Utilisateur:Emmanuel.verhille

Fonctions d'Argyris

Introduction

On se place dans $\mathbb {R} ^{2}$. Les variables sont appelées $x$ et $y$. Soit $T$ un triangle quelconque, non aplati.

Les fonctions d'Argyris liées à $T$ sont des fonctions de base de l'espace vectoriel $\mathbb {P} _{5}(T)$ qui représente l’ensemble des polynômes à deux variables $x$ et $y$ ($(x,y)\in T$) de degré au plus 5.

Approche formelle

Un élément $M\in \mathbb {P} _{5}(T)$ s'écrit de manière unique sous la forme

$M=a_{0}+a_{1}x+b_{1}y+a_{2}x^{2}+b_{2}xy+c_{2}y^{2}+a_{3}x^{3}+b_{3}x^{2}y+c_{3}xy^{2}+d_{3}y^{3}+a_{4}x^{4}+b_{4}x^{3}y+c_{4}x^{2}y^{2}+d_{4}xy^{3}+e_{4}y^{4}+a_{5}x^{5}+b_{5}x^{4}y+c_{5}x^{3}y^{2}+d_{5}x^{2}y^{3}+e_{5}xy^{4}+f_{5}y^{5}$.

Ainsi, la seule donnée des coefficients $a_{0}\,,\,a_{1}\,,\,a_{2}\,,\,a_{3}\,,\,a_{4}\,,\,a_{5}\,,\,b_{1}\,,\,b_{2}\,,\,b_{3}\,,\,b_{4}\,,\,b_{5}\,,\,c_{2}\,,\,c_{3}\,,\,c_{4}\,,\,c_{5}\,,\,d_{3}\,,\,d_{4}\,,\,d_{5}\,,\,e_{4}\,,\,e_{5}\,,\,f_{5}$ suffisent à écrire tout élément de $\mathbb {P} _{5}(T)$. C'est pourquoi l'espace $\mathbb {P} _{5}(T)$ est un espace de dimension 21 (nombre de coefficients à déterminer).

Il nous faut alors 21 relations (conditions) indépendantes afin de pouvoir déterminer ces 21 coefficients : on appelle cela les degrés de liberté.

Une base possible est $\{1,x,y,x^{2},xy,y^{2},x^{3},x^{2},y^{2},y^{3},x^{4},x^{3}y,x^{2}y^{2},xy^{3},y^{4},x^{5},x^{4}y,x^{3}y^{2},x^{2}y^{3},xy^{4},y^{5}\}$: on l'appelle la base canonique.

Dans la pratique, il est extrêmement difficile (et surtout pas pratique) de pouvoir trouver les 21 coefficients avec cette base. C'est pourquoi nous formulons une base différente formée des fonctions d'Argyris. Elles sont liées à des conditions données :

• sur la valeur de la fonction M en chaque sommet (3 relations);
• sur la valeur des dérivées premières de la fonction M en chaque sommet (6 relations);
• sur la valeur des dérivées secondes de la fonction M en chaque sommet (9 relations);
• sur la valeur "liée à la normale" pour chaque arête (3 relations).

Remarque 1 : Ces conditions ne sont pas uniques : on peut toujours trouver d'autres conditions, mais celles-ci sont les plus simples à mettre en application.

Remarque 2 : Le dernier point concerne la valeur "liée à la normale". C'est une définition un peu particulière qui peut être différente selon les travaux. Vous trouverez ici une définition possible et qui est la plus couramment utilisée.

Avec ces données, il est possible de calculer toutes les fonctions d'Argyris pour n’importe quel triangle : il suffit pour cela de résoudre un système linéaire AU=B où :

• A est une matrice 21 × 21;
• U est un vecteur de taille 21 composé des 21 coefficients;
• B est un vecteur de taille 21 dont toutes les composantes sont nulles sauf une qui correspond à la condition adéquate.

(meilleure explication ? se référer à la partie exemple ?)

Remarque 3 : Résoudre ce système est équivalent à inverser la matrice A.

En pratique, il est impensable de calculer toutes les fonctions de bases pour chaque triangle car le nombre de triangles peut être énorme (de l’ordre de plusieurs millions par exemple). C'est pourquoi, on calcule les fonctions sur un triangle particulier dit de référence ayant pour sommets les points (0;0), (1;0),(0;1) et on en "déduit" les fonctions d'Argyris dans un triangle particulier.

Exemple

Voici la liste des fonctions de base d'Argyris dans le triangle de référence avec la condition correspondante (cela signifie que le degré de liberté associé à la condition vaut 1 et que les autres valent 0).

(justifier avec la résolution matricielle ?)

${\begin{array}{ll}\varphi _{1}(x,y)=1-10x^{3}-10y^{3}+15x^{4}-30x^{2}y^{2}+15y^{4}-6x^{5}+30x^{3}y^{2}+30x^{2}y^{3}-6y^{5},&(\varphi _{1}(0,0)=1),\\\varphi _{2}(x,y)=10x^{3}-15x^{4}+15x^{2}y^{2}+6x^{5}-15x^{3}y^{2}-15x^{2}y^{3},&(\varphi _{2}(1,0)=1),\\\varphi _{3}(x,y)=10y^{3}+15x^{2}y^{2}-15y^{4}-15x^{3}y^{2}-15x^{2}y^{3}+6y^{5},&(\varphi _{3}(0,1)=1),\\\varphi _{4}(x,y)=x-6x^{3}-11xy^{2}+8x^{4}+10x^{2}y^{2}+18xy^{3}-3x^{5}+x^{3}y^{2}-10x^{2}y^{3}-8xy^{4},&(\partial _{x}\varphi _{4}(0,0)=1),\\\varphi _{5}(x,y)=y-11x^{2}y-6y^{3}+18x^{3}y+10x^{2}y^{2}+8y^{4}-8x^{4}y-10x^{3}y^{2}+x^{2}y^{3}-3y^{5},&(\partial _{y}\varphi _{5}(0,0)=1),\\\varphi _{6}(x,y)=-4x^{3}+7x^{4}-3.5x^{2}y^{2}-3x^{5}+3.5x^{3}y^{2}+3.5x^{2}y^{3},&(\partial _{x}\varphi _{6}(1,0)=1),\\\varphi _{7}(x,y)=-5x^{2}y+14x^{3}y+18.5x^{2}y^{2}-8x^{4}y-18.5x^{3}y^{2}-13.5x^{2}y^{3},&(\partial _{y}\varphi _{7}(1,0)=1),\\\varphi _{8}(x,y)=-5xy^{2}+18.5x^{2}y^{2}+14xy^{3}-13.5x^{3}y^{2}-18.5x^{2}y^{3}-8xy^{4},&(\partial _{x}\varphi _{8}(0,1)=1),\\\varphi _{9}(x,y)=-4y^{3}-3.5x^{2}y^{2}+7y^{4}+3.5x^{3}y^{2}+3.5x^{2}y^{3}-3y^{5},&(\partial _{y}\varphi _{9}(0,0)=1),\\\varphi _{10}(x,y)=0.5x^{2}-1.5x^{3}+1.5x^{4}-1.5x^{2}y^{2}-0.5x^{5}+1.5x^{3}y^{2}+x^{2}y^{3},&(\partial _{xx}^{2}\varphi _{10}(0,0)=1),\\\varphi _{11}(x,y)=xy-4x^{2}y-4xy^{2}+5x^{3}y+10x^{2}y^{2}+5xy^{3}-2x^{4}y-6x^{3}y^{2}-6x^{2}y^{3}-2xy^{4},&(\partial _{xy}^{2}\varphi _{11}(0,0)=1),\\\varphi _{12}(x,y)=0.5y^{2}-1.5y^{3}-1.5x^{2}y^{2}+1.5y^{4}+x^{3}y^{2}+1.5x^{2}y^{3}-0.5y^{5},&(\partial _{yy}^{2}\varphi _{12}(0,0)=1),\\\varphi _{13}(x,y)=0.5x^{3}-x^{4}+0.25x^{2}y^{2}+0.5x^{5}-0.25x^{3}y^{2}-0.25x^{2}y^{3},&(\partial _{xx}^{2}\varphi _{13}(1,0)=1),\\\varphi _{14}(x,y)=x^{2}y-3x^{3}y-3.5x^{2}y^{2}+2x^{4}y+3.5x^{3}y^{2}+2.5x^{2}y^{3},&(\partial _{xy}^{2}\varphi _{14}(1,0)=1),\\\varphi _{15}(x,y)=1.25x^{2}y^{2}-0.75x^{3}y^{2}-1.25x^{2}y^{3},&(\partial _{yy}^{2}\varphi _{15}(1,0)=1),\\\varphi _{16}(x,y)=1.25x^{2}y^{2}-1.25x^{3}y^{2}-0.75x^{2}y^{3},&(\partial _{xx}^{2}\varphi _{16}(0,1)=1),\\\varphi _{17}(x,y)=xy^{2}-3.5x^{2}y^{2}-3xy^{3}+2.5x^{3}y^{2}+3.5x^{2}y^{3}+2xy^{4},&(\partial _{xy}^{2}\varphi _{17}(0,1)=1),\\\varphi _{18}(x,y)=0.5y^{3}+0.25x^{2}y^{2}-y^{4}-0.25x^{3}y^{2}-0.25x^{2}y^{3}+0.5y^{5},&(\partial _{yy}^{2}\varphi _{18}(0,1)=1),\\\varphi _{19}(x,y)={\sqrt {2}}(-8x^{2}y^{2}+8x^{3}y^{2}+8x^{2}y^{3}),&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!({\sqrt {0.5}}(\partial _{x}\varphi _{19}(0.5,0.5)+\partial _{y}\varphi _{19}(0.5,0.5))=1),\\\varphi _{20}(x,y)=-16xy^{2}+32x^{2}y^{2}+32xy^{3}-16x^{3}y^{2}-32x^{2}y^{3}-16xy^{4},&(-\partial _{x}\varphi _{20}(0,0.5)=1),\\\varphi _{21}(x,y)=-16x^{2}y+32x^{3}y+32x^{2}y^{2}-16x^{4}y-32x^{3}y^{2}-16x^{2}y^{3},&(-\partial _{y}\varphi _{21}(0.5,0)=1),\\\end{array}}$

Remarque 4 : L'ordre n'a a priori aucune importance. Pour la programmation (ou l’utilisation de manière générale), il faut néanmoins se fixer un ordre et le conserver tout le temps.

Matrice de passage

Remarque 5 : Cette construction n'est valable que pour le cas traité en exemple.

Pour trouver les fonctions de base d'Argyris dans un triangle donnée, il faut multiplier le vecteur constitué des différentes fonctions dans le triangle de référence par une certaine matrice $C$ que l’on explicitera ici.

Soient trois points non-alignés $X_{i}=(x_{i},y_{i})(i=1,2,3)$ qui formeront notre triangle $T$. Nous considérons la transformation affine qui envoie un point du triangle de référence ${\widehat {T}}$ sur un point de $T$ (on note ${\widehat {X}}$ le point de coordonnées $({\widehat {x}},{\widehat {y}})$ dans ${\widehat {T}}$) :

$F:{\widehat {T}}\rightarrow T$

figure explicative, représentative ?

$X=F({\widehat {X}})=B{\widehat {X}}+X_{1}:=\left({\begin{array}{ll}x_{2}-x_{1}&x_{3}-x_{1}\\y_{2}-y_{1}&y_{3}-y_{1}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{l}{\widehat {x}}\\{\widehat {y}}\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{l}x_{1}\\y_{1}\end{array}}\right)$.

Afin de simplifier l'écriture, nous notons : $B:=\left({\begin{array}{ll}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{array}}\right)$.

Notations

• Dans le reste de cette présentation, on utilisera des notations simplificatrices :
  • Pour tout $\alpha \in \mathbb {N} ^{*}$, on note $I_{\alpha }$ la matrice identité $\alpha \times \alpha$ (elle ne comporte que des $1$ sur la diagonale, les autres composantes valant $0$);
  • Pour tout couple $(\alpha ,\beta )\in \mathbb {N} ^{*}\times \mathbb {N} ^{*}$, on note $0_{\alpha \times \beta }$ la matrice nulle $\alpha \times \beta$ (toutes ses composantes valent $0$).
• On note $e_{1}$ (respectivement $e_{2}$ ; $e_{3}$) l'arête ayant pour sommets les points $X_{2}$ et $X_{3}$ (respectivement $X_{3}$ et $X_{1}$ ; $X_{1}$ et $X_{2}$). On note $|e_{i}|$ la longueur de l'arête $e_{i}$, $i\in \{1,2,3\}$. On a alors :
  • $|e_{1}|={\sqrt {(x_{3}-x_{2})^{2}+(y_{3}-y_{2})^{2}}}$;
  • $|e_{2}|={\sqrt {(x_{1}-x_{3})^{2}+(y_{1}-y_{3})^{2}}}$;
  • $|e_{3}|={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$;
• Soit la matrice $3\times 3$

$\Theta :=\left({\begin{array}{ccc}b_{11}^{2}&2b_{11}b_{21}&b_{21}^{2}\\b_{11}b_{12}&b_{11}b_{22}+b_{12}b_{21}&b_{21}b_{22}\\b_{12}^{2}&2b_{12}b_{22}&b_{22}^{2}\end{array}}\right)$.

• Soit la matrice $3\times 2$

$A:=\left({\begin{array}{ll}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{array}}\right):=\left({\begin{array}{lll}|e_{1}|^{-2}&0&0\\0&|e_{2}|^{-2}&0\\0&0&|e_{3}|^{-2}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{ll}1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\\-1&0\\0&-1\end{array}}\right)B^{T}$,

où $B^{T}:=\left({\begin{array}{ll}b_{11}&b_{21}\\b_{12}&b_{22}\end{array}}\right)$.

• Pour tout $i\in \{1;2;3\}$, on définit :

$f_{i}=a_{i1}\,v_{i}^{y}-a_{i2}\,v_{i}^{x}$ et $g_{i}=a_{i1}\,v_{i}^{x}+a_{i2}\,v_{i}^{y}$.

• Enfin, on note :
  • $v_{1}=X_{3}-X_{2}=\left({\begin{array}{l}x_{3}-x_{2}\\y_{3}-y_{2}\end{array}}\right):=\left({\begin{array}{c}v_{1}^{x}\\v_{1}^{y}\end{array}}\right);$
  • $v_{2}=X_{1}-X_{3}=\left({\begin{array}{l}x_{1}-x_{3}\\y_{1}-y_{3}\end{array}}\right):=\left({\begin{array}{c}v_{2}^{x}\\v_{2}^{y}\end{array}}\right);$
  • $v_{3}=X_{2}-X_{1}=\left({\begin{array}{l}x_{2}-x_{1}\\y_{2}-y_{1}\end{array}}\right):=\left({\begin{array}{c}v_{3}^{x}\\v_{3}^{y}\end{array}}\right);$

et

• • $w_{1}=\left({\begin{array}{c}v_{1}^{x}v_{1}^{x}\\2v_{1}^{x}v_{1}^{y}\\v_{1}^{y}v_{1}^{y}\end{array}}\right):=\left({\begin{array}{c}(x_{3}-x_{2})^{2}\\2(x_{3}-x_{2})(y_{3}-y_{2})\\(y_{3}-y_{2})^{2}\end{array}}\right)$;
  • $w_{2}=\left({\begin{array}{c}v_{2}^{x}v_{2}^{x}\\2v_{2}^{x}v_{2}^{y}\\v_{2}^{y}v_{2}^{y}\end{array}}\right):=\left({\begin{array}{c}(x_{1}-x_{3})^{2}\\2(x_{1}-x_{3})(y_{1}-y_{3})\\(y_{1}-y_{3})^{2}\end{array}}\right)$;
  • $w_{3}=\left({\begin{array}{c}v_{3}^{x}v_{3}^{x}\\2v_{3}^{x}v_{3}^{y}\\v_{3}^{y}v_{3}^{y}\end{array}}\right):=\left({\begin{array}{c}(x_{2}-x_{1})^{2}\\2(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})\\(y_{2}-y_{1})^{2}\end{array}}\right)$.

Remarque 6 : Si $V$ est une vecteur ligne de taille $n$, on utilisera la notation $V^{T}$ pour l'écrire en tant que vecteur ligne de taille $n$ : cela s’appelle la transposée du vecteur V (où encore le vecteur transposé de V). Exemple : $v_{1}^{T}=(v_{1}^{x};v_{1}^{y})$

Construction de la matrice $C$

La matrice $C$ se construit comme le produit de deux matrices $C=D*E$, où

• $D$ est une matrice $21\times 24$ définie par :

$D:=\left({\begin{array}{l|l|l|l|l|l|l|l}I_{3}&0_{3\times 2}&0_{3\times 2}&0_{3\times 2}&0_{3\times 3}&0_{3\times 3}&0_{3\times 3}&0_{3\times 6}\\\hline 0_{2\times 3}&B^{T}&0_{2\times 2}&0_{2\times 2}&0_{2\times 3}&0_{2\times 3}&0_{2\times 3}&0_{2\times 6}\\\hline 0_{2\times 3}&0_{2\times 2}&B^{T}&0_{2\times 2}&0_{2\times 3}&0_{2\times 3}&0_{2\times 3}&0_{2\times 6}\\\hline 0_{2\times 3}&0_{2\times 2}&0_{2\times 2}&B^{T}&0_{2\times 3}&0_{2\times 3}&0_{2\times 3}&0_{2\times 6}\\\hline 0_{3\times 3}&0_{3\times 2}&0_{3\times 2}&0_{3\times 2}&\Theta &0_{3\times 3}&0_{3\times 3}&0_{3\times 6}\\\hline 0_{3\times 3}&0_{3\times 2}&0_{3\times 2}&0_{3\times 2}&0_{3\times 3}&\Theta &0_{3\times 3}&0_{3\times 6}\\\hline 0_{3\times 3}&0_{3\times 2}&0_{3\times 2}&0_{3\times 2}&0_{3\times 3}&0_{3\times 3}&\Theta &0_{3\times 6}\\\hline 0_{3\times 3}&0_{3\times 2}&0_{3\times 2}&0_{3\times 2}&0_{3\times 3}&0_{3\times 3}&0_{3\times 3}&Q\end{array}}\right)$,

où $Q:=\left({\begin{array}{ccc|ccc}f_{1}&0&0&g_{1}&0&0\\0&f_{2}&0&0&g_{2}&0\\0&0&f_{3}&0&0&g_{3}\end{array}}\right)$.

• $E$ est une matrice $24\times 21$ définie par :

$E:=\left({\begin{array}{c|c}I_{18}&0_{18\times 3}\\\hline 0_{3\times 18}&L\\\hline T&0_{3\times 0}\end{array}}\right)$,

où

• • $L:=\left({\begin{array}{ccc}|e_{1}|&0&0\\0&|e_{2}|&0\\0&0&|e_{3}|\end{array}}\right)$ ;
  • $I_{18}$ est la matrice identité $18\times 18$;
  • $T:=\left({\begin{array}{c|c|c}T_{1}&T_{2}&T_{3}\end{array}}\right)$, où :
    • $T_{1}$ est une matrice $3\times 3$ définie par $T_{1}:={\frac {15}{8}}\left({\begin{array}{lll}0&-1&1\\1&0&-1\\-1&1&0\end{array}}\right)$;
    • $T_{2}$ est une matrice $3\times 6$ définie par $T_{2}:={\frac {-7}{16}}\left({\begin{array}{ccc}0_{1\times 2}&v_{1}^{T}&v_{1}^{T}\\v_{2}^{T}&0_{1\times 2}&v_{2}^{T}\\v_{3}^{T}&v_{3}^{T}&0_{1\times 2}\end{array}}\right)$;
    • $T_{3}$ est une matrice $3\times 9$ définie par $T_{3}:={\frac {1}{32}}\left({\begin{array}{ccc}0_{1\times 3}&-w_{1}^{T}&w_{1}^{T}\\w_{2}^{T}&0_{1\times 3}&-w_{2}^{T}\\-w_{3}^{T}&w_{3}^{T}&0_{1\times 3}\end{array}}\right)$.

Démonstration

Très complexe et longue, utilise des fonctionnelles. À faire quand même ?