Théorie des groupes/Examen/Licence math algèbre Université de Provence mars 1990

Rappels : On dit qu'un groupe G est abélien s'il est commutatif.

On appelle commutateur [a,b] de deux éléments a, b de G tel que : [a,b] := a^-1b^-1ab.

On dit qu'un groupe est simple s'il n'admet pas d’autre sous-groupe que lui-même et {1}.

On dit qu'un automorphisme α (i.e : α ∈ Aut G) est intérieur s'il existe a ∈ G dépendant bien entendu de α, tel que ᗄx ∈ G on ait α(x) = axa^-1. On notera ici f_a un tel automorphisme intérieur (i.e f_a ∈ Int G).

1 )

a) Montrer que : Int G ⊳ Aut G (en particulier, on a affaire à des groupes pour la composition des applications)

b) On suppose dorénavant que G est simple et non abélien. Calculer le centre de G, Z(G).

c) Démontrer que G est isomorphe à Int G.

d) Montrer que le centralisateur dans Aut G de Int G est réduit à {1}.

e) Quel est le centrre de Aut G ?

2 ) Soit σ ∈ Aut G

a) Montrer que σ(Int G) est un sous-groupe normal dans Aut G et que Int G ᑎ σ(Aut G) ⊳ σ(Aut G)

b) Déduire du 1)c) une alternative concernant Int G ᑎ σ(Int G)

c) Posons [Int g, σ(Int G)] := {x^-1φ^-1xφ ; x ∈ Int G, φ ∈ σ(Int G)}. Montrer que [Int g, σ(Int G)] ⊂ Int g ᑎ σ(Int G)

d) Montrer que σ(Int G) = {1} se déduit de l'une des alternatives 2)b) en utilisant 1)d). Que pouvez-vous donc conclure ?

3 ) Soit f_b ∈ Int G

a) Montrer qu’il existe dans G un élément α(b) tel que α(f_b) = f_α(b).

b) Montrer que l'élément α(b) précédent est unique, et que l’application ainsi définie est dans Aut G

c) Posons :

$\phi _{\alpha }:Aut\,G\ni \beta \longmapsto \alpha \beta \alpha ^{-1}\in Aut\,G$

Montrer que Φ_α est inversible.

d) On pose τ = σ o Φ_α^-1. Montrer que τ(f_b) = f_b, ᗄb ∈ G

e) Soit β ∈ Aut G. Montrer que β f_b β^-1 = τ(β) f_b τ(β)^-1

f) En déduire que β^-1τ(β) est dans le centralisateur de Int G dans Aut G.

g) Montrer que dans l’hypothèse 1)b), Int G = Aut G.

Corrigé

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