Temps/Exercices/Pendule simple

Le pendule étudié par Galilée

En 1638, dans son discours concernant « deux sciences nouvelles », Galilée décrit une de ses expériences sur le mouvement d'un pendule simple.

« J’ai pris deux sphères égales, l'une de plomb, l'autre de liège, celle là bien plus de 100 fois plus lourde que celle ci, toutes deux attachées à des fils fins et égaux, long de 4 à 5 coudées, fixés par le haut. Puis les ayant éloignées l'une et l'autre de la verticale, je les ai laissées aller en même temps : et toutes descendant le long de la circonférence, des cercles décrits par les fils de rayon égaux, dépassèrent la verticale ; puis elle revinrent en arrière par le même chemin en répétant bien 100 fois les mêmes allées et venues, elles ont montré d'une manière évidente que la boule lourde marche tellement dans le temps de la légère qu'elle ne dépasse pas ce temps ni en cent oscillations ni en mille, du petit intervalle, mais elle marche d'un pas tout a fait égal… Chacune de ses oscillations se fait dans un temps égal ».

Répondez aux questions suivantes à partir du texte ci-dessus :

1. Faire un schéma de cette expérience.

2. Que veut dire Galilée lorsqu’il parle de sphères égales ? En quoi ces sphères ne sont pas égales ? Comment traduire cette phrase en langage scientifique moderne ?

3. En utilisant le mot période, résumez d'une phrase la propriété d'un pendule mise en évidence par Galilée lorsqu’il utilise deux sphères différentes.

Solution

1. Voici un exemple de schéma, les légendes peuvent être formulées différemment mais il ne doit pas en manquer (voir schéma 1)

2. Par sphères égales, Galilée entend que les sphères ont le même rayon, donc le même volume. En réalité, les sphères ne sont pas identiques puisqu'elles ne sont pas faites avec la même matière, l'une est en liège l'autre en plomb : elles n'ont pas la même masse. Il faudrait dire : « ce sont des sphères de même rayon mais de masse m différente. »

3. La propriété mise en évidence est la suivante : la période d'un pendule est indépendante de sa masse m.

Schéma 1

 

Plusieurs mesures valent mieux qu'une

Pour mieux déterminer l'expérience mesuré par Galilée, un groupe d'élèves décide de mesurer plusieurs fois la durée t de 10 oscillations d'un pendule. Les résultats obtenus sont affichés dans le tableau ci-dessous :

Experience no 1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Durée en s	14,2	14,3	14,3	14,1	14,0	14,2	14,3	15,5	14,1	14,2

Répondez aux questions suivantes à partir du tableau ci-dessus :

1. Toutes ces valeurs sont-elles cohérentes ?

2. Comment utiliser l’ensemble des valeurs pour déterminer la valeur de la période du pendule ? En quoi cette méthode est-elle préférable à celle n'utilisant qu'une seule mesure ?

3. Calculer la valeur de la période.

4. Pourquoi n'a-t-on pas directement mesuré la durée d'une seule période ?

Solution

1. Une des mesures (exp n^o 8) ne paraît pas cohérente par rapport aux autres, qui sont sensiblement comprises entre 14,0 s et 14,3 s.

2. Pour déterminer la valeur de la période, on retire la mesure incohérente et on calcule la moyenne des t :

$t_{\rm {moy}}={\frac {14,2+14,3+14,3+14,1+14,0+14,2+14,3+14,1+14,3+14,2}{9}}=14,2\;\mathrm {s}$

3. On divise ensuite t_moy par 10, pour obtenir : T = ${\frac {14,2}{10}}$ = 1,42 s.

4. Cette méthode est bien plus précise que si on utilisait le résultat d'une seule mesure. (T ± 0.2s)

 

Tout peut varier !

On étudie un pendule constitué d'une petite mass m accroché a un fil de longueur L. Ce pendule est écartée d'un angle α par rapport à sa position d'équilibre. Il effectue alors des oscillations périodique de part et d’autre de sa position d'équilibre. On désire savoir si les variation de m,L et de α ont une influence sur la période T du pendule. Pour cela, on a réalisé les mesures de la période dans le 5 expériences suivantes :

Expérience no	α en degré	L en cm	m en g
11	10	35	200
12	15	20	70
13	20	35	150
14	15	40	70
15	20	35	200

1. Dire, en justifiant les réponses, quelles experiences il faudrait choisir pour rechercher l'influence sur la valeur de la période :

• De l'angle α
• De la longueur L
• De la masse m suspendue

2. Quelles sont les experiences pour lesquelles la valeur de la période sera identique ? Justifier

Solution

1.Pour étudier l'influence sur la valeur de la période, il faut 2 experiences dans lesquelles la valeur de ce paramètre change alors que les autres ne bougent pas (à noter que cela est aussi valable pour la biologie)

• L'influence de α est étudiée avec les experiences 11 et 15
• L'influence de L est étudiée avec les experiences de 12 et 14
• L'influence de m est étudiée avec les experiences 13 et 15

2.On sait que T ne dépend ni de α ni de m, mais uniquement de L, on aurait donc la même période pour les experiences 11, 13 et 15.

 

Sur les pas de galilée

On étudie une pendule constitué d'une sphère de cuivre de petite dimension, accrochée par un fil à une potence. On cherche à montrer l'influence sur la longueur L du fil sur la période T. On a obtenu les résultat suivant :

L en m	0.20	0.25	0.30	0.35	0.40	0.50	0.60	1.00
T en s	0.917	1.038	1.128	1.30	1.44	1.56	1.76	2.02

f(L) =T (cliquez pour agrandir)

1. On a réalisé le graphe donnant l'évolution de T en fonction de L et que l’on a reproduit ci-contre. Que peut on dire des longueurs T et L ?
2. Montrer que le carré de la période est proportionnel à la longueur du pendule.
3. Tracer sur une feuille de papier millimetré le graphe donnant l'évolution de T² en fonction de L
4. Déterminer le coefficient de proportionnalité à partir de ce graphe

5. D'après le graphe que vous avez représenté quelle est la longueur L si T = 2s.

Solution

1. Le graphe montrant l'évolution de la période T en fonction de sa longueur L n’est pas une droite passant par l'origine des axes donc T et L ne sont pas des grandeurs proportionnelles entre elles.
2.Pour montrer la proportionnalité on calcule les rapports T²/L Les rapports ne sont pas rigoureusement identiques, les ecarts sont dus aux erreurs de mesures :

$4,0\leq {\frac {T^{2}}{L}}\leq 4,3$
On peut donc admettre que T²/L est

f(L) =T²

constant
3.Le graphe T²=f(l) est une droite passant par l'origine des axes (voir ci-contre) et qui confirme la proportionnalité précédente.
4.Le coefficient de proportionnalité correspond au coefficient directeur de la droite. On calcule ce coefficient directeur à partir de 2 points de la droite (pas des points de mesure); par exemple avec les points M₁(il s'exprime donc en newton) et M₂(1.1m; 4.5s²)

Coefficient directeur = ${\frac {Diff{\acute {e}}rences\quad des\quad ordonn{\acute {e}}es}{Differ{\acute {e}}ences\quad des\quad abscisses}}$ = ${\frac {4.5-0.4}{1.1-0.1}}$=4.newton⁻¹
5.D'après le graphe, on cherche l'abscisse du point M₀ de la droite tel que T₀ = (2s)² = 4s²soit L=0.98m

 

Une pendule qui bat la seconde

Huygens s'inspira des découvertes de Galilée sur les propriétés des oscillations du pendule et explique ceci « Il faut d’abord avoir déterminé la longueur du pendule, laquelle est facilement déduite de la règle que les longueurs des pendules sont entre elle comme le carré des périodes. De sorte que la longueur du pendule qui mesure deux secondes étant d’après notre définition de 3 pieds, sa quatrième partie, c'est-à-dire neuf pouces, conviennent au pendule qui marquera la seconde ? »
Données
Un pied (à l'époque d'huygens) = 33.14 cm
Un pied = 12 pouces; quatrième partie : le quart
1.Traduire à l'aide d'une expression littérale la phrase « la règle que les longueurs sont entre elles comme le carré des périodes »
2.À partir de la valeur de la longueur L du pendule dont la période vaut 2 secondes, calculer le coefficient de proportionnalité qui lie le carré T² de la période et la longueur L
3.Comparer au résultat de la question 4 de la partie "sur les pas de galilée"

Solution

1.Soient 2 pendules de longueur L₁ et L₂ ayant des periodes T₁ et T₂. On a ${\frac {L_{1}}{L_{2}}}={\frac {T_{1}^{2}}{T_{2}^{2}}}$
Il y a donc un coefficient de proportionnalité entre T² et L.
2.Détermination du coefficient de proportionnalité : si L₁ = 3 pieds alors T₁ = 2s L₁ = 3 pieds = 3x33.14=99.42 cm = 0.9442m
${\frac {T_{1}^{2}}{L_{1}}}={\frac {4}{0.9942}}=4.02s^{2}.m^{-1}$
3.Dans la précédente partie, le coefficient de proportionnalité est 4.1 s².m⁻¹ et dans cette partie il est de 4.0 s².⁻¹
Les résultats sont proches on a un écart relatif de
${\frac {4.1-4.0}{100}}x100=2.5\%$
On a une concordance entre les résultats qui sont égaux à 2.5 % prés.