Fonction exponentielle/Fonction racine n-ième

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Racine n-ième

Définition

Soit x un réel positif et n un entier naturel.

• On définit ${\sqrt[{n}]{x}}$ comme l'unique réel positif dont la puissance n-ième vaut x.

• On a ${\sqrt[{n}]{x}}=x^{\frac {1}{n}}=e^{{\frac {1}{n}}\ln(x)}$

Fonction racine n-ième

Début d’un théorème

Théorème

• La fonction $f_{n}:x\mapsto {\sqrt[{n}]{x}}$ est définie sur $[0;+\infty [$.
• Elle est dérivable sur $]0;+\infty [$ et $f_{n}'(x)={\frac {1}{n}}x^{{\frac {1}{n}}-1}$
• Elle est strictement croissante sur $[0;+\infty [$
• $\lim _{x\to +\infty }{\sqrt[{n}]{x}}=+\infty$
• $\lim _{x\to 0}{\sqrt[{n}]{x}}=0$

Fin du théorème