Leçons de niveau 16

Théorie des groupes/Examen/Licence math algèbre Université de Provence mai 1994

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Licence de Mathématiques
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Cours : Théorie des groupes
Date : 4 mai 1994
Lieu : Université de Provence
Épreuve : Algèbre
Durée : 2 heures

Examen de niveau 16.

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Théorie des groupes/Examen/Licence math algèbre Université de Provence mai 1994
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Il sera tenu compte de la rigueur des raisonnements et de la présentation.

1 ) Combien existe-t-il, à isomorphisme près, de groupes commutatifs d'ordre 37, 252, 84 ? Donner une description de chacun.


2 ) a) Montrer que, si a et b sont générateurs d'un groupe monogène (ou cyclique) G, il existe un automorphisme f de G tel que f(a) = b.

b) G et F sont deux groupes monogènes, f un homomorphisme surjectif de G sur F, si a est un générateur de G, que peut-on dire de f(a) ?
c) Si K est un sous-groupe de G, f un homomorphisme de G dans le groupe H, montrer que |f(K)| divise |H| et divise |K|.
d) Combien existe-t-il d'homomorphismes d'un groupe G d'ordre 37 dans en groupe H d'ordre 7.


3 ) Soit N un groupe d'ordre 12.

a) Montrer que N possède au moins un sous-groupe d'ordre 3 et un sous-groupe d'ordre 4.
b) Combien peut-il exister dans N de sous-groupe d'ordre 3 ?
c) On suppose que N contient 4 sous-groupes d'ordre 3. Combien contient-il d'éléments d'ordre 3 ? d'ordre 2 ou 4 ? En déduire que N contient alors un sous-groupe distingué d'ordre 4.
d) Montrer que (sans la supposition de (c)) N contient toujours un sous-groupe distingué d'ordre 3 ou 4.
e) Que savez-vous sur les groupes d'ordre 4 ?
f) Montrer que si N contient un unique sous-groupe F d'ordre 3 et un unique sous-groupe H d'ordre 4, alors N est le produit direct de F et de H, et N est commutatif.


4 ) Soit G un groupe d'ordre 84 pas nécessairement commutatif, H un groupe d'ordre 7, f:G→H un homomorphisme non trivial (|f(G)| > 1).

a) Montrer que f est surjectif.
b) Soit N = ker f. Calculer |N|, et utilisant 3), montrer qu’il existe F ⊳ N, d'ordre 3 ou 4.
c) Montrer que G possède un unique sous-groupe distingué K tel que |K| = 7.
d) Montrer que G est produit direct de N et de K.
e) Montrer que f, restreint à K, est un isomorphisme de K sur H. Combien existe-t-il d'isomorphismes possibles de K sur H.
f) Combien existe-t-il d'homomorphismes possibles de G dans H ?
g) Montrer que S = KF est un produit direct (où F est le sous-groupe du b) ci-dessus), et que S est distingué dans G.


5 ) Considérons l’ensemble S = {a = e2πi/18, 2} dans le groupe ℂ* = ℂ - {0}, des nombres complexes avec loi de multiplication.

a) Définir le sous-groupe < S > engendré par un sous-ensemble S fini (non vide) d'un groupe.
b) Montrer que le sous-groupe de ℂ* engendré par a est isomorphe à ℤ18 ≡ ℤ/18ℤ - c'est-à-dire l’ensemble {0,1,2,...,17} avec loi d'addition modulo 18.
c) Combien de générateurs y a-t-il dans ℤ18 et dans ℤ ?
d) Quel est le sous-groupe de ℂ* engendré par 2 ?
e) Montrer que < {a,2} > est donc isomorphe au produit direct ℤ18✕ℤ.
f) Montrer que les produits directs G✕H et H✕G sont isomorphes.