Théorie des groupes/Examen/Licence math algèbre Université de Provence mars 1996

Il sera tenu compte de la rigueur des raisonnements et de la présentation.

ɪ (11 points)

Soit G un groupe multiplicatif dont la loi est dénotée par juxtaposition et dont l'élément neutre est e.

Si E est un sous-ensemble non-vide de G, on appelle centralisateur de E dans G le sous- ensemble Z_G(E) de G défini par Z_G(E) = {a ∈ G|ᗄx ∈ E, axa^-1 = x}. On dénote le centre de G par Z(G).

1 ) (i) Montrer que Z_G(E) est un sous-groupe de G.

(ii) Qu’est ce que Z_G(G) ?

(iii) Si ∅ ≠ E ⊂ F ⊂ G, comparer Z_G(E) et Z_G(F).

(iv) On rappelle que E^-1 = {x^-1 ∈ G|x ∈ E}. Montrer que Z_G(E) = Z_G(E^-1) = Z_G(〈E〉).

(v) Peut-on affirmer que Z_G(E) contient E ?

2 ) (i) Soient H et K deux sous-groupes distingués de G tels que H ᑎ K = {e}. Montrer que chacun d'eux est contenu dans le centralisateur de l'autre. (Si h ∈ H et k ∈ K on pourra considérer l'élément [h,k] = hkh^-1k^-1.)

(ii) Soient H et K deux sous-groupes de G tels que H ᑎ K = {e}. On rapelle que HK = {hk|h ∈ H, k ∈ K}. Montrer que HK est isomorphe au produit direct (externe) H ✕ K.

On dit qu'un groupe G est simple si G ≠ {e}, et les seuls sous-groupes distingués de G sont G et {e}.

3 ) Montrer que si G est commutatif on a : G est simple si et seulement si G est monogène et fini d'ordre premier.

Soit A = Aut G le groupe d'automorphisme de G, et I = Int G le groupe d'automorphisme intérieur de G. La loi pour ces groupes est la composition notée ∘.

4 ) (i) Montrer que I est un sous-groupe distingué.

(ii) Montrer que I = {Id_G} si et seulement si G est abélien.

5 ) (i) Montrer qu'un automorphisme de G, σ ∈ A, commute avec l'automorphisme intérieur Φ_g ∈ I si et seulement si g^-1σ(g) ∈ Z(G).

(ii) Montrer que σ ∈ Z_A(I) si et seulement si pour tout g ∈ G, on a g^-1σ(G)∈ Z(G).

(iii) En déduire que si Z(G) = {e} on a Z_A(I) = {Id_A}.

ɪɪ (7 points)

On suppose désormais que G est un groupe simple non-abélien.

6 ) (i) Montrer que l’application Φ : G → I est un isomorphisme. Qu'en déduit-on pour le groupe I ?

Soit s un automorphisme du groupe A (c'est-à-dire, s est un élément du groupe Aut A).

(ii) Montrer que s(I) est distingué dans A et en déduire (utilisant 2, 5 et 6(i) ci-dessus) qu'on ne peut pas avoir I ᑎ s(I) = {Id_G} (noter que Id_G est l'élément neutre du groupe A).

(iii) Déduire que s(I) = I.

7 ) Soit s un automorphisme de A qui laisse invariant tout élément α de I.

(i) Montrer que pour tout τ ∈ A, et tout α ∈ I, s laisse fixe τ∘α∘τ^-1, et τ^-1∘s(τ) ∈ Z_A(I).

(ii) Montrer que s = Id_A.

8 ) Soit s un automorphisme de A. Nous savons, d’après 6 que s laisse I globalement stable. On appelle encore s la restriction de s à I, et on pose σ = Φ^-1∘s∘Φ.

(i) Montrer que σ ∈ A.

(ii) On pose u : A → A l’application définie par ξ → σ^-1∘s(ξ)∘σ. Si g,y ∈ G, que vaut (u(Φ_G))(y)? (Utiliser le fait que Φ∘σ = s∘Φ.)

(iii) En déduire que u = Id_A, puis que tout automorphisme de A est intérieur.

ɪɪɪ (3 points)

9 ) Soit :

$L=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}|a,b,c,d\in \mathbb {C} ,ad-bc=1\right\}$

On sait que L est un groupe pour la multiplication des matrices.

(i) Trouver Z(L);L est-il commutatif ? L/Z(L) est-il commutatif? (Les matrices ${\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}}$ et ${\begin{pmatrix}1&0\\y&1\end{pmatrix}}$ pour x, y ∈ ℝ sont des étéments de L.)

On admet le résultat suivant : Si H est un sous-groupe distingué de L qui contient Z(L) alors soit H = Z(L), soit H = L.

(ii) Montrer que Z(L/Z(L)) est le groupe trivial d'ordre 1. Montrer que L/Z(L) est simple.

Corrigé

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