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Lorsqu'on étudie une fonction f, il n’est pas suffisant d'étudier la valeur f(x) pour certaines valeurs x. En effet, entre deux valeurs même très proches de x, la fonction peut avoir des comportements complexes. Il est donc nécessaire d’avoir une étude plus complète. Considérons la fonction $x^{4}+2x^{3}-x$. Une table des valeurs nous donnerait un résultat comme suit.

Table des valeurs

x	-2	-1	0	1	2
f(x)	2	0	0	2	30

D'après la table de vérité, la valeur de x semble descendre puis remonter, avec son plus bas entre -1 et 0. En réalité, la courbe ressemble à la figure suivante.

Dessin de $x^{4}+2x^{3}-x$ par gnuplot

Grâce à l'étude de la dérivée, ce problème n'apparait pas.

Explication intuitive de la dérivée

La dérivée indique comment la valeur f(x) évolue avec le temps. Si la dérivée est positive, la valeur de f(x) augmente. Si la dérivée est négative, la valeur de f(x) diminue. Finalement, plus la valeur absolue de la dérivée est grande, plus la variation de f(x) est importante. Ainsi, si la dérivée est nulle, la valeur de f(x) ne varie pas.

Une dérivée connue de tous est la vitesse. Il s'agit de la dérivée de la position des individus même si ce nombre est souvent pris en valeur absolue. Considérez la position d’un individu se déplaçant entre deux villes. Si la vitesse de cet individu augmente, il s'éloigne de plus en plus vite de sa ville d'origine. S'il décide de revenir sur ses pas, sa vitesse va d’abord diminuer puis devenir négative.

Un autre exemple est celui de l'accélération. Il s'agit cette fois-ci de la dérivée de la vitesse. Puisque c’est la dérivée de la dérivée de la position, on parle de dérivée seconde de la position. Lorsqu'un individu accélére, sa vitesse augmente. Si l'accélération est négative, il ralentit. Un mobile laché dans l'air subit une force dirigée vers la terre dont l'accélération est environ de $9,8m.s^{-2}$. Cela signifie que sa vitesse d'approchement augmente de $9,8m.s^{-1}$ à chaque seconde (et que sa vitesse d'éloignement de la terre diminue d'autant). Sa vitesse va donc augmenter. D'autres forces, à commencer par les frottements de l'air, vont faire diminuer l'accélération du mobile jusqu'à ce qu'elle soit nulle. Alors, le mobile n'accélére plus et chute à une vitesse constante.

Comment étudier l'évolution d'une fonction -- approximer par une droite

On décide donc d'étudier comment la fonction évolue autour de la valeur x. Une propriété qui apparait dans pratiquement toutes les fonctions est que lorsque l’on zoome suffisamment autour du point (x,f(x)), la courbe ressemble de plus en plus à une droite.

Prenez l'exemple d’un cercle. Lorsqu'on ne regarde qu'une petite portion de la courbe, elle ressemble à une droite. C’est notamment pour cela que l'horizon de notre planète souvent dessiné comme une droite.

Zooms successifs sur un cercle, l'image dans chaque carré représente ce que contient le petit carré de gauche

Considérons en revanche une courbe brisée comme sur la figure METTRE UNE FIGURE. Si on s'intéresse à la valeur où la courbe se brise, on aura beau zoomer, la brisure sera toujours présente. Remarquez cependant que le zoom fait apparaître une double demie-droite. Ainsi, si on décale notre centre d'intérêt d'une valeur même infiniment faible, la brisure finit par disparaître de notre fenêtre d'observation et on se retrouve avec une droite.

Ces propriétés nous indiquent qu’il est possible de réduire la fonction f(x) par une droite si on reste dans un voisinage suffisamment proche de x. Cette droite est appelée la tangente de la fonction en x.

Calcul de la tangente

Intuitivement, une tangente est une courbe qui frôle une autre courbe en un point en la traversant (ou pas). Lorsqu'on s'intéresse à f suffisamment près autour de ce point, on peut remplacer f par sa tangente puisque leurs comportements sont presque identiques. Si ces deux comportements sont trop différents, cela signifie que l’on ne s'intéresse par à f suffisamment près du point de frôlement. Nous calculons maintenant les coordonnées de la tangente en x.

Étant donnée la fonction f et X, on connait déjà un point de la tangente : il s'agit du point (X,f(X)). En effet, la tangente coupe la courbe f(x) en X.

Pour déterminer la pente de la fonction, on utilise un résultat bien connu d'analyse. Rappelons ce résultat&nbsp: soient deux points $(x_{1},y_{1})$ et $(x_{2},y_{2})$, la pente de la courbe passant par ces deux points peut se calculer par ${\frac {x_{1}-x_{2}}{y_{1}-y_{2}}}$.

Prenons maintenant un point proche de X, disons $X+\delta$. Alors, en appliquant le résultat précédent, la pente de la courbe passant par (X,f(X)) et $(X+\delta ,f(X+\delta ))$ se calcule par : ${\frac {f(X)-f(X+\delta )}{X-(X+\delta )}}={\frac {f(X+\delta )-f(X)}{\delta }}$.

Nous avons dit plus haut que la courbe ressemblait de plus en plus d'une droite à mesure qu'on zommait. Il s'agit donc de se rapprocher de plus en plus de X. Pour cela, nous utilisons les limites. La pente de la tangente, si elle existe, est alors :

$\lim _{\delta \rightarrow 0}{\frac {f(X+\delta )-f(X)}{\delta }}$.

Cette valeur, la pente de la tangente, est la dérivée de la courbe en X et notée f'(X).

Ainsi, considérons la fonction $f(x)=x^{3}-2x^{2}+x-7$. Nous calculons la valeur de la dérivée en X = 1.

$\lim _{\delta \rightarrow 0}{\frac {f(X+\delta )-f(X)}{\delta }}$

$\lim _{\delta \rightarrow 0}{\frac {f(1+\delta )-f(1)}{\delta }}$

$\lim _{\delta \rightarrow 0}{\frac {(1+\delta )^{3}-2(1+\delta )^{2}+(1+\delta )-7-1^{3}+2\times 1^{2}-1+7}{\delta }}$

$\lim _{\delta \rightarrow 0}{\frac {1+3\times \delta +3\times \delta ^{2}+\delta ^{3}-2-4\times \delta -2\times \delta ^{2}+\delta -1+2}{\delta }}$

$\lim _{\delta \rightarrow 0}{\frac {(3-4+1)\times \delta +(3-2)\times \delta ^{2}+\delta ^{3}}{\delta }}$

$\lim _{\delta \rightarrow 0}{\frac {\delta ^{2}+\delta ^{3}}{\delta }}$

$\lim _{\delta \rightarrow 0}\delta +\delta ^{2}$

$0$

Ainsi, la courbe f(x) a tendance à ne pas évoluer autour de X = 1.

METTRE DES EXEMPLES DE TELLES COURBES METTRE DES EXEMPLES POUR D'AUTRES VALEURS

Généralisation pour toutes les valeurs de x

Il est possible de calculer la valeur f'(x) pour toute valeur de x. Cela se fait de la même manière que précédemment. CALCULER LA DERIVEE DE $f(x)=x^{3}-2x^{2}+x-7$

Une fois la dérivée f'(x) calculée, il est (parfois) facile de déterminer les valeurs X telles que f'(X) = 0. On construit alors une table de dérivation de la manière suivante. ILLUSTRER AVEC L'EXEMPLE PRECEDENT Delta = b2 - 4ac X1 = - b + rac(Delta) / 2a X2 = - b - rac(Delta) / 2a

Généralisation pour toutes les fonctions

Il est possible de prouver les résultats suivants. Nous encourageons les étudiants à prouver ces résultats :

$f(x)=1\Rightarrow f'(x)=0$

$f(x)=x\Rightarrow f'(x)=1$

$f(x)=g(x)+h(x)\Rightarrow f'(x)=g'(x)+h'(x)$

$f(x)=k\times g(x)\Rightarrow f'(x)=k\times g(x)$

$f(x)=x^{k}\Rightarrow f'(x)=kx^{k-1}$

Les résultats suivants sont plus difficiles à prouver et nous ne demandons pas aux étudiants de les prouver dans cette leçon.

$f(x)=g(h(x))\Rightarrow f'(x)=h'(x)g'(h(x))$

$f(x)=g(x)\times h(x)\Rightarrow f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)$

$f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}\Rightarrow f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}}$