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{{Exercice
  | idfaculté = mathématiques
  | niveau    = 11
  | numéro    = 1
  | précédent = [[../../|Sommaire]]
  | suivant = [[../Parallélogramme/]]
}}

Le plan est rapporté au repère orthonormé <math>(O;\vec i,\vec j)</math>.

On considère les points <math>A(-8,1)</math>, <math>B(-7,4)</math>, <math>C(2,1)</math> et <math>D(-6,7)</math>.
#Placer ces points dans le repère.
#Démontrer que le triangle <math>ABC</math> est rectangle en <math>B</math>.
#Démontrer que <math>A</math>, <math>B</math> et <math>D</math> sont alignés et déterminer le réel <math>k</math> tel que <math>\overrightarrow{AD}=k\overrightarrow{AB}</math>.
#La parallèle à <math>(BC)</math> menée par <math>D</math> coupe <math>(AC)</math> en <math>I</math>. Déterminer les coordonnées de <math>I</math>.
#Soit <math>J</math> le pied de la hauteur issue de <math>B</math> du triangle <math>ABC</math>. Déterminer les coordonnées de <math>J</math>.
#Démontrer que les points <math>B</math>, <math>D</math>, <math>I</math> et <math>J</math> se trouvent sur un même cercle, dont on déterminera le centre et le rayon.
{{Solution|contenu=
#{{...}}
#<math>\vec{AB}\cdot\vec{BC}=(1,3)\cdot(9,-3)=1\times9+3\times(-3)=0</math>.
#<math>\vec{AD}=2\vec{AB}</math>.
#<math>\vec{AI}=2\vec{AC}</math> (d'après le théorème de Thalès) donc <math>I</math> a pour coordonnées <math>(-8,1)+2(10,0)=(12,1)</math>.
#<math>J</math> a même ordonnée <math>1</math> que <math>A</math> et <math>C</math>, et même abscisse <math>-7</math> que <math>B</math>.
#<math>BDI</math> est rectangle en <math>D</math> (d'après les questions 2 et 3) et <math>BJI</math> est rectangle en <math>J</math> (par construction) donc <math>D</math> et <math>J</math> sont sur le cercle de diamètre <math>[BI]</math>.<br>Le rayon de ce cercle est <math>DI/2=BC=\sqrt{9^2+(-3)^2}=3\sqrt{10}\approx9{,}49</math> et son centre a pour coordonnées <math>\frac{(-7,4)+(12,1)}2=(5/2,5/2)</math>.
}}

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