(\omega _{s}*1)\end{cases}}}
Plus rapide et plus stylé consiste à dire que tout échantillonnage peut se décomposer en une somme d'un échantillonnage pair et d'un échantillonnage impair
Ce qui donne ici
(
x
i
,
y
i
)
=
(
x
i
,
y
i
+
y
−
i
2
)
+
(
x
i
,
y
i
+
y
−
i
2
)
{\displaystyle (x_{i},y_{i})=(x_{i},{\frac {y_{i}+y_{-i}}{2}})+(x_{i},{\frac {y_{i}+y_{-i}}{2}})}
OU
{
y
+
2
−
y
−
2
2
=
S
∗
s
i
n
h
h
(
ω
s
∗
2
)
y
+
1
−
y
−
1
2
=
S
∗
s
i
n
h
h
(
ω
s
∗
1
)
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {y_{+2}-y_{-2}}{2}}=S*sinhh(\omega _{s}*2)\\{\frac {y_{+1}-y_{-1}}{2}}=S*sinhh(\omega _{s}*1)\end{cases}}}
{
y
+
2
+
y
−
2
2
=
y
0
+
C
∗
(
1
−
c
o
s
h
h
(
ω
c
∗
2
)
)
y
+
1
+
y
−
1
2
=
y
0
+
C
∗
(
1
−
c
o
s
h
h
(
ω
c
∗
1
)
)
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {y_{+2}+y_{-2}}{2}}=y_{0}+C*(1-coshh(\omega _{c}*2))\\{\frac {y_{+1}+y_{-1}}{2}}=y_{0}+C*(1-coshh(\omega _{c}*1))\end{cases}}}
2
/
y
i
=
y
0
+
e
−
k
x
2
∗
(
S
∗
s
i
n
(
ω
∗
i
)
+
C
∗
(
1
−
c
o
s
(
ω
∗
i
)
)
{\displaystyle 2/y_{i}=y_{0}+e^{-kx^{2}}*(S*sin(\omega *i)+C*(1-cos(\omega *i))}
{
y
−
2
=
y
0
+
e
−
k
4
∗
(
S
∗
s
i
n
(
ω
∗
−
2
)
+
C
∗
(
1
−
c
o
s
(
ω
∗
2
)
)
y
−
1
=
y
0
+
e
−
k
1
∗
(
S
∗
s
i
n
(
ω
∗
−
1
)
+
C
∗
(
1
−
c
o
s
(
ω
∗
1
)
)
y
+
1
=
y
0
+
e
−
k
1
∗
(
S
∗
s
i
n
(
ω
∗
+
1
)
+
C
∗
(
1
−
c
o
s
(
ω
∗
1
)
)
y
+
2
=
y
0
+
e
−
k
4
∗
(
S
∗
s
i
n
(
ω
∗
+
2
)
+
C
∗
(
1
−
c
o
s
(
ω
∗
2
)
)
{\displaystyle {\begin{cases}y_{-2}=y_{0}+e^{-k4}*(S*sin(\omega *-2)+C*(1-cos(\omega *2))\\y_{-1}=y_{0}+e^{-k1}*(S*sin(\omega *-1)+C*(1-cos(\omega *1))\\y_{+1}=y_{0}+e^{-k1}*(S*sin(\omega *+1)+C*(1-cos(\omega *1))\\y_{+2}=y_{0}+e^{-k4}*(S*sin(\omega *+2)+C*(1-cos(\omega *2))\end{cases}}}
OU
3
c
a
s
p
a
r
t
i
c
u
l
i
e
r
d
u
2
/
y
i
=
y
0
+
K
e
−
k
x
2
∗
(
s
i
n
(
ω
s
∗
i
)
+
(
1
−
c
o
s
(
ω
c
∗
i
)
)
{\displaystyle 3casparticulierdu2/y_{i}=y_{0}+Ke^{-kx^{2}}*(sin(\omega _{s}*i)+(1-cos(\omega _{c}*i))}
{
y
−
2
=
y
0
+
K
e
−
k
4
∗
(
s
i
n
(
ω
s
∗
−
2
)
+
(
1
−
c
o
s
(
ω
c
∗
2
)
)
y
−
1
=
y
0
+
K
e
−
k
1
∗
(
s
i
n
(
ω
s
∗
−
1
)
+
(
1
−
c
o
s
(
ω
c
∗
1
)
)
y
+
1
=
y
0
+
K
e
−
k
1
∗
(
s
i
n
(
ω
s
∗
+
1
)
+
(
1
−
c
o
s
(
ω
c
∗
1
)
)
y
+
2
=
y
0
+
K
e
−
k
4
∗
(
s
i
n
(
ω
s
∗
+
2
)
+
(
1
−
c
o
s
(
ω
c
∗
2
)
)
{\displaystyle {\begin{cases}y_{-2}=y_{0}+Ke^{-k4}*(sin(\omega _{s}*-2)+(1-cos(\omega _{c}*2))\\y_{-1}=y_{0}+Ke^{-k1}*(sin(\omega _{s}*-1)+(1-cos(\omega _{c}*1))\\y_{+1}=y_{0}+Ke^{-k1}*(sin(\omega _{s}*+1)+(1-cos(\omega _{c}*1))\\y_{+2}=y_{0}+Ke^{-k4}*(sin(\omega _{s}*+2)+(1-cos(\omega _{c}*2))\end{cases}}}
OU AVEC 7 Couples de données
4
/
y
i
=
y
0
+
e
−
k
s
x
2
∗
A
s
i
n
(
ω
s
∗
i
)
+
e
−
k
c
x
2
∗
B
(
1
−
c
o
s
(
ω
c
∗
i
)
)
{\displaystyle 4/y_{i}=y_{0}+e^{-k_{s}x^{2}}*Asin(\omega _{s}*i)+e^{-k_{c}x^{2}}*B(1-cos(\omega _{c}*i))}
{
y
−
2
=
y
0
+
e
−
4
k
s
∗
A
s
i
n
(
ω
s
∗
−
2
)
+
e
−
4
k
c
∗
B
(
1
−
c
o
s
(
ω
c
∗
2
)
)
y
−
1
=
y
0
+
e
−
k
s
∗
A
s
i
n
(
ω
s
∗
−
1
)
+
e
−
k
c
∗
B
(
1
−
c
o
s
(
ω
c
∗
1
)
)
y
+
1
=
y
0
+
e
−
k
s
∗
A
s
i
n
(
ω
s
∗
+
1
)
+
e
−
k
c
∗
B
(
1
−
c
o
s
(
ω
c
∗
1
)
)
y
+
2
=
y
0
+
e
−
4
k
s
∗
A
s
i
n
(
ω
s
∗
+
2
)
+
e
−
4
k
c
∗
B
(
1
−
c
o
s
(
ω
c
∗
2
)
)
{\displaystyle {\begin{cases}y_{-2}=y_{0}+e^{-4k_{s}}*Asin(\omega _{s}*-2)+e^{-4k_{c}}*B(1-cos(\omega _{c}*2))\\y_{-1}=y_{0}+e^{-k_{s}}*Asin(\omega _{s}*-1)+e^{-k_{c}}*B(1-cos(\omega _{c}*1))\\y_{+1}=y_{0}+e^{-k_{s}}*Asin(\omega _{s}*+1)+e^{-k_{c}}*B(1-cos(\omega _{c}*1))\\y_{+2}=y_{0}+e^{-4k_{s}}*Asin(\omega _{s}*+2)+e^{-4k_{c}}*B(1-cos(\omega _{c}*2))\end{cases}}}
OU AVEC 7 Couples de données
5
/
y
i
=
y
0
+
(
1
−
e
−
k
s
x
2
)
∗
A
s
i
n
(
ω
s
∗
i
)
+
(
1
−
e
−
k
c
x
2
)
∗
B
c
o
s
(
ω
c
∗
i
)
{\displaystyle 5/y_{i}=y_{0}+(1-e^{-k_{s}x^{2}})*Asin(\omega _{s}*i)+(1-e^{-k_{c}x^{2}})*Bcos(\omega _{c}*i)}
{
y
−
2
=
y
0
−
(
1
−
e
−
4
k
s
)
∗
A
s
i
n
(
ω
s
∗
2
)
+
(
1
−
e
−
4
k
c
)
∗
B
c
o
s
(
ω
c
∗
2
)
y
−
1
=
y
0
−
(
1
−
e
−
k
s
)
∗
A
s
i
n
(
ω
s
∗
1
)
+
(
1
−
e
−
k
c
)
∗
B
(
1
−
c
o
s
(
ω
c
∗
1
)
)
y
+
1
=
y
0
+
(
1
−
e
−
k
s
=
∗
A
s
i
n
(
ω
s
∗
+
1
)
+
(
1
−
e
−
k
c
)
∗
B
(
1
−
c
o
s
(
ω
c
∗
1
)
)
y
+
2
=
y
0
+
(
1
−
e
−
4
k
s
)
∗
A
s
i
n
(
ω
s
∗
2
)
+
(
1
−
e
−
4
k
c
)
∗
B
c
o
s
(
ω
c
∗
2
)
{\displaystyle {\begin{cases}y_{-2}=y_{0}-(1-e^{-4k_{s}})*Asin(\omega _{s}*2)+(1-e^{-4k_{c}})*Bcos(\omega _{c}*2)\\y_{-1}=y_{0}-(1-e^{-k_{s}})*Asin(\omega _{s}*1)+(1-e^{-k_{c}})*B(1-cos(\omega _{c}*1))\\y_{+1}=y_{0}+(1-e^{-k_{s}}=*Asin(\omega _{s}*+1)+(1-e^{-k_{c}})*B(1-cos(\omega _{c}*1))\\y_{+2}=y_{0}+(1-e^{-4k_{s}})*Asin(\omega _{s}*2)+(1-e^{-4k_{c}})*Bcos(\omega _{c}*2)\end{cases}}}
OU
6
/
y
i
=
y
0
+
A
(
1
−
e
−
k
a
x
2
)
+
B
x
k
(
1
−
e
−
k
b
x
2
)
{\displaystyle 6/y_{i}=y_{0}+A(1-e^{-k_{a}x^{2}})+Bx^{k}(1-e^{-k_{b}x^{2}})}
{
y
−
2
=
y
0
+
A
(
1
−
e
−
k
a
4
)
−
B
x
k
(
1
−
e
−
k
b
4
)
y
−
1
=
y
0
+
A
(
1
−
e
−
k
a
1
)
−
B
x
k
(
1
−
e
−
k
b
1
)
y
+
1
=
y
0
+
A
(
1
−
e
−
k
a
1
)
+
B
x
k
(
1
−
e
−
k
b
1
)
y
+
2
=
y
0
+
A
(
1
−
e
−
k
a
4
)
+
B
x
k
(
1
−
e
−
k
b
4
)
{\displaystyle {\begin{cases}y_{-2}=y_{0}+A(1-e^{-k_{a}4})-Bx^{k}(1-e^{-k_{b}4})\\y_{-1}=y_{0}+A(1-e^{-k_{a}1})-Bx^{k}(1-e^{-k_{b}1})\\y_{+1}=y_{0}+A(1-e^{-k_{a}1})+Bx^{k}(1-e^{-k_{b}1})\\y_{+2}=y_{0}+A(1-e^{-k_{a}4})+Bx^{k}(1-e^{-k_{b}4})\end{cases}}}
OU AVEC 7 Couples de données
7
/
y
i
=
y
0
+
A
x
2
k
e
−
k
a
x
2
+
B
x
2
k
+
1
e
−
k
b
x
2
{\displaystyle 7/y_{i}=y_{0}+Ax^{2k}e^{-k_{a}x^{2}}+Bx^{2k+1}e^{-k_{b}x^{2}}}
{
y
−
2
=
y
0
+
A
x
2
k
e
−
k
a
4
−
B
x
2
k
+
1
e
−
k
b
4
y
−
1
=
y
0
+
A
x
2
k
e
−
k
a
1
−
B
x
2
k
+
1
e
−
k
b
1
y
+
1
=
y
0
+
A
x
2
k
e
−
k
a
1
+
B
x
2
k
+
1
e
−
k
b
1
y
+
2
=
y
0
+
A
x
2
k
e
−
k
a
4
+
B
x
2
k
+
1
e
−
k
b
4
{\displaystyle {\begin{cases}y_{-2}=y_{0}+Ax^{2k}e^{-k_{a}4}-Bx^{2k+1}e^{-k_{b}4}\\y_{-1}=y_{0}+Ax^{2k}e^{-k_{a}1}-Bx^{2k+1}e^{-k_{b}1}\\y_{+1}=y_{0}+Ax^{2k}e^{-k_{a}1}+Bx^{2k+1}e^{-k_{b}1}\\y_{+2}=y_{0}+Ax^{2k}e^{-k_{a}4}+Bx^{2k+1}e^{-k_{b}4}\end{cases}}}
OU AVEC 7 Couples de données
8
/
y
i
=
y
0
+
A
x
2
k
(
1
−
e
−
k
a
x
2
)
+
B
x
2
k
+
1
(
1
−
e
−
k
b
x
2
)
{\displaystyle 8/y_{i}=y_{0}+Ax^{2k}(1-e^{-k_{a}x^{2}})+Bx^{2k+1}(1-e^{-k_{b}x^{2}})}
{
y
−
2
=
y
0
+
A
x
2
k
(
1
−
e
−
k
a
4
)
−
B
x
2
k
+
1
(
1
−
e
−
k
b
4
)
y
−
1
=
y
0
+
A
x
2
k
(
1
−
e
−
k
a
1
)
−
B
x
2
k
+
1
(
1
−
e
−
k
b
1
)
y
+
1
=
y
0
+
A
x
2
k
(
1
−
e
−
k
a
1
)
+
B
x
2
k
+
1
(
1
−
e
−
k
b
1
)
y
+
2
=
y
0
+
A
x
2
k
(
1
−
e
−
k
a
4
)
+
B
x
2
k
+
1
(
1
−
e
−
k
b
4
)
{\displaystyle {\begin{cases}y_{-2}=y_{0}+Ax^{2k}(1-e^{-k_{a}4})-Bx^{2k+1}(1-e^{-k_{b}4})\\y_{-1}=y_{0}+Ax^{2k}(1-e^{-k_{a}1})-Bx^{2k+1}(1-e^{-k_{b}1})\\y_{+1}=y_{0}+Ax^{2k}(1-e^{-k_{a}1})+Bx^{2k+1}(1-e^{-k_{b}1})\\y_{+2}=y_{0}+Ax^{2k}(1-e^{-k_{a}4})+Bx^{2k+1}(1-e^{-k_{b}4})\end{cases}}}
OU
Toute combinaison d'une fonction paire t d'une fonction impaire avec 5 inconnues en tout
L'équation de la courbe de l'harmonique peut se ramener à la forme :
y
=
y
0
+
S
∗
s
i
n
(
ω
∗
t
)
+
C
∗
(
1
−
c
o
s
(
ω
∗
t
)
)
{\displaystyle y=y_{0}+S*sin(\omega *t)+C*(1-cos(\omega *t))}
Avec les propriétés suivantes : - La somme des carrés des différences des
y
i
{\displaystyle y_{i}}
y
(
i
)
{\displaystyle y(i)}
ω
{\displaystyle \omega }
Propriété P1 :
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
y
i
−
y
(
i
)
)
2
{\displaystyle \sum _{i=-k}^{i=+k}(y_{i}-y(i))^{2}}
Parmi toutes ces harmoniques obtenues pour tous les
ω
{\displaystyle \omega }
_ celles où
y
m
a
x
−
y
m
i
n
{\displaystyle y_{max}-y_{min}}
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
_ celles où la valeur absolue de la différence entre
y
m
a
x
−
y
m
i
n
{\displaystyle y_{max}-y_{min}}
y
0
{\displaystyle y_{0}}
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
_ celles où la puissance de y minimale :
(
C
2
+
S
2
)
ω
{\displaystyle (C^{2}+S^{2})\omega }
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
_ ou d'autres conditions. On quitte le domaines des maths pures pour les maths appliquées. P1 : Se traduit par le système :
(
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
y
i
−
y
(
i
)
)
2
)
S
′
=
0
{\displaystyle (\sum _{i=-k}^{i=+k}(y_{i}-y(i))^{2})'_{S}=0}
(
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
y
i
−
y
(
i
)
)
2
)
C
′
=
0
{\displaystyle (\sum _{i=-k}^{i=+k}(y_{i}-y(i))^{2})'_{C}=0}
{
(
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
y
i
−
y
(
i
)
)
2
)
S
′
=
0
(
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
y
i
−
y
(
i
)
)
2
)
C
′
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}(\sum _{i=-k}^{i=+k}(y_{i}-y(i))^{2})'_{S}=0\\(\sum _{i=-k}^{i=+k}(y_{i}-y(i))^{2})'_{C}=0\\\end{cases}}}
{
(
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
y
(
i
)
−
y
0
−
S
∗
s
i
n
(
ω
i
)
−
C
∗
(
1
−
c
o
s
(
ω
i
)
)
)
2
)
s
′
=
0
(
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
y
(
i
)
−
y
0
−
S
∗
s
i
n
(
ω
i
)
−
C
∗
(
1
−
c
o
s
(
ω
i
)
)
)
2
)
c
′
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}(\sum _{i=-k}^{i=+k}(y(i)-y_{0}-S*sin(\omega i)-C*(1-cos(\omega i)))^{2})'_{s}=0\\(\sum _{i=-k}^{i=+k}(y(i)-y_{0}-S*sin(\omega i)-C*(1-cos(\omega i)))^{2})'_{c}=0\end{cases}}}
{
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
s
i
n
(
ω
i
)
(
y
(
i
)
−
y
0
−
S
∗
s
i
n
(
ω
i
)
−
C
∗
(
1
−
c
o
s
(
ω
i
)
)
=
0
(
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
1
−
c
o
s
(
ω
i
)
)
(
y
(
i
)
−
y
0
−
S
∗
s
i
n
(
ω
i
)
−
C
∗
(
1
−
c
o
s
(
ω
i
)
)
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}\sum _{i=-k}^{i=+k}sin(\omega i)(y(i)-y_{0}-S*sin(\omega i)-C*(1-cos(\omega i))=0\\(\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos(\omega i))(y(i)-y_{0}-S*sin(\omega i)-C*(1-cos(\omega i))=0\end{cases}}}
Et après simplification vu les parités :
{
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
s
i
n
(
ω
i
)
y
(
i
)
=
S
s
i
n
(
ω
i
)
2
(
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
1
−
c
o
s
(
ω
i
)
)
y
(
i
)
=
C
(
1
−
c
o
s
(
ω
i
)
)
2
{\displaystyle {\begin{cases}\sum _{i=-k}^{i=+k}sin(\omega i)y(i)=Ssin(\omega i)^{2}\\(\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos(\omega i))y(i)=C(1-cos(\omega i))^{2}\end{cases}}}
D'où S et C :
S
=
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
y
(
i
)
s
i
n
(
ω
i
)
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
s
i
n
2
(
ω
i
)
{\displaystyle S={\frac {\sum _{i=-k}^{i=+k}y(i)sin(\omega i)}{\sum _{i=-k}^{i=+k}sin^{2}(\omega i)}}}
C
=
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
y
(
i
)
(
1
−
c
o
s
(
ω
i
)
)
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
1
−
c
o
s
(
ω
i
)
)
2
{\displaystyle C={\frac {\sum _{i=-k}^{i=+k}y(i)(1-cos(\omega i))}{\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos(\omega i))^{2}}}}
y
=
y
0
+
S
∗
s
i
n
(
ω
∗
t
)
+
C
∗
(
1
−
c
o
s
(
ω
∗
t
)
)
{\displaystyle y=y_{0}+S*sin(\omega *t)+C*(1-cos(\omega *t))}
y
′
(
t
)
=
ω
S
c
o
s
(
ω
∗
t
)
+
ω
C
s
i
n
(
ω
∗
t
)
)
{\displaystyle y'(t)=\omega Scos(\omega *t)+\omega Csin(\omega *t))}
Pour
t
M
{\displaystyle t_{M}}
t
m
{\displaystyle t_{m}}
y
t
′
(
t
M
;
t
m
)
=
0
{\displaystyle y'_{t}(t_{M};t_{m})=0}
D'où
ω
∗
t
M
,
m
{\displaystyle \omega *t_{M,m}}
t
a
n
(
ω
∗
t
M
,
m
)
=
−
S
C
{\displaystyle tan(\omega *t_{M,m})=-{\frac {S}{C}}}
ω
t
M
=
a
t
a
n
(
−
S
C
)
{\displaystyle \omega t_{M}=atan(-{\frac {S}{C}})}
ω
t
m
=
a
t
a
n
(
−
S
C
)
+
π
{\displaystyle \omega t_{m}=atan(-{\frac {S}{C}})+\pi }
Aux extrémum, en substituant
ω
∗
t
M
,
m
{\displaystyle \omega *t_{M,m}}
y
M
,
y
m
{\displaystyle y_{M},y_{m}}
y
m
(
w
)
=
y
0
+
S
∗
s
i
n
(
a
t
a
n
(
−
S
C
)
)
+
C
∗
(
1
−
c
o
s
(
a
t
a
n
(
−
S
C
)
)
{\displaystyle y_{m}(w)=y_{0}+S*sin(atan(-{\frac {S}{C}}))+C*(1-cos(atan(-{\frac {S}{C}}))}
y
M
(
w
)
=
y
0
−
S
∗
s
i
n
(
a
t
a
n
(
−
S
C
)
)
+
C
∗
(
1
+
c
o
s
(
a
t
a
n
(
−
S
C
)
)
{\displaystyle y_{M}(w)=y_{0}-S*sin(atan(-{\frac {S}{C}}))+C*(1+cos(atan(-{\frac {S}{C}}))}
Avec la condition C1 plus haut , il s'agira de minimiser la quantité :( bon vérifié )
y
m
a
x
(
w
)
−
y
m
i
n
(
w
)
2
=
S
∗
s
i
n
(
a
t
a
n
(
−
S
C
)
)
−
C
c
o
s
(
a
t
a
n
(
−
S
C
)
)
{\displaystyle {\frac {y_{max}(w)-y_{min}(w)}{2}}=S*sin(atan(-{\frac {S}{C}}))-Ccos(atan(-{\frac {S}{C}}))}
Un programme ou le tableur donneront la valeur de w optimale cherchée
ω
o
p
t
{\displaystyle \omega _{opt}}
y
m
a
x
(
w
)
−
y
m
i
n
(
w
)
2
=
S
(
ω
)
∗
s
i
n
(
a
t
a
n
(
−
S
(
ω
)
C
(
ω
)
)
)
−
C
(
ω
)
c
o
s
(
a
t
a
n
(
−
S
(
ω
)
C
(
ω
)
)
)
{\displaystyle {\frac {y_{max}(w)-y_{min}(w)}{2}}=S(\omega )*sin(atan(-{\frac {S(\omega )}{C(\omega )}}))-C(\omega )cos(atan(-{\frac {S(\omega )}{C(\omega )}}))}
y
m
a
x
(
w
)
−
y
m
i
n
(
w
)
2
=
S
(
ω
o
p
t
)
s
i
n
(
ω
o
p
t
∗
t
)
−
C
(
ω
o
p
t
)
c
o
s
(
ω
o
p
t
∗
t
)
)
{\displaystyle {\frac {y_{max}(w)-y_{min}(w)}{2}}=S(\omega _{opt})sin(\omega _{opt}*t)-C(\omega _{opt})cos(\omega _{opt}*t))}
Les harmoniques simples s'écrivent alors :
y
=
y
0
+
S
∗
s
i
n
(
a
t
a
n
(
−
S
C
∗
t
)
+
C
∗
(
1
−
c
o
s
(
a
t
a
n
(
−
S
C
∗
t
)
)
{\displaystyle y=y_{0}+S*sin(atan(-{\frac {S}{C}}*t)+C*(1-cos(atan(-{\frac {S}{C}}*t))}
Parmi celles-ci, celle qui a une amplitude minimale ; pour
ω
o
p
t
i
m
a
l
e
{\displaystyle \omega _{optimale}}
S
(
ω
o
p
t
)
2
+
C
(
ω
o
p
t
)
2
{\displaystyle {\sqrt {S(\omega _{opt})^{2}+C(\omega _{opt})^{2}}}}
Parmi aussi, celle de
S
2
+
C
2
e
f
f
{\displaystyle {\sqrt {S^{2}+C^{2}}}_{eff}}
w
o
p
t
{\displaystyle w_{opt}}
S
2
+
C
2
e
f
f
=
S
2
+
C
2
{\displaystyle {\sqrt {S^{2}+C^{2}}}_{eff}={\sqrt {S^{2}+C^{2}}}}
S
2
+
C
2
e
f
f
=
S
(
ω
o
p
t
)
2
+
C
(
ω
o
p
t
)
2
=
1
2
π
∫
ω
=
0
ω
=
∞
S
(
ω
)
2
+
C
(
ω
)
2
d
ω
{\displaystyle {\sqrt {S^{2}+C^{2}}}_{eff}={\sqrt {S(\omega _{opt})^{2}+C(\omega _{opt})^{2}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\omega =0}^{\omega =\infty }{\sqrt {S(\omega )^{2}+C(\omega )^{2}}}d\omega }
y
(
i
)
=
y
I
(
i
)
+
y
P
(
i
)
{\displaystyle y(i)=y_{I}(i)+y_{P}(i)}
y
I
=
0
+
S
s
i
n
(
ω
t
)
{\displaystyle y_{I}=0+Ssin(\omega t)}
y
P
=
y
0
+
C
(
1
−
c
o
s
(
ω
t
)
)
{\displaystyle y_{P}=y_{0}+C(1-cos(\omega t))}
avec
y
I
(
i
)
=
y
(
i
)
−
y
(
−
i
)
2
{\displaystyle y_{I}(i)={\frac {y(i)-y(-i)}{2}}}
y
P
(
i
)
=
y
(
i
)
+
y
(
−
i
)
2
{\displaystyle y_{P}(i)={\frac {y(i)+y(-i)}{2}}}
Chercher la régressions de y, ce peut être dans certains cas de superpositions de phénomènes, chercher séparément les régressions propres de y_I et y_P puis les ajouter.
On écrit les conditions de régression pour chaque partie et on les traduit :
{
(
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
y
I
i
−
y
(
i
)
)
2
)
S
′
=
0
(
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
y
P
i
−
y
(
i
)
)
2
)
C
′
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}(\sum _{i=-k}^{i=+k}(y_{Ii}-y(i))^{2})'_{S}=0\\(\sum _{i=-k}^{i=+k}(y_{Pi}-y(i))^{2})'_{C}=0\end{cases}}}
{
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
s
i
n
(
ω
i
)
(
y
I
i
−
y
(
i
)
)
=
0
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
1
−
c
o
s
(
ω
i
)
)
(
y
P
i
−
y
(
i
)
)
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}\sum _{i=-k}^{i=+k}sin(\omega i)(y_{I}i-y(i))=0\\\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos(\omega i))(y_{P}i-y(i))=0\end{cases}}}
{
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
s
i
n
(
ω
i
)
(
y
I
i
−
S
s
i
n
(
ω
t
)
)
=
0
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
1
−
c
o
s
(
ω
t
)
)
(
y
P
i
−
y
0
+
C
(
1
−
c
o
s
(
ω
t
)
)
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}\sum _{i=-k}^{i=+k}sin(\omega i)(y_{I}i-Ssin(\omega t))=0\\\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos(\omega t))(y_{P}i-y_{0}+C(1-cos(\omega t))=0\end{cases}}}
D'où S et C :
S
=
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
y
I
i
s
i
n
(
ω
i
)
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
s
i
n
2
(
ω
i
)
{\displaystyle S={\frac {\sum _{i=-k}^{i=+k}y_{Ii}sin(\omega i)}{\sum _{i=-k}^{i=+k}sin^{2}(\omega i)}}}
C
=
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
y
P
i
(
1
−
c
o
s
(
ω
i
)
)
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
1
−
c
o
s
(
ω
i
)
)
2
{\displaystyle C={\frac {\sum _{i=-k}^{i=+k}y_{Pi}(1-cos(\omega i))}{\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos(\omega i))^{2}}}}
Or :
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
y
P
i
s
i
n
(
ω
i
)
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
s
i
n
2
(
ω
i
)
=
0
{\displaystyle {\frac {\sum _{i=-k}^{i=+k}y_{Pi}sin(\omega i)}{\sum _{i=-k}^{i=+k}sin^{2}(\omega i)}}=0}
Et :
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
y
I
i
(
1
−
c
o
s
(
ω
i
)
)
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
1
−
c
o
s
(
ω
i
)
)
2
=
0
{\displaystyle {\frac {\sum _{i=-k}^{i=+k}y_{Ii}(1-cos(\omega i))}{\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos(\omega i))^{2}}}=0}
D'où en sommant terme à terme :
S
=
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
y
(
i
)
s
i
n
(
ω
i
)
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
s
i
n
2
(
ω
i
)
{\displaystyle S={\frac {\sum _{i=-k}^{i=+k}y(i)sin(\omega i)}{\sum _{i=-k}^{i=+k}sin^{2}(\omega i)}}}
C
=
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
y
(
i
)
(
1
−
c
o
s
(
ω
i
)
)
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
1
−
c
o
s
(
ω
i
)
)
2
{\displaystyle C={\frac {\sum _{i=-k}^{i=+k}y(i)(1-cos(\omega i))}{\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos(\omega i))^{2}}}}
Ce qui par ailleurs affranchit donc de la parité du nombre de couples ( 2k ou 2k+1 ) La suite des calculs 122112 est la même afin d'obtenir une valeur unique de
ω
{\displaystyle \omega }
ω
t
M
=
a
t
a
n
(
−
S
C
)
{\displaystyle \omega t_{M}=atan(-{\frac {S}{C}})}
ω
t
m
=
a
t
a
n
(
−
S
C
)
+
π
{\displaystyle \omega t_{m}=atan(-{\frac {S}{C}})+\pi }
Avec la condition C1 plus haut , il s'agira de minimiser la quantité :
y
m
a
x
(
w
)
−
y
m
i
n
(
w
)
=
S
∗
s
i
n
(
a
t
a
n
(
−
S
C
)
)
−
C
∗
(
1
−
c
o
s
(
a
t
a
n
(
−
S
C
)
)
)
{\displaystyle y_{max}(w)-y_{min}(w)=S*sin(atan(-{\frac {S}{C}}))-C*(1-cos(atan(-{\frac {S}{C}})))}
Un programme ou le tableur donneront la valeur de w optimale cherchée
ω
o
p
t
{\displaystyle \omega _{opt}}
y
=
y
0
+
S
(
ω
o
p
t
)
s
i
n
(
ω
o
p
t
∗
t
)
+
C
(
ω
o
p
t
)
∗
(
1
−
c
o
s
(
ω
o
p
t
∗
t
)
)
{\displaystyle y=y_{0}+S(\omega _{opt})sin(\omega _{opt}*t)+C(\omega _{opt})*(1-cos(\omega _{opt}*t))}
S
=
∑
i
=
−
2
k
−
1
i
=
+
2
k
+
1
y
I
i
s
i
n
(
ω
i
)
∑
i
=
−
2
k
−
1
i
=
+
2
k
+
1
s
i
n
2
(
ω
i
)
{\displaystyle S={\frac {\sum _{i=-2k-1}^{i=+2k+1}y_{Ii}sin(\omega i)}{\sum _{i=-2k-1}^{i=+2k+1}sin^{2}(\omega i)}}}
C
=
∑
i
=
−
2
k
+
1
i
=
+
2
k
+
1
y
P
i
(
1
−
c
o
s
(
ω
i
)
)
∑
i
=
−
2
k
−
1
i
=
+
2
k
+
1
(
1
−
c
o
s
(
ω
i
)
)
2
{\displaystyle C={\frac {\sum _{i=-2k+1}^{i=+2k+1}y_{Pi}(1-cos(\omega i))}{\sum _{i=-2k-1}^{i=+2k+1}(1-cos(\omega i))^{2}}}}
ω
t
M
=
a
t
a
n
(
−
S
C
)
{\displaystyle \omega t_{M}=atan(-{\frac {S}{C}})}
ω
t
m
=
a
t
a
n
(
−
S
C
)
+
π
{\displaystyle \omega t_{m}=atan(-{\frac {S}{C}})+\pi }
Aux extrémum, en substituant
ω
∗
t
M
,
m
{\displaystyle \omega *t_{M,m}}
y
M
,
y
m
{\displaystyle y_{M},y_{m}}
y
m
a
x
(
w
)
−
y
m
i
n
(
w
)
=
S
∗
s
i
n
(
a
t
a
n
(
−
S
C
)
)
−
C
∗
c
o
s
(
a
t
a
n
(
−
S
C
)
)
{\displaystyle y_{max}(w)-y_{min}(w)=S*sin(atan(-{\frac {S}{C}}))-C*cos(atan(-{\frac {S}{C}}))}
y
e
x
t
r
1
(
w
)
=
y
0
+
S
∗
s
i
n
(
a
t
a
n
(
−
S
C
)
)
+
C
(
1
−
c
o
s
(
a
t
a
n
(
−
S
C
)
)
)
{\displaystyle y_{extr1}(w)=y_{0}+S*sin(atan(-{\frac {S}{C}}))+C(1-cos(atan(-{\frac {S}{C}})))}
y
e
x
t
r
2
(
w
)
=
y
0
−
S
∗
s
i
n
(
a
t
a
n
(
−
S
C
)
)
+
C
(
1
+
c
o
s
(
a
t
a
n
(
−
S
C
)
)
)
{\displaystyle y_{extr2}(w)=y_{0}-S*sin(atan(-{\frac {S}{C}}))+C(1+cos(atan(-{\frac {S}{C}})))}
Par la suite on emploiera la méthode directe par partition paritaire des échantillonnages et des fonctions de régression.
Soit à décomposer un échantillonnage y* en une somme sin et cos de périodes n de 3 à N.
Comme précédemment, pour 2k+1 couples (i,y) avec i au pas de 1, on écrit y sous la forme :
y
∗
(
i
)
=
y
0
+
∑
n
=
3
n
=
N
S
n
∗
s
i
n
(
2
π
n
∗
i
)
+
∑
n
=
3
n
=
N
C
n
(
1
−
c
o
s
(
2
π
n
∗
i
)
)
{\displaystyle y^{*}(i)=y_{0}+\sum _{n=3}^{n=N}S_{n}*sin({\frac {2\pi }{n}}*i)+\sum _{n=3}^{n=N}C_{n}(1-cos({\frac {2\pi }{n}}*i))}
Procédure :
partager y* en partie paire ( cos et terme constant ) et impaire ( sin ) ;
écrire les conditions de régression pour chaque partie, comme quoi les sommes des carrés des différences sont minimales et que donc les dérivées par rapport à chaque S et chaque C sont nulles. Cela permet d'obtenir deux systèmes de n équations linéaires, un en S et un en C, résolvables en C et S.
On obtient:
S
n
=
|
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
s
i
n
(
2
π
1
∗
i
)
s
i
n
(
2
π
1
∗
i
)
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
y
i
∗
s
i
n
(
2
π
∗
i
1
)
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
s
i
n
(
2
π
1
∗
i
)
s
i
n
(
2
π
N
∗
i
)
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
s
i
n
(
2
π
1
∗
i
)
s
i
n
(
2
π
2
∗
i
)
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
y
i
∗
s
i
n
(
2
π
∗
i
2
)
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
s
i
n
(
2
π
2
∗
i
)
s
i
n
(
2
π
N
∗
i
)
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
s
i
n
(
2
π
1
∗
i
)
s
i
n
(
2
π
n
∗
i
)
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
y
i
∗
s
i
n
(
2
π
∗
i
n
)
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
s
i
n
(
2
π
n
∗
i
)
s
i
n
(
2
π
N
∗
i
)
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
s
i
n
(
2
π
1
∗
i
)
s
i
n
(
2
π
N
∗
i
)
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
y
i
∗
s
i
n
(
2
π
∗
i
N
)
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
s
i
n
(
2
π
N
∗
i
)
s
i
n
(
2
π
N
∗
i
)
|
|
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
s
i
n
(
2
π
1
∗
i
)
s
i
n
(
2
π
1
∗
i
)
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
s
i
n
(
2
π
∗
i
1
)
s
i
n
(
2
π
∗
i
1
)
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
s
i
n
(
2
π
1
∗
i
)
s
i
n
(
2
π
N
∗
i
)
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
s
i
n
(
2
π
1
∗
i
)
s
i
n
(
2
π
2
∗
i
)
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
s
i
n
(
2
π
∗
i
2
)
s
i
n
(
2
π
∗
i
2
)
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
s
i
n
(
2
π
2
∗
i
)
s
i
n
(
2
π
N
∗
i
)
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
s
i
n
(
2
π
1
∗
i
)
s
i
n
(
2
π
n
∗
i
)
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
s
i
n
(
2
π
∗
i
n
)
s
i
n
(
f
r
a
c
2
π
∗
i
n
)
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
s
i
n
(
2
π
n
∗
i
)
s
i
n
(
2
π
N
∗
i
)
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
s
i
n
(
2
π
1
∗
i
)
s
i
n
(
2
π
N
∗
i
)
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
s
i
n
(
2
π
∗
i
N
)
s
i
n
(
2
π
∗
i
N
)
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
s
i
n
(
2
π
N
∗
i
)
s
i
n
(
2
π
N
∗
i
)
|
{\displaystyle S_{n}={\frac {\begin{vmatrix}\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi }{1}}*i)sin({\frac {2\pi }{1}}*i)&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}y_{i}^{*}sin({\frac {2\pi *i}{1}})&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi }{1}}*i)sin({\frac {2\pi }{N}}*i)\\\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi }{1}}*i)sin({\frac {2\pi }{2}}*i)&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}y_{i}^{*}sin({\frac {2\pi *i}{2}})&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi }{2}}*i)sin({\frac {2\pi }{N}}*i)\\{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }\\\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi }{1}}*i)sin({\frac {2\pi }{n}}*i)&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}y_{i}^{*}sin({\frac {2\pi *i}{n}})&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi }{n}}*i)sin({\frac {2\pi }{N}}*i)\\{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }\\\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi }{1}}*i)sin({\frac {2\pi }{N}}*i)&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}y_{i}^{*}sin({\frac {2\pi *i}{N}})&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi }{N}}*i)sin({\frac {2\pi }{N}}*i)\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi }{1}}*i)sin({\frac {2\pi }{1}}*i)&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi *i}{1}})sin({\frac {2\pi *i}{1}})&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi }{1}}*i)sin({\frac {2\pi }{N}}*i)\\\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi }{1}}*i)sin({\frac {2\pi }{2}}*i)&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi *i}{2}})sin({\frac {2\pi *i}{2}})&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi }{2}}*i)sin({\frac {2\pi }{N}}*i)\\{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }\\\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi }{1}}*i)sin({\frac {2\pi }{n}}*i)&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi *i}{n}})sin(frac{2\pi *i}{n})&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi }{n}}*i)sin({\frac {2\pi }{N}}*i)\\{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }\\\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi }{1}}*i)sin({\frac {2\pi }{N}}*i)&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi *i}{N}})sin({\frac {2\pi *i}{N}})&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi }{N}}*i)sin({\frac {2\pi }{N}}*i)\\\end{vmatrix}}}}
C
n
==
|
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
1
−
c
o
s
(
2
π
1
∗
i
)
)
(
1
−
c
o
s
(
2
π
1
∗
i
)
)
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
y
i
∗
(
1
−
c
o
s
(
2
π
∗
i
1
)
)
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
1
−
c
o
s
(
2
π
1
∗
i
)
)
(
1
−
c
o
s
(
2
π
N
∗
i
)
)
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
1
−
c
o
s
(
2
π
1
∗
i
)
)
(
1
−
c
o
s
(
2
π
2
∗
i
)
)
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
y
i
∗
(
1
−
c
o
s
(
2
π
∗
i
2
)
)
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
1
−
c
o
s
(
2
π
2
∗
i
)
)
(
1
−
c
o
s
(
2
π
N
∗
i
)
)
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
1
−
c
o
s
(
2
π
1
∗
i
)
)
(
1
−
c
o
s
(
2
π
n
∗
i
)
)
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
y
i
∗
(
1
−
c
o
s
(
2
π
∗
i
n
)
)
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
1
−
c
o
s
(
2
π
n
∗
i
)
)
(
1
−
c
o
s
(
2
π
N
∗
i
)
)
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
1
−
c
o
s
(
2
π
1
∗
i
)
)
(
1
−
c
o
s
(
2
π
N
∗
i
)
)
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
y
i
∗
(
1
−
c
o
s
(
2
π
∗
i
N
)
)
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
1
−
c
o
s
(
2
π
N
∗
i
)
)
(
1
−
c
o
s
(
2
π
N
∗
i
)
)
|
|
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
1
−
c
o
s
(
2
π
1
∗
i
)
)
(
1
−
c
o
s
(
2
π
1
∗
i
)
)
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
1
−
c
o
s
(
2
π
∗
i
1
)
)
(
1
−
c
o
s
(
2
π
∗
i
1
)
)
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
1
−
c
o
s
(
2
π
1
∗
i
)
)
(
1
−
c
o
s
(
2
π
N
∗
i
)
)
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
1
−
c
o
s
(
2
π
1
∗
i
)
)
(
1
−
c
o
s
(
2
π
2
∗
i
)
)
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
1
−
c
o
s
(
2
π
∗
i
2
)
)
(
1
−
c
o
s
(
2
π
∗
i
2
)
)
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
1
−
c
o
s
(
2
π
2
∗
i
)
)
(
1
−
c
o
s
(
2
π
N
∗
i
)
)
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
1
−
c
o
s
(
2
π
1
∗
i
)
)
(
1
−
c
o
s
(
2
π
n
∗
i
)
)
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
1
−
c
o
s
(
2
π
∗
i
n
)
)
(
1
−
c
o
s
(
2
π
∗
i
n
)
)
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
1
−
c
o
s
(
2
π
n
∗
i
)
)
(
1
−
c
o
s
(
2
π
N
∗
i
)
)
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
1
−
c
o
s
(
2
π
1
∗
i
)
)
(
1
−
c
o
s
(
2
π
N
∗
i
)
)
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
1
−
c
o
s
(
2
π
∗
i
N
)
)
(
1
−
c
o
s
(
2
π
∗
i
N
)
)
⋯
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
1
−
c
o
s
(
2
π
N
∗
i
)
)
(
1
−
c
o
s
(
2
π
N
∗
i
)
)
|
{\displaystyle C_{n}=={\frac {\begin{vmatrix}\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi }{1}}*i))(1-cos({\frac {2\pi }{1}}*i))&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}y_{i}^{*}(1-cos({\frac {2\pi *i}{1}}))&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi }{1}}*i))(1-cos({\frac {2\pi }{N}}*i))\\\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi }{1}}*i))(1-cos({\frac {2\pi }{2}}*i))&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}y_{i}^{*}(1-cos({\frac {2\pi *i}{2}}))&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi }{2}}*i))(1-cos({\frac {2\pi }{N}}*i))\\{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }\\\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi }{1}}*i))(1-cos({\frac {2\pi }{n}}*i))&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}y_{i}^{*}(1-cos({\frac {2\pi *i}{n}}))&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi }{n}}*i))(1-cos({\frac {2\pi }{N}}*i))\\{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }\\\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi }{1}}*i))(1-cos({\frac {2\pi }{N}}*i))&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}y_{i}^{*}(1-cos({\frac {2\pi *i}{N}}))&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi }{N}}*i))(1-cos({\frac {2\pi }{N}}*i))\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi }{1}}*i))(1-cos({\frac {2\pi }{1}}*i))&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi *i}{1}}))(1-cos({\frac {2\pi *i}{1}}))&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi }{1}}*i))(1-cos({\frac {2\pi }{N}}*i))\\\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi }{1}}*i))(1-cos({\frac {2\pi }{2}}*i))&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi *i}{2}}))(1-cos({\frac {2\pi *i}{2}}))&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi }{2}}*i))(1-cos({\frac {2\pi }{N}}*i))\\{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }\\\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi }{1}}*i))(1-cos({\frac {2\pi }{n}}*i))&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi *i}{n}}))(1-cos({\frac {2\pi *i}{n}}))&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi }{n}}*i))(1-cos({\frac {2\pi }{N}}*i))\\{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }\\\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi }{1}}*i))(1-cos({\frac {2\pi }{N}}*i))&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi *i}{N}}))(1-cos({\frac {2\pi *i}{N}}))&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi }{N}}*i))(1-cos({\frac {2\pi }{N}}*i))\\\end{vmatrix}}}}
___________
Alors que la Transformée de Fourier décompose uniquement en sin et cos de périodes < 2k, intervalle de définition, cette méthode travaille sur les périodes inférieures ET supérieures à l'intervalle de définition 2k ! On peut donc commencer à envisager des extrapolations possibles.
Il faut balayer toutes les valeurs pour trouver le spectre. Une méthode déjà présentée dans un Laboratoire de Patrick Bréjon, désormais disparu permet d'accéder directement à ce spectre selon les valeurs décroissantes de n , croissantes de omega Suite à revoir afin de respecter les données du titre
y
=
y
0
+
S
∗
s
i
n
(
ω
∗
t
)
+
S
h
∗
s
i
n
(
ω
∗
h
t
)
+
C
∗
(
1
−
c
o
s
(
ω
∗
t
)
)
+
C
h
∗
(
1
−
c
o
s
(
ω
∗
h
t
)
)
{\displaystyle y=y_{0}+S*sin(\omega *t)+S_{h}*sin(\omega *ht)+C*(1-cos(\omega *t))+C_{h}*(1-cos(\omega *ht))}
y
(
i
)
=
y
I
(
i
)
+
y
P
(
i
)
{\displaystyle y(i)=y_{I}(i)+y_{P}(i)}
y
I
=
0
+
S
s
i
n
(
ω
t
)
+
S
h
s
i
n
(
h
ω
t
)
{\displaystyle y_{I}=0+Ssin(\omega t)+S_{h}sin(h\omega t)}
y
P
=
y
0
+
C
(
1
−
c
o
s
(
ω
t
)
)
+
C
(
1
−
c
o
s
(
ω
t
)
)
{\displaystyle y_{P}=y_{0}+C(1-cos(\omega t))+C(1-cos(\omega t))}
avec
y
I
(
i
)
=
y
(
i
)
−
y
(
−
i
)
2
{\displaystyle y_{I}(i)={\frac {y(i)-y(-i)}{2}}}
y
P
(
i
)
=
y
(
i
)
+
y
(
−
i
)
2
{\displaystyle y_{P}(i)={\frac {y(i)+y(-i)}{2}}}
Les conditions de régression sont :
{
(
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
y
I
i
−
y
(
i
)
)
2
)
S
′
=
0
(
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
y
I
i
−
y
(
i
)
)
2
)
S
h
′
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}(\sum _{i=-k}^{i=+k}(y_{Ii}-y(i))^{2})'_{S}=0\\(\sum _{i=-k}^{i=+k}(y_{Ii}-y(i))^{2})'_{S_{h}}=0\end{cases}}}
{
(
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
y
P
i
−
y
(
i
)
)
2
)
C
′
=
0
(
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
y
P
i
−
y
(
i
)
)
2
)
C
h
′
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}(\sum _{i=-k}^{i=+k}(y_{Pi}-y(i))^{2})'_{C}=0\\(\sum _{i=-k}^{i=+k}(y_{Pi}-y(i))^{2})'_{C_{h}}=0\end{cases}}}
Soit donc :
{
(
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
s
i
n
(
ω
∗
i
)
(
y
I
i
−
y
(
i
)
)
=
0
(
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
s
i
n
(
h
∗
ω
∗
i
)
(
y
I
i
−
y
(
i
)
)
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}(\sum _{i=-k}^{i=+k}sin(\omega *i)(y_{Ii}-y(i))=0\\(\sum _{i=-k}^{i=+k}sin(h*\omega *i)(y_{Ii}-y(i))=0\end{cases}}}
{
(
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
1
−
c
o
s
(
ω
∗
i
)
)
(
y
P
i
−
y
(
i
)
)
=
0
(
∑
i
=
−
k
i
=
+
k
(
1
−
c
o
s
(
h
∗
ω
∗
i
)
)
(
y
P
i
−
y
(
i
)
)
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}(\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos(\omega *i))(y_{Pi}-y(i))=0\\(\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos(h*\omega *i))(y_{Pi}-y(i))=0\end{cases}}}
