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Harmonique simple de régression unipulsatoire

Méthode

L'équation de la courbe de l'harmonique peut se ramener à la forme :

$y=y_{0}+S*sin(\omega *t)+C*(1-cos(\omega *t))$

Avec les propriétés suivantes :

- La somme des carrés des différences des $y_{i}$ aux $y(i)$ est minimale pour un $\omega$ donné ( propriété de base de la régression )

Propriété P1 : $\sum _{i=-k}^{i=+k}(y_{i}-y(i))^{2}$ minimale

Parmi toutes ces harmoniques obtenues pour tous les $\omega$, une pour chaque, certaines sont plus probables que d'autres. Exemples :

_ celles où $y_{max}-y_{min}$ est minimale ou inférieure à une valeur donnée$\epsilon$. (Condition C1)

_ celles où la valeur absolue de la différence entre $y_{max}-y_{min}$ et {la moyenne des k plus grands y – la moyenne de k plus petits y} hors $y_{0}$ est minimale ou inférieure à une valeur donnée $\epsilon$(Condition C2).

_ celles où la puissance de y minimale : $(C^{2}+S^{2})\omega$ est minimale ou inférieure à une valeur donnée $\epsilon$(Condition C3).

_ ou d'autres conditions. On quitte le domaines des maths pures pour les maths appliquées.

Application

2k+1 couples

Méthode directe

Calcul de S et C de régression

P1 : Se traduit par le système : $(\sum _{i=-k}^{i=+k}(y_{i}-y(i))^{2})'_{S}=0$ et $(\sum _{i=-k}^{i=+k}(y_{i}-y(i))^{2})'_{C}=0$

${\begin{cases}(\sum _{i=-k}^{i=+k}(y_{i}-y(i))^{2})'_{S}=0\\(\sum _{i=-k}^{i=+k}(y_{i}-y(i))^{2})'_{C}=0\\\end{cases}}$

${\begin{cases}(\sum _{i=-k}^{i=+k}(y(i)-y_{0}-S*sin(\omega i)-C*(1-cos(\omega i)))^{2})'_{s}=0\\(\sum _{i=-k}^{i=+k}(y(i)-y_{0}-S*sin(\omega i)-C*(1-cos(\omega i)))^{2})'_{c}=0\end{cases}}$

${\begin{cases}\sum _{i=-k}^{i=+k}sin(\omega i)(y(i)-y_{0}-S*sin(\omega i)-C*(1-cos(\omega i))=0\\(\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos(\omega i))(y(i)-y_{0}-S*sin(\omega i)-C*(1-cos(\omega i))=0\end{cases}}$

${\begin{cases}\sum _{i=-k}^{i=+k}sin(\omega i)(y(i)-y_{0})=Ssin(\omega i)^{2}+Csin(\omega i)(1-cos(\omega i))\\(\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos(\omega i))(y(i)-y_{0})=Ssin(\omega i)(1-cos(\omega i))+C(1-cos(\omega i))^{2}\end{cases}}$

Et après simplification vu les parités :

${\begin{cases}\sum _{i=-k}^{i=+k}sin(\omega i)y(i)=Ssin(\omega i)^{2}\\(\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos(\omega i))y(i)=C(1-cos(\omega i))^{2}\end{cases}}$

D'où S et C : $S={\frac {\sum _{i=-k}^{i=+k}y(i)sin(\omega i)}{\sum _{i=-k}^{i=+k}sin^{2}(\omega i)}}$ et $C={\frac {\sum _{i=-k}^{i=+k}y(i)(1-cos(\omega i))}{\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos(\omega i))^{2}}}$

Calcul de wt optimal ( phi déphasage ) et des maxi-mini

$y=y_{0}+S*sin(\omega *t)+C*(1-cos(\omega *t))$

$y'(t)=\omega Scos(\omega *t)+\omega Csin(\omega *t))$

Pour $t_{M}$ et $t_{m}$ on obtient les extrèmum et $y'_{t}(t_{M};t_{m})=0$

D'où $\omega *t_{m,m}$ par $tan(\omega *t_{M,m})=-{\frac {S}{C}}$

$\omega t_{M}=atan(-{\frac {S}{C}})$

$\omega t_{m}=atan(-{\frac {S}{C}})+\pi$

Aux extrémum, en substituant $\omega *t_{M,m}$, on obtient $y_{M},y_{m}$ soit :

$y(w)=y_{0}+S*sin(atan(-{\frac {S}{C}}))+C*(1-cos(atan(-{\frac {S}{C}}))$

Avec la condition C1 plus haut , il s'agira de minimiser la quantité :

$y(w)=S*sin(atan(-{\frac {S}{C}}))-Ccos(atan(-{\frac {S}{C}}))$

Un programme ou le tableur donneront la valeur de w optimale cherchée $\omega _{opt}$ telle que :

$y_{min}(w)=S(\omega )*sin(atan(-{\frac {S(\omega )}{C(\omega )}}))-C(\omega )cos(atan(-{\frac {S(\omega )}{C(\omega )}}))$

$y(w)=S(\omega _{opt})sin(\omega _{opt}*t)+C(\omega _{opt})cos(\omega _{opt}*t))$

Les harmoniques simples s'écrivent alors :

$y=y_{0}-C+{\sqrt {S^{2}+C^{2}}}sin(wt+atan(-{\frac {S}{C}})$

Parmi celles-ci, celle qui a une amplitude minimale ; pour $\omega _{min}$ on a ${\sqrt {S(\omega _{min})^{2}+C(\omega _{min})^{2}}}$ minimal.

Parmi aussi, celle de ${\sqrt {S^{2}+C^{2}}}_{eff}$ efficace qui donnera $w_{eff}$ en faisant ${\sqrt {S^{2}+C^{2}}}_{eff}={\sqrt {S^{2}+C^{2}}}$.A noter que la valeur efficace est la valeur moyenne au sens Riemanien.

${\sqrt {S^{2}+C^{2}}}_{eff}={\sqrt {S(\omega _{eff})^{2}+C(\omega _{eff})^{2}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\omega =1}^{\omega =2\pi }{\sqrt {S(\omega )^{2}+C(\omega )^{2}}}d\omega$

Méthode par décomposition paritaire

$y(i)=y_{I}(i)+y_{P}(i)$ avec $y_{I}=0+Ssin(\omega t)$ et $y_{P}=y_{0}+C(1-cos(\omega t))$

avec $y_{I}(i)={\frac {y(i)-y(-i)}{2}}$ et $y_{P}(i)={\frac {y(i)+y(-i)}{2}}$ par définition des parties impaires et paires d'une fonction ou d'un échantillonnage.

Chercher la régressions de y, ce peut être dans certains cas de superpositions de phénomènes, chercher séparément les régressions propres de y_I et y_P puis les ajouter.

On écrit les conditions de régression pour chaque partie et on les traduit :

${\begin{cases}(\sum _{i=-k}^{i=+k}(y_{Ii}-y(i))^{2})'_{S}=0\\(\sum _{i=-k}^{i=+k}(y_{Pi}-y(i))^{2})'_{C}=0\end{cases}}$

${\begin{cases}\sum _{i=-k}^{i=+k}sin(\omega i)(y_{I}i-y(i))=0\\\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos(\omega i))(y_{P}i-y(i))=0\end{cases}}$

${\begin{cases}\sum _{i=-k}^{i=+k}sin(\omega i)(y_{I}i-Ssin(\omega t))=0\\\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos(\omega t))(y_{P}i-y_{0}+C(1-cos(\omega t))=0\end{cases}}$

D'où S et C : $S={\frac {\sum _{i=-k}^{i=+k}y_{Ii}sin(\omega i)}{\sum _{i=-k}^{i=+k}sin^{2}(\omega i)}}$ et $C={\frac {\sum _{i=-k}^{i=+k}y_{Pi}(1-cos(\omega i))}{\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos(\omega i))^{2}}}$

Or : ${\frac {\sum _{i=-k}^{i=+k}y_{Pi}sin(\omega i)}{\sum _{i=-k}^{i=+k}sin^{2}(\omega i)}}=0$

Et : ${\frac {\sum _{i=-k}^{i=+k}y_{Ii}(1-cos(\omega i))}{\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos(\omega i))^{2}}}=0$

D'où en sommant terme à terme :

$S={\frac {\sum _{i=-k}^{i=+k}y(i)sin(\omega i)}{\sum _{i=-k}^{i=+k}sin^{2}(\omega i)}}$ et $C={\frac {\sum _{i=-k}^{i=+k}y(i)(1-cos(\omega i))}{\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos(\omega i))^{2}}}$

Ce qui par ailleurs affranchit donc de la parité du nombre de couples ( 2k ou 2k+1 )

La suite des calculs 122112 est la même afin d'obtenir une valeur unique de $\omega$

$\omega t_{M}=atan(-{\frac {S}{C}})$

$\omega t_{m}=atan(-{\frac {S}{C}})+\pi$

Avec la condition C1 plus haut , il s'agira de minimiser la quantité :

$y(w)=S*sin(atan(-{\frac {S}{C}}))+C*(1-cos(atan(-{\frac {S}{C}})))$

Un programme ou le tableur donneront la valeur de w optimale cherchée $\omega _{opt}$.

$y=y_{0}+S(\omega _{opt})sin(\omega _{opt}*t)+C(\omega _{opt})*(1-cos(\omega _{opt}*t))$

Si le nombre de couples est pair $t=0,5+k$ et $t=0,5-k$ sans $y_{0}$

4k+2 couples

couples $(x_{-2k-1},y_{+2k+1})$

D'où S et C : $S={\frac {\sum _{i=-2k-1}^{i=+2k+1}y_{Ii}sin(\omega i)}{\sum _{i=-2k-1}^{i=+2k+1}sin^{2}(\omega i)}}$ et $C={\frac {\sum _{i=-2k+1}^{i=+2k+1}y_{Pi}(1-cos(\omega i))}{\sum _{i=-2k-1}^{i=+2k+1}(1-cos(\omega i))^{2}}}$

$\omega t_{M}=atan(-{\frac {S}{C}})$

$\omega t_{m}=atan(-{\frac {S}{C}})+\pi$

Aux extrémum, en substituant $\omega *t_{M,m}$, on obtient $y_{M},y_{m}$ soit :

$y(w)=S*sin(atan(-{\frac {S}{C}}))+C*(1-cos(atan(-{\frac {S}{C}})))$

à minimiser pour trouver $w_{o}pt$

$y(2t+0,5)=S(\omega _{opt})sin(\omega _{opt}*(2t+0,5))+C(\omega _{opt})*(1-cos(\omega _{opt}*(2t+0,5)))$

Harmonique multipulsatoire de pulsations 2pi/n n>3

Par la suite on emploiera la méthode directe par partition paritaire des échantillonnages et des fonctions de régression.

Problème général

Soit à décomposer un échantillonnage y* en une somme sin et cos de périodes n de 3 à N.

Comme précédemment, pour 2k+1 couples (i,y) avec i au pas de 1, on écrit y sous la forme :

$y^{*}(i)=y_{0}+\sum _{n=3}^{n=N}S_{n}*sin({\frac {2\pi }{n}}*i)+\sum _{n=3}^{n=N}C_{n}(1-cos({\frac {2\pi }{n}}*i))$

Procédure :

partager y* en partie paire ( cos et terme constant ) et impaire ( sin ) ;

écrire les conditions de régression pour chaque partie, comme quoi les sommes des carrés des différences sont minimales et que donc les dérivées par rapport à chaque S et chaque C sont nulles. Cela permet d'obtenir deux systèmes de n équations linéaires, un en S et un en C, résolvables en C et S.

On obtient:

$S_{n}={\frac {\begin{vmatrix}\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi }{1}}*i)sin({\frac {2\pi }{1}}*i)&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}y_{i}^{*}sin({\frac {2\pi *i}{1}})&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi }{1}}*i)sin({\frac {2\pi }{N}}*i)\\\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi }{1}}*i)sin({\frac {2\pi }{2}}*i)&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}y_{i}^{*}sin({\frac {2\pi *i}{2}})&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi }{2}}*i)sin({\frac {2\pi }{N}}*i)\\{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }\\\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi }{1}}*i)sin({\frac {2\pi }{n}}*i)&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}y_{i}^{*}sin({\frac {2\pi *i}{n}})&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi }{n}}*i)sin({\frac {2\pi }{N}}*i)\\{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }\\\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi }{1}}*i)sin({\frac {2\pi }{N}}*i)&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}y_{i}^{*}sin({\frac {2\pi *i}{N}})&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi }{N}}*i)sin({\frac {2\pi }{N}}*i)\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi }{1}}*i)sin({\frac {2\pi }{1}}*i)&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi *i}{1}})sin({\frac {2\pi *i}{1}})&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi }{1}}*i)sin({\frac {2\pi }{N}}*i)\\\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi }{1}}*i)sin({\frac {2\pi }{2}}*i)&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi *i}{2}})sin({\frac {2\pi *i}{2}})&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi }{2}}*i)sin({\frac {2\pi }{N}}*i)\\{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }\\\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi }{1}}*i)sin({\frac {2\pi }{n}}*i)&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi *i}{n}})sin(frac{2\pi *i}{n})&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi }{n}}*i)sin({\frac {2\pi }{N}}*i)\\{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }\\\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi }{1}}*i)sin({\frac {2\pi }{N}}*i)&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi *i}{N}})sin({\frac {2\pi *i}{N}})&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}sin({\frac {2\pi }{N}}*i)sin({\frac {2\pi }{N}}*i)\\\end{vmatrix}}}$

$C_{n}=={\frac {\begin{vmatrix}\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi }{1}}*i))(1-cos({\frac {2\pi }{1}}*i))&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}y_{i}^{*}(1-cos({\frac {2\pi *i}{1}}))&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi }{1}}*i))(1-cos({\frac {2\pi }{N}}*i))\\\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi }{1}}*i))(1-cos({\frac {2\pi }{2}}*i))&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}y_{i}^{*}(1-cos({\frac {2\pi *i}{2}}))&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi }{2}}*i))(1-cos({\frac {2\pi }{N}}*i))\\{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }\\\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi }{1}}*i))(1-cos({\frac {2\pi }{n}}*i))&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}y_{i}^{*}(1-cos({\frac {2\pi *i}{n}}))&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi }{n}}*i))(1-cos({\frac {2\pi }{N}}*i))\\{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }\\\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi }{1}}*i))(1-cos({\frac {2\pi }{N}}*i))&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}y_{i}^{*}(1-cos({\frac {2\pi *i}{N}}))&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi }{N}}*i))(1-cos({\frac {2\pi }{N}}*i))\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi }{1}}*i))(1-cos({\frac {2\pi }{1}}*i))&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi *i}{1}}))(1-cos({\frac {2\pi *i}{1}}))&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi }{1}}*i))(1-cos({\frac {2\pi }{N}}*i))\\\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi }{1}}*i))(1-cos({\frac {2\pi }{2}}*i))&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi *i}{2}}))(1-cos({\frac {2\pi *i}{2}}))&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi }{2}}*i))(1-cos({\frac {2\pi }{N}}*i))\\{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }\\\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi }{1}}*i))(1-cos({\frac {2\pi }{n}}*i))&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi *i}{n}}))(1-cos({\frac {2\pi *i}{n}}))&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi }{n}}*i))(1-cos({\frac {2\pi }{N}}*i))\\{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }&{\cdots }{\cdots }\\\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi }{1}}*i))(1-cos({\frac {2\pi }{N}}*i))&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi *i}{N}}))(1-cos({\frac {2\pi *i}{N}}))&{\cdots }&\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos({\frac {2\pi }{N}}*i))(1-cos({\frac {2\pi }{N}}*i))\\\end{vmatrix}}}$

___________

Alors que la Transformée de Fourier décompose uniquement en sin et cos de périodes < 2k, intervalle de définition, cette méthode travaille sur les périodes inférieures ET supérieures à l'intervalle de définition 2k ! On peut donc commencer à envisager des extrapolations possibles.

Il faut balayer toutes les valeurs pour trouver le spectre. Une méthode déjà présentée dans un Laboratoire de Patrick Bréjon, désormais disparu permet d'accéder directement à ce spectre selon les valeurs décroissantes de n , croissantes de omega

Autre approche : harmonique double de pulsations 2pi/n et 2pi/n+k puis 2pi/n et k2pi/n

2k+1 couples

Suite à revoir afin de respecter les données du titre $y=y_{0}+S*sin(\omega *t)+S_{h}*sin(\omega *ht)+C*(1-cos(\omega *t))+C_{h}*(1-cos(\omega *ht))$

$y(i)=y_{I}(i)+y_{P}(i)$ avec $y_{I}=0+Ssin(\omega t)+S_{h}sin(h\omega t)$ et $y_{P}=y_{0}+C(1-cos(\omega t))+C(1-cos(\omega t))$

avec $y_{I}(i)={\frac {y(i)-y(-i)}{2}}$ et $y_{P}(i)={\frac {y(i)+y(-i)}{2}}$ par définition des parties impaires et paires d'une fonction ou d'un échantillonnage.

Les conditions de régression sont :

${\begin{cases}(\sum _{i=-k}^{i=+k}(y_{Ii}-y(i))^{2})'_{S}=0\\(\sum _{i=-k}^{i=+k}(y_{Ii}-y(i))^{2})'_{S_{h}}=0\end{cases}}$

${\begin{cases}(\sum _{i=-k}^{i=+k}(y_{Pi}-y(i))^{2})'_{C}=0\\(\sum _{i=-k}^{i=+k}(y_{Pi}-y(i))^{2})'_{C_{h}}=0\end{cases}}$

Soit donc :

${\begin{cases}(\sum _{i=-k}^{i=+k}sin(\omega *i)(y_{Ii}-y(i))=0\\(\sum _{i=-k}^{i=+k}sin(h*\omega *i)(y_{Ii}-y(i))=0\end{cases}}$

${\begin{cases}(\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos(\omega *i))(y_{Pi}-y(i))=0\\(\sum _{i=-k}^{i=+k}(1-cos(h*\omega *i))(y_{Pi}-y(i))=0\end{cases}}$