Systèmes du premier ordre/D'autres systèmes du premier ordre

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Dans les deux chapitres précédents, nous nous sommes contentés d'étudier un système du premier ordre particulier. Les électroniciens l'appellent filtre passe-bas. Il est très utile pour représenter des systèmes mécaniques, mais il n’est pas le seul. Il est grand temps d’en passer quelques uns en revue.

Intégrateur pur

La fonction de transfert de l'intégrateur pur peut s'écrire :

${\underline {H}}(p)={\frac {K}{p}}$

Elle possède donc un pôle unique en 0.

Son diagramme de Bode peut être trouvé par les calculs :

$G_{d}B(\omega )=20\log(|H(j\omega )|=20(\log(K)-log(\omega ))$

$\phi =Arg(H(j\omega ))=-{\frac {\pi }{2}}$

Quand ω est multiplié par 10, le gain perd 20dB, on parle alors d’une pente de -20dB par décade (ou de -6dB par octave).

Le diagramme de Bode est composé de deux droites :

• le gain est une droite de pente - 20 dB/dec
• la phase est une droite horizontale à $\phi =-{\frac {\pi }{2}}$.

Dérivateur pur

La fonction de transfert dérivateur pur peut s'écrire :

${\underline {H}}(p)=K\cdot p$

Elle possède un zéro unique à la fréquence 0.

Son diagramme de Bode peut être trouvé par les calculs :

$G_{d}B(\omega )=20\log(|H(j\omega )|=20(\log(K)+log(\omega ))$

$\phi =Arg(H(j\omega ))=+{\frac {\pi }{2}}$

Quand ω est multiplié par 10, le gain gagne 20dB, on parle alors d’une pente de +20dB par décade (ou de +6dB par octave).

Le diagramme de Bode est composé de deux droites :

• le gain est une droite de pente +20 dB/dec
• la phase est une droite horizontale à $\phi =+{\frac {\pi }{2}}$.

Une des caractéristiques de cette fonction de transfert est qu'elle amplifie les fréquences hautes, qui en générale sont celles du bruit. D'où la remarque suivante.

Remarque

On évitera en pratique l’utilisation d'un dérivateur pur. En général pour éviter cette croissance de la fonction de transfert avec les fréquences, une utilisation pratique consiste à ajouter un pôle, comme le font les automaticiens avec leur correcteur PD (voir plus loin)

Le PI des automaticiens

La fonction de transfert de l'intégrateur pur peut s'écrire :

${\underline {P}}I(p)={\frac {K}{\tau _{i}\cdot p}}$

Elle est identique à celle de l'intégrateur (voir ci-dessus).

Le PD des automaticiens

La fonction de transfert du correcteur Proportionnel et Dérivée est :

$PD(p)={\frac {K\cdot \tau _{d}p}{(1+{\frac {\tau _{d}}{N}}\cdot p)}}$

Elle est souvent appelée dérivateur filtrée.

Elle comporte un zéro en 0 et un seul pôle.

Le traitement d'un retard comme un premier ordre

Nous allons nous poser la question d'un retard pur dans cette section. C'est la première fois que l’on rencontre cette notion, il faut donc passer un peu de temps dessus.

Un élément retard est un élément qui prend une fonction quelconque e(t) et ressort cette fonction retardée $s(t)=e(t-\tau )$. Si la transformée de Laplace de l'entrée est E(p) alors celle de la sortie est $S(p)=e^{(-p\tau )}\cdot E(p)$. Il est facile d’en déduire la fonction de transfert :

${\underline {H}}(p)=e^{(-p\tau )}={\frac {1}{e^{(+p\tau )}}}$

Nous sommes cependant désarmés pour étudier cette fonction de transfert qui n’est pas sous la forme polynomiale que l’on connait si bien.

Si l’on fouille dans nos connaissances cependant, on sait que n’importe quelle fonction peut être écrite sous forme polynomiale grâce à son développement en sa série de Taylor. Ainsi : $H(p)={\frac {1}{e^{(+p\tau )}}}={\frac {1}{1+p\tau +(p\tau )^{2}+...}}$

Dans certaines conditions $p\tau <<1$, cette fonction de transfert peut être considérée comme un premier ordre.