Leçons de niveau 16

Théorie des groupes/Examen/Licence math algèbre Université de Provence mars 1996

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Licence de Mathématiques
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Cours : Théorie des groupes
Date : 30 mars 1996
Lieu : Université de Provence
Épreuve : Algèbre
Durée : 2 heures

Examen de niveau 16.

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Théorie des groupes/Examen/Licence math algèbre Université de Provence mars 1996
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Il sera tenu compte de la rigueur des raisonnements et de la présentation.

ɪ (11 points)

Soit G un groupe multiplicatif dont la loi est dénotée par juxtaposition et dont l'élément neutre est e.

Si E est un sous-ensemble non-vide de G, on appelle centralisateur de E dans G le sous- ensemble ZG(E) de G défini par ZG(E) = {a ∈ G|ᗄx ∈ E, axa-1 = x}. On dénote le centre de G par Z(G).

1 ) (i) Montrer que ZG(E) est un sous-groupe de G.

(ii) Qu’est ce que ZG(G) ?
(iii) Si ∅ ≠ E ⊂ F ⊂ G, comparer ZG(E) et ZG(F).
(iv) On rappelle que E-1 = {x-1 ∈ G|x ∈ E}. Montrer que ZG(E) = ZG(E-1) = ZG(〈E〉).
(v) Peut-on affirmer que ZG(E) contient E ?

2 ) (i) Soient H et K deux sous-groupes distingués de G tels que H ᑎ K = {e}. Montrer que chacun d'eux est contenu dans le centralisateur de l'autre. (Si h ∈ H et k ∈ K on pourra considérer l'élément [h,k] = hkh-1k-1.)

(ii) Soient H et K deux sous-groupes de G tels que H ᑎ K = {e}. On rapelle que HK = {hk|h ∈ H, k ∈ K}. Montrer que HK est isomorphe au produit direct (externe) H ✕ K.

On dit qu'un groupe G est simple si G ≠ {e}, et les seuls sous-groupes distingués de G sont G et {e}.

3 ) Montrer que si G est commutatif on a : G est simple si et seulement si G est monogène et fini d'ordre premier.

Soit A = Aut G le groupe d'automorphisme de G, et I = Int G le groupe d'automorphisme intérieur de G. La loi pour ces groupes est la composition noté ∘.

4 ) (i) Monter que I est un sous-groupe distingué.

(ii) Montrer que I = {IdG} si et seulement si G est abélien.

5 ) (i) Montrer qu'un automorphisme de G, σ ∈ A, commute avec l'automorphisme intérieur Φg ∈ I si et seulement si g-1σ(g) ∈ Z(G).

(ii) Montrer que σ ∈ ZA(I) si et seulement si pour tout g ∈ G, on a g-1σ(G)∈ Z(G).
(iii) En déduire que si Z(G) = {e} on a ZA(I) = {IdA}.
ɪɪ (7 points)

On suppose désormais que G est un groupe simple non-abélien.

6 ) (i) Montrer que l’application Φ : G → I est un isomorphisme. Qu'en déduit-on pour le groupe I ?

Soit s un automorphisme du groupe A (c'est-à-dire, s est un élément du groupe Aut A).

(ii) Montrer que s(I) est distingué dans A et en déduire (utilisant 2, 5 et 6(i) ci-dessus) qu'on ne peut pas avoir I ᑎ s(I) = {IdG} (noter que IdG est l'élément neutre du groupe A).
(iii) Déduire que s(I) = I.

7 ) Soit s un automorphisme de A qui laisse invariant tout élément α de I.

(i) Montrer que pour tout τ ∈ A, et tout α ∈ I, s laisse fixe τ∘α∘τ-1, et τ-1∘s(τ) ∈ ZA(I).
(ii) Montrer que s = IdA.

8 ) Soit s un automorphisme de A. Nous savons, d’après 6 que s laisse I globalement stable. On appelle encore s la restriction de s à I, et on pose σ = Φ-1∘s∘Φ.

(i) Montrer que σ ∈ A.
(ii) On pose u : A → A l’application définie par ξ → σ-1∘s(ξ)∘σ. Si g,y ∈ G, que vaut (u(ΦG))(y)? (Utiliser le fait que Φ∘σ = s∘Φ.)
(iii) En déduire que u = IdA, puis que tout automorphisme de A est intérieur.
ɪɪɪ (3 points)

9 ) Soit :

On sait que L est un groupe pour la multiplication des matrices.

(i) Trouver Z(L);L est-il commutatif ? L/Z(L) est-il commutatif? (Les matrices et pour x, y ∈ ℝ sont des étéments de L.)

On admet le résultat suivant : Si H est un sous-groupe distingué de L qui contient Z(L) alors soit H = Z(L), soit H = L.

(ii) Montrer que Z(L/Z(L)) est le groupe trivial d'ordre 1. Montrer que L/Z(L) est simple.