Utilisateur:Daniel Lacasta/Modélisation des Réseaux (M1 SIREN, 2022)/Activité E

Mon Réseau

Mon L1 est le nœud D et mon L2 est le nœud A.

J'enlève un lien sortant de mon nœudL1 (d-c) et j'ajoute un lien vers mon nœudL2 (c-a)

Composantes

Ce réseau entier est fortement connexe.

À propos de la centralité du vecteur propre du graph, on peut conclure que dans ce réseau fortement connexe, le nœud le plus important est "a" et aura pourtant un score plus élevé.

Vecteur propre et PageRank

$A={\begin{pmatrix}0&1&1&1&0&0\\0&0&1&0&1&0\\1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1\\1&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0\end{pmatrix}},$ $M={\begin{pmatrix}0&1/3&1/3&1/3&0&0\\0&0&1/2&0&1/2&0\\1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1\\1&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0\end{pmatrix}},$ $Mt={\begin{pmatrix}0&0&1&0&1&1\\1/3&0&0&0&0&0\\1/3&1/2&0&0&0&0\\1/3&0&0&0&0&0\\0&1/2&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\end{pmatrix}}$

J'initialise mon vecteur de matière distribuant également une matière totale de 6 :

$Vo={\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}$

Je procède au calcul d'une itération de la centralité de vecteur propre :

$MtVo={\begin{pmatrix}0&0&1&0&1&1\\1/3&0&0&0&0&0\\1/3&1/2&0&0&0&0\\1/3&0&0&0&0&0\\0&1/2&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\end{pmatrix}}$${\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}$$={\begin{pmatrix}3\\1/3\\5/6\\1/3\\1/2\\1\end{pmatrix}}$

Pour une matière totale après l'itération de 6. Elle reste inchangée, comme on voulait.

On peut alors effectuer l'étape de redistribution, pour éviter que le risque que la matière se concentre uniquement dans quelques composantes fortement connexes du graphe vers lesquelles elle rentrerait mais ne sortirait pas.

$0.9*Vo+0.1=9/10*{\begin{pmatrix}3\\1/3\\5/6\\1/3\\1/2\\1\end{pmatrix}}$+ ${\begin{pmatrix}1/10\\1/10\\1/10\\1/10\\1/10\\1/10\end{pmatrix}}$= ${\begin{pmatrix}2.8\\0.4\\0.85\\0.4\\0.55\\1\end{pmatrix}}$

On vérifie que la matière totale est 6.

Question pour les curieux

Attribuer à chaque nœud une partie 1-s de la matière de chacun des nœuds, cela correspond à une matrice où tous les éléments sont (1-s)/N, où N est le nombre de nœuds du graphe.

Comme on veut aussi garder une partie s de la matière de chaque nœud dans le nœud lui-même, il faut ajouter ce terme s à la diagonale de la matrice.

Dans notre cas, pour s=0.9 (et donc 1-s=0.1) on obtient alors la matrice de redistribution :

$R={\begin{pmatrix}0.9+0.1/6&0.1/6&0.1/6&0.1/6&0.1/6&0.1/6\\0.1/6&0.9+0.1/6&0.1/6&0.1/6&0.1/6&0.1/6\\0.1/6&0.1/6&0.9+0.1/6&0.1/6&0.1/6&0.1/6\\0.1/6&0.1/6&0.1/6&0.9+0.1/6&0.1/6&0.1/6\\0.1/6&0.1/6&0.1/6&0.1/6&0.9+0.1/6&0.1/6\\0.1/6&0.1/6&0.1/6&0.1/6&0.1/6&0.9+0.1/6\end{pmatrix}}$

Graph de blocs

$A(H1)={\begin{pmatrix}2&4\\3&0\end{pmatrix}},$ $A(H2)={\begin{pmatrix}3&2\\2&2\end{pmatrix}}$

Je pense que H2 simplifie davantage G car la répartition de la matière entre 2 blocs est plus équilibré