1.Vecteurs positions et champ de vitesse
Nous représentons le pot de miel de la manière suivante :
Soit le point M, un point quelconque représentant une particule de miel a pour coordonnées : M (r, , z).
Soit le vecteur :
Expression des vecteurs de position du point M
• Dans le cadre d'une description lagrangienne, nous avons :
• Dans le cadre d'une description eulérienne, nous avons :
"Expression du champ de vitesse des particules de miel"
• Description en Lagrangien:
Pour obtenir l’expression du vecteur de la vitesse lagrangienne, nous dérivons l’expression du vecteur de position en lagrangien du point M.
On sait que:
• Description eulérienne:
Pour obtenir l’expression du vecteur de la vitesse eulérienne, nous dérivons l’expression du vecteur de position eulérien du point M.
2.Rotationnel de la vitesse
Le rotationnel de la vitesse du miel s'écrit de la façon suivante :
3.L'accélération des particules de miel
Description Lagrangienne:
Pour obtenir l’expression du vecteur de l'accélération lagrangienne, nous dérivons l’expression du vecteur de la vitesse lagrangienne du point M.
Description Euclérienne:
Pour obtenir l’expression du vecteur de l'accélération eulérienne, nous dérivons l’expression du vecteur de la vitesse eulérienne du point M.
où
d'où :
4. Accélération des particules de miel avec une vitesse angulaire proportionnelle au temps
Description Lagrangienne
Description Eulérienne
avec :
où :
D'où :
Ainsi :