Théorie des groupes/Examen/Licence math algèbre Université de Provence mars 1988

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Exercice 1 )

Soit x un élément d'ordre rs d'un groupe G, où r et s sont premiers entre eux. Montrer qu’il existe dans G un élément a d'ordre s et un élément b d'ordre r qui commutent entre eux et tels que x = ab. Montrer que cette décomposition est unique.

Indication : On utilisera le théorème de Bezout (si (r,s) = 1, alors ∃ λ, μ ∈ ℤ tels que λ.r + μ.s = 1) et on cherchera a et b parmi les x^{λ.r + μ.s} où λ, μ ∈ ℤ.

Exercice 2 )

Soit S_n = S_n(1,2,...,n) le groupe des permutations de n éléments.

Établir :

a) Pour que ζ ∈ S_n soit un élément du centre de S_n, il faut et il suffit que ζτ(i,j) = τ(i,j)ζ pour tout 1 ≤ i,j ≤ n.

b) Quel est le centre de s₂ ?

c) Quel est le centre de S_n pour n ≥ 3 ?

Exercice 3 )

a) Soit G un groupe fini. S, T deux parties de G non nécessairement disjointes. Montrer que G = ST ou que ord G ≥ card S + card T.

Indication : On considérera une séquence d'éléments t_i de G réalisant, quand c’est possible, l'assertion :

$\exists s\in S,\exists t\in G\cap Compl\left(\{t_{1},\cdots ,t_{k}\}\right)/st\notin S\{t_{1},\cdots ,t_{k}\}$

d'où la minoration par card S + (k - 1).

b) Soit F un groupe abélien fini (+,o). On suppose de plus qu’il existe une multiplication (.) qui fait un groupe multiplicatif de F^* = F\{0} et qui est distributive par rapport à l'addition (bilatéralement).

Alors tout x ∈ F est somme de deux carrés (on suppose que g = -g ⇔ g = 0)

Indication :Prendre S = T = F^*2 dans a).

Exercice 4 )

a) Soient g un groupe, K un sous-groupe normal de G, H un sous-groupe de K. Montrer que, si pour tout g ∈ G, il existe k ∈ K tel que gHg^-1 = kHk^-1 alors G = k.Ɲ_G(H) où Ɲ_G(H) est le normalisateur de h dans G.

b) On suppose que P est un p-sous-groupe de Sylow de K. Montrer (en utilisant la maximalité de P parmi les p-sous-groupes de K et le résultat du a)) que G = K.Ɲ_G(P).

c) Soit Q un p-sous-groupe de Sylow de G de normalisateur N = Ɲ_G(Q). Montrer que tout sous-groupe H de G qui contient N est son propre normalisateur (i.e H = Ɲ_G(H)).

d) Montrer que le nombre de p-sous-groupes de Sylow de G est un diviseur de l’ordre de G.

Remarque : Les questions c) et d) sont indépendantes.

Exercice 5 )

Soit S₄ = S₄(1,2,3,4), le groupe des permutations de 4 éléments.

Soit K = {Id,τ(1,2),τ(3,4),τ(1,3),τ(2,4),τ(1,4),τ(2,3)}.

a) Montrer que K est un sous-groupe normal de S₄.

b) Établir l’existence d'un isomorphisme entre S₄/K et S₃. (On considère S₃(2,3,4)).

c) Si A₄ représente l’ensemble des permutations paires, montrer que A₄/K ≃ ℤ₃, où ℤ₃ ≃ ℤ/(3) = {Classe d'entiers modulo 3}.

Corrigé

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