Leçons de niveau 16

Théorie des groupes/Examen/Licence math algèbre Université de Provence juin 1997

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Licence de Mathématiques
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Cours : Théorie des groupes
Date : 5 juin 1997
Lieu : Université de Provence
Épreuve : Algèbre
Durée : 3 heures

Cet examen est de niveau 16.

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Théorie des groupes/Examen/Licence math algèbre Université de Provence juin 1997
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Il sera tenu compte de la rigueur des raisonnements et de la présentation.


Les deux parties du sujet sont indépendantes


ɪ

Soit G un groupe fini et p un nombre premier.

1 ) a) soit x un élément d'ordre p dans G; combien y a-t-il d'élément d'ordre p dans 〈x〉, le sous groupe de G engendré par x ?

b) Soit y un élément d'ordre p dans G aussi; montrer que l'interception 〈x〉ᑎ〈y〉des sous groupes engendrés par x et par y est soit 〈x〉=〈y〉, soit {e}.
c) En déduire que le nombre d'éléments d'ordre p dans G est un multiple de (p - 1).

2 ) Soit Z(G) le centre de G; on admettra que, si G/Z(G) est cyclique, alors G est abélien. Montrer alors que Card(G/Z(G)) n'est jamais un nombre premier.

3 ) On fait opérer G sur lui-même par conjugaison : G✕G → G par (g,a) ↦ gag-1.

Montrer que 〈a〉 est contenu dans le sous groupe stabilisateur de a, StabG(a).

4 ) En déduire que Card({gag-1, g ∈ G}) divise Card(G)/Card(〈a〉).

Soit G un groupe d'ordre 15. Le but est de démontrer que G est nécessairement abélien.

On suppose que G n’est pas abélien, pour obtenir une contradiction.

5 ) Montrer qu'alors le centre de G est d'ordre 1.

6 ) Montrer qu’il y a une, et une seule orbite O à 5 éléments pour cette action sur G, et qu’il y a trois orbites O1, O2, et O3 à 3 éléments.

7 ) Montrer que a ∈ O si et seulement si a est d'ordre 3 dans G. Quels sont les ordres des éléments dans O1, O2, et O3 ?

8 ) En déduire une contradiction, permettant de conclure que tout groupe d'ordre 15 est abélien.


ɪɪ

ℇ désigne un espace affine réel de dimension n ≥ 2, attaché à l'espace vectoriel E.

T(ℇ) désigne le groupe des translations de ℇ.

ΉT(ℇ) désigne le groupe constitué des homothéties et translations de ℇ.

ℭ(ℇ) désigne l’ensemble des homothétie de ℇ de rapport -1.

Ή*(E) désigne l’ensemble des homothéties vectorielles de E, Ή*(E) = {kIdE|k ∈ ℝ - {0}}.

ℓ désigne l'homomorphisme de GA(ℇ) dans GL(E) qui à ∈ GA(ℇ) fait correspondre ℓ() = , l’application linéaire associé à .

On rappelle que s ∈ GA(ℇ) est une homothétie affine si ℓ(s) = kIdE ∈ Ή*(E), et k ∉ {0,1}. Le nombre réel k est le rapport de s, et l'unique point de ℇ, fixé par s, est son centre.


0 ) Montrer que ℭ(ℇ) n’est pas un sous groupe de GA(ℇ).

1 ) Soit s ∈ ℭ(ℇ); montrer que pour tout a ∈ ℇ, le centre de s est l'isobarycentre de a et s(a). Montrer que s est d'ordre 2 dans GA(ℇ).

2 ) On pose désormais Δ = T(ℇ)ᑌℭ(ℇ).

a) Montrer que Δ est un sous groupe distingué de GA(ℇ).

On sait que T(ℇ) est un sous groupe distingué de GA(ℇ), dont de Δ.

b) Montrer que [Δ,T(ℇ)], l'indice de T(ℇ) dans Δ, est 2. (On pourra, par exemple, utiliser l'homomorphisme ℓ.)

3 ) Il est clair que A = {IdE,-IdE} est un sous groupe distingué du groupe GL(E). Soit ψ l'homomorphisme canonique de GL(E) sur GL(E)/A.

En utilisant ψ∘ℓ, montrer que GA(ℇ)/Δ est isomorphe à GL(E)/A.

4 ) On pose GL+(E) = {f ∈ GL(E)|dét f > 0}.

a) Montrer que GL+(E) est un sous groupe distingué de GL(E).
b) Montrer que si n est impair, GL(E) est le produit direct interne de GL+(E) et de A.
c) qu'en déduit-on alors pour GA(ℇ)/Δ ?

5 ) Soit G un sous groupe distingué de ΉT(ℇ), non contenu dans T(ℇ).

a) soit h ∈ G - T(ℇ), h étant de rapport λ et centre c. Soit u ∈ E. Identifier tu∘h∘t-u, puis h-1∘tu∘h∘t-u. En déduire que T(ℇ)⊂G.
b) Montrer qu’il existe un sous groupe Γ de Ή*(E) tel que G = ℓ-1(Γ), puis que G ⊳ GA(ℇ).