Probabilités sur les ensembles finis/Vocabulaire des événements

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Comme tous les langages de spécialistes, le langage des probabilités utilise un vocabulaire spécifique souvent constitué de mots courants auxquels on donne un sens très précis.

Univers et évènements

Définition

• Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat est soumis au hasard.

• L'ensemble des résultats possibles est l'univers Ω lié à l'expérience.

• Un évènement est une partie de cet univers, c'est-à-dire une certaine classe de résultats possibles.

• Un résultat possible est parfois appelé éventualité à ne pas confondre avec un évènement.

• Un évènement ne regroupant qu'un seul résultat possible est appelé évènement élémentaire.

Exemples

On lance un dé cubique à six faces. On observe la face supérieure du dé après qu'il se soit arrêté.

• L'univers est l'ensemble de six éventualités $\Omega =\lbrace 1;2;3;4;5;6\rbrace$.
• L'évènement A : "Obtenir un résultat pair" est une partie de l'univers : A = {2 ; 4 ; 6}.
• L'évènement B : "Obtenir 6" est un évènement élémentaire : B = {6}

Remarque

• Dans ce cours de niveau 10, on ne considèrera que des expériences aléatoires qui ont un nombre fini de résultats possibles.

• C'est ce qui justifie le titre "Probabilités sur les ensembles finis".

• Cela ne signifie pas forcément que les différents résultats ont la même probabilité.

Évènements particuliers

Définition

• L'univers Ω est appelé "évènement certain ".

• L'ensemble vide Ø est appelé "évènement impossible".

• L'évènement "contraire" de A, noté ${\overline {A}}$ contient

tous les éléments de Ω qui ne sont pas dans A.

C'est l'évènement qui est réalisé dès qu'A n'est pas réalisé.

Exemples

• Dans un lancer de dé, l'évènement « obtenir un numéro compris entre 1 et 6 »

correspond à l'évènement {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}, c'est-à-dire à l'évènement certain.

• Dans un lancer de dé, l'évènement « obtenir plus de 7 » correspond à l'évènement

{ } = Ø, c'est-à-dire l'évènement impossible.

• Dans un lancer de dé, si l'évènement A est « obtenir un nombre pair »,

l'évènement contraire de A,

${\overline {A}}$ est l'évènement « obtenir un nombre impair »

Opérations sur les évènements

Définition

• L'union : l'évènement $A\cup B$ est réalisé

dès qu'A ou B (ou les deux) est réalisé.

• L'intersection : l'évènement $A\cap B$ est réalisé

dès qu'A et B sont réalisés dans la même expérience.

Exemples

• Dans un lancé de dé, si

l'évènement A est « obtenir un nombre pair »

et l'évènement B « obtenir un multiple de 3 »,

l'évènement $A\cup B$ est l'évènement :

« obtenir un nombre pair OU un multiple de 3 », c'est-à-dire {2 ; 3 ; 4 ; 6}.

• Dans un lancer de dé, si

l'évènement A est « obtenir un nombre pair »

et l'évènement B « obtenir un multiple de 3 »,

l'évènement $A\cap B$ est l'évènement:

« obtenir un nombre pair ET multiple de 3 », c'est-à-dire {6}.

Remarques sur les connecteurs ET et OU

• Il s'agit d'un OU inclusif, c'est-à-dire "soit A, soit B, soit les deux".

• Une éventualité appartient à $A\cup B$ si et seulement si elle appartient à A ou à B.

Mais donc $A\cup B$ est formé des éventualités de A et de celles de B ...

pour se prémunir de ce genre d'erreurs de logique,

le mot "éventualité ne doit apparaitre qu'une fois dans la phrase.

Car le premier "OU" est un "OU" logique alors que le ET désigne en fait une addition et non une conjonction.

Évènements incompatibles

Définition

Lorsque deux évènements ont une intersection vide (ou impossible),

c'est qu'ils ne peuvent pas être réalisés au cours d'une même expérience.

On les appelle alors évènements incompatibles.

Exemple

• Dans un lancer de dé,

si l'évènement A est « obtenir un multiple de 4 »

et l'évènement B « obtenir un multiple de 3 »,

les évènements A et B sont incompatibles.

Remarque

Il ne faut pas confondre les évènements incompatibles (qui ne peuvent se produire lors d'une même expérience) et les évènements indépendants (qui se produisent indépendamment l'un de l'autre).