Leçons de niveau 16

Théorie des groupes/Examen/Licence math algèbre Université de Provence juin 1990

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Licence de Mathématiques
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Cours : Théorie des groupes
Date : juin 1990
Lieu : Université de Provence
Épreuve : Algèbre
Durée : 3 heures

Examen de niveau 16.

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Théorie des groupes/Examen/Licence math algèbre Université de Provence juin 1990
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Si z = x + iy est élément de ℂ, alors :

Si Zj ∈ ℂn,

ɪ . On étudie sur ℂn✕ℝ, la loi suivante notée ● :

1 ) Montrer que cette loi est associative. Donnez-en un élément neutre.

2 ) Montrer que cette loi n’est pas commutative.

3 ) Soit α = (Z,s) ∈ ℂn✕ℝ. On définit des applications de ℂn✕ℝ dans lui-même par V(α) = (Z,0); U(α) = (Z,-s); ℑ(α) = (-Z,-s). Calculer α●V(α); α●U(α); α●ℑ(α).

Quels sont les éléments inversibles par la loi ● ? On notera (Z,s)-1 un tel inverse. Quelle est la structure de (ℂn✕ℝ,●) ?

4 ) question facultative : On note + la loi additive usuelle sur le produit cartésien usuel ℂn✕ℝ. Calculer :

Est ce que la loi ● est distributive par rapport à la loi + ?


ɪɪ . si A désigne un groupe abélien, on notera A(i) l’ensemble des expressions formelles du type a + bi où a, b ∈ A; on munit cet ensemble de l'addition : (a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i.

1 ) a) Montrer que (ℤ2(i)✕ℤ,●) est un sous-groupe non abélien de (ℂ2✕ℝ,●).

b) Si ℤa désigne l’ensemble des classes modulo a dans ℤ, (a ∈ ℤ), montrer que :
où les isomorphismes précédents concernent des lois de groupes additifs.

2 ) Étant donnés deux entiers a, b, quelle condition doit vérifier c pour que ℤa(i) ✕ ℤb(i) ✕ ℤc soit un quotient de (ℤ2(i)✕ℤ,●) ?

3 ) On suppose dorénavant que : a = p2q, b = pq2, c = pq où p et q sont deux nombres premiers distincts de 2.

a) Montrer que :
b) Montrer que ℤp2q se décompose en somme directe :
c) Soit r un premier, déterminez tous les r-sous-groupes de Sylow de G = ℤp2q(i) ✕ ℤpq2(i) ✕ ℤpq muni de ●. Donnez en le nombre pour chaque r. Que pouvez-vous dire du sous-groupe Sp = ℤp2(i) ✕ ℤp(i) ✕ ℤp de (G,●) ?

4 ) On note de façon analogue : Sq = ℤq(i) ✕ ℤq2(i) ✕ ℤq.

a) Montrer que Sp ᑎ Sq est réduit à l'élément neutre de (G,●).
b) Montrer que l’ensemble Sp ● Sq des composés α.β où α ∈ Sp, β ∈ Sq coïncide avec G.
c) Montrer que G est isomorphe au produit direct de Sp par Sq.

5 ) Déduire de ce qui précède une décomposition primaire du groupe non abélien G. Est-elle aussi une décomposition cyclique ?

6 ) Montrer que G est résoluble.

7 ) Montrer que G est nilpotent.

8 ) soit H un groupe fini, on supose que pour tout r premier, tout r-sous-groupe de Sylow soit normal. Prouver que H est alors le produit direct de ces sous-groupes. En déduire que H est nilpotent. Comparer au cas de G.


* * *


Nota bene : On pourra, lors de la résolution de questions telles que, par exemple, II.3)b), nommer des isomorphismes ou, si l’on préfère, utiliser des abus de langages évidents.