Théorie des groupes/Examen/Licence math algèbre Université de Provence juin 1997

Il sera tenu compte de la rigueur des raisonnements et de la présentation.

Les deux parties du sujet sont indépendantes

ɪ

Soit G un groupe fini et p un nombre premier.

1 ) a) Soit x un élément d'ordre p dans G; combien y a-t-il d'éléments d'ordre p dans 〈x〉, le sous-groupe de G engendré par x ?

b) Soit y un élément d'ordre p dans G aussi; montrer que l'interception 〈x〉ᑎ〈y〉des sous-groupes engendrés par x et par y est soit 〈x〉=〈y〉, soit {e}.

c) En déduire que le nombre d'éléments d'ordre p dans G est un multiple de (p - 1).

2 ) Soit Z(G) le centre de G; on admettra que, si G/Z(G) est cyclique, alors G est abélien. Montrer alors que Card(G/Z(G)) n'est jamais un nombre premier.

3 ) On fait opérer G sur lui-même par conjugaison : G✕G → G par (g,a) ↦ gag^-1.

Montrer que 〈a〉 est contenu dans le sous-groupe stabilisateur de a, Stab_G(a).

4 ) En déduire que Card({gag^-1, g ∈ G}) divise Card(G)/Card(〈a〉).

Soit G un groupe d'ordre 15. Le but est de démontrer que G est nécessairement abélien.

On suppose que G n’est pas abélien, pour obtenir une contradiction.

5 ) Montrer qu'alors le centre de G est d'ordre 1.

6 ) Montrer qu’il y a une et une seule orbite O à 5 éléments pour cette action sur G, et qu’il y a trois orbites O₁, O₂, et O₃ à 3 éléments.

7 ) Montrer que a ∈ O si et seulement si a est d'ordre 3 dans G. Quels sont les ordres des éléments dans O₁, O₂, et O₃ ?

8 ) En déduire une contradiction, permettant de conclure que tout groupe d'ordre 15 est abélien.

ɪɪ

ℇ désigne un espace affine réel de dimension n ≥ 2, attaché à l'espace vectoriel E.

T(ℇ) désigne le groupe des translations de ℇ.

Ή_T(ℇ) désigne le groupe constitué des homothéties et translations de ℇ.

ℭ(ℇ) désigne l’ensemble des homothéties de ℇ de rapport -1.

Ή^*(E) désigne l’ensemble des homothéties vectorielles de E, Ή^*(E) = {kId_E|k ∈ ℝ - {0}}.

ℓ désigne l'homomorphisme de GA(ℇ) dans GL(E) qui à $f$ ∈ GA(ℇ) fait correspondre ℓ($f$) = ${\vec {f}}$, l’application linéaire associée à $f$.

On rappelle que s ∈ GA(ℇ) est une homothétie affine si ℓ(s) = kId_E ∈ Ή^*(E), et k ∉ {0,1}. Le nombre réel k est le rapport de s, et l'unique point de ℇ, fixé par s, est son centre.

0 ) Montrer que ℭ(ℇ) n’est pas un sous-groupe de GA(ℇ).

1 ) Soit s ∈ ℭ(ℇ); montrer que pour tout a ∈ ℇ, le centre de s est l'isobarycentre de a et s(a). Montrer que s est d'ordre 2 dans GA(ℇ).

2 ) On pose désormais Δ = T(ℇ)ᑌℭ(ℇ).

a) Montrer que Δ est un sous-groupe distingué de GA(ℇ).

On sait que T(ℇ) est un sous-groupe distingué de GA(ℇ), dont de Δ.

b) Montrer que [Δ,T(ℇ)], l'indice de T(ℇ) dans Δ, est 2. (On pourra, par exemple, utiliser l'homomorphisme ℓ.)

3 ) Il est clair que A = {Id_E,-Id_E} est un sous-groupe distingué du groupe GL(E). Soit ψ l'homomorphisme canonique de GL(E) sur GL(E)/A.

En utilisant ψ∘ℓ, montrer que GA(ℇ)/Δ est isomorphe à GL(E)/A.

4 ) On pose GL₊(E) = {f ∈ GL(E)|dét f > 0}.

a) Montrer que GL₊(E) est un sous-groupe distingué de GL(E).

b) Montrer que si n est impair, GL(E) est le produit direct interne de GL₊(E) et de A.

c) Qu'en déduit-on alors pour GA(ℇ)/Δ ?

5 ) Soit G un sous-groupe distingué de Ή_T(ℇ), non contenu dans T(ℇ).

a) Soit h ∈ G - T(ℇ), h étant de rapport λ et centre c. Soit u ∈ E. Identifier t_u∘h∘t_-u, puis h^-1∘t_u∘h∘t_-u. En déduire que T(ℇ)⊂G.

b) Montrer qu’il existe un sous-groupe Γ de Ή^*(E) tel que G = ℓ^-1(Γ), puis que G ⊳ GA(ℇ).

Corrigé

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