Transformation des coordonnées cartésiennes (rectangulaires) en coordonnées triangulaires et vice versa-TRIANGLE DE MAXWELL

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Les coordonnées triangulaires(xtri,ytri,ztri) sont référencées par rapport à un triangle équilatéral de côtés pris égaux à 1.

xtri+ytri+ztri=1.

Les coordonnées cartésiennes(rectangulaires)(x,y) sont référencées par rapport à un triangle rectangle isocèle de côtés pris égaux à 1 sur les axes x et y.

z=1-x-y.

L'origine O (0,0) des 2 systèmes de coordonnées est commune.x=0,y=0,x=0,xtri=0,ytri=0.

Au point de coordonnées x=0,y=1 sur l'axe y correspond le point xtri=0,5,ytri=(3^0,5)/2, sommet du triangle équilatéral.Nous appellerons ces 2 points les sommets.

Au point commun aux 2 systèmes sur l'axe x, de coordonnées x=1,y=0 correspond le point xtri=1, ytri=0.


On peut écrire :

xtri=ax+by+c.

ytri=dx+ey+f.

Pour l'origine O on a c=0,f=0.

Pour les sommets on a b=0,5 ,e=(3^0,5)/2.

Pour le point commun sur l'axe x on a :

a=1,d=0.

En conclusion:

xtri=x+y/2.

ytri=y*(3^0,5)/2.

Inversement :

x=xtri-ytri/(3^0,5)/2. y=ytri/(3^0,5)/2

Cette transformation est particulièrement intéressante pour mieux visualiser les coordonnées CIE1931 xyY-2° du spectrum locus (lieu du spectre ou tout simplement spectre) qui représente les lumières spectrales (donc pures).

Cette transformation s'apparente au triangle des lumières de MAXWELL.

Les propriétés de barycentre(luminance barycentrique Y/y) se conservent dans cette transformation et l'on peut sur ce diagramme triangulaire additionner des lumières, comme sur le diagramme cartésien.