Repérage et coordonnées/Distance

Repères

Définition

Un repère du plan est constitué de trois points (O, I, J) non alignés. Le point O est l'origine du repère. Les points I et J fixent les unités en abscisses et en ordonnées.

Exemple :

• Un repère n'a pas forcément des axes perpendiculaires

Définition

• Quand les axes (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, le repère est dit orthogonal.
• Quand les axes sont perpendiculaires et qu'en plus les unités sont les mêmes, OI = OJ = 1, le repère est dit orthonormé

Exemple : Les axes sont perpendiculaires, les unités sont les mêmes en abscisses et en ordonnées. Les points I et J ne sont pas nommés, ils correspondent à la valeur 1.

Exercices interactifs

• Pour s'exercer aux coordonnées dans un repère sur Maths en poche

Coordonnées du milieu d'un segment

Début d’un théorème

Théorème

Soient deux points $A(x_{A};y_{A})\,$ et $B(x_{B};y_{B})\,$, alors les coordonnées du milieu M du segment [AB] sont données par les formules :

$x_{M}={\frac {x_{A}+x_{B}}{2}}\ ,\ y_{M}={\frac {y_{A}+y_{B}}{2}}$

Fin du théorème

Exemple : Dans le repère ci-dessous, calculons les coordonnées du milieu M de [AB].

$x_{M}={\frac {3,5+(-2)}{2}}={\frac {1,5}{2}}=0,75$ $y_{M}={\frac {2+1,5}{2}}={\frac {3,5}{2}}=1,75$

Exercice : Calculer les coordonnées des milieux N de [BD] et P de [AO].

Exercices interactifs

• Exercices de Maths en poche sur les coordonnées du milieu

Distance dans un repère orthonormé

Début d’un théorème

Théorème

Soient dans un repère orthonormé deux points $A(x_{A};y_{A})\,$ et $B(x_{B};y_{B})\,$, alors la distance entre A et B est donnée par la formule :

$AB={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}$

Fin du théorème

Exemple : Dans le repère orthonormé ci-dessous, calculons la distance AB :

$AB={\sqrt {(-2-3,5)^{2}+(1,5-2)^{2}}}={\sqrt {(-5,5)^{2}+(-0,5)^{2}}}={\sqrt {30,25+0,25}}={\sqrt {31}}\approx 5,6\ unit{\acute {e}}s$ Attention : Ce résultat est en unités, et chaque unité vaut deux carreaux, donc si on veut AB en carreaux, il faut multiplier ce résultat par 2. Mais quand on demande la distance AB et que l'on ne précise pas, il faut la donner en unités, et non en carreaux ou en cm.

Exercice : Calculer (en unités) les distances AC, BC, AO.

Exercices interactifs

• Exercices de Maths en poche sur le calcul de distance avec les coordonnées