Voir la source de Mouvement à force centrale et potentiel newtonien/Trajectoires

{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 4 
  | suivant   = [[../Vitesses de libération/]]
  | précédent = [[../Obtention de la trajectoire/]]
  | niveau    = 14
}}



== Énergie mécanique  ==

On exprime l'énergie cinétique en utilisant la formule de Binet pour la vitesse :

<math>E_c = {1 \over 2} m v^2 = {1 \over 2} m C^2\left( \left({du \over d\theta}\right)^2  + u^2\right)</math>

On rappelle :

<math>u(\theta) = {1\over r} = {1+e\cos\theta \over p} \qquad p = {C^2\over K} </math>

En dérivant :

<math>{du \over d\theta} = {-e\sin\theta \over p} </math>

Ce qui donne pour l'énergie cinétique :

<math>E_c = {1 \over 2} {m C^2\over p^2}\left( (e\sin\theta)^2 + (1 + e\cos\theta)^2 \right)</math>

<math>E_c = {1 \over 2} {m C^2\over p^2}\left( e^2 + 1 + 2e\cos\theta \right)</math>

<math>E_c = {1 \over 2} {K^2m\over C^2}\left( e^2 + 1 + 2e\cos\theta \right)</math>

Et pour l'énergie potentielle, on a :

<math>E_p = -{Km \over r } = -Km\,u = -mK{1+e\cos\theta \over p}</math>

<math>E_p = -{mK^2 \over C^2}\left(1+e\cos\theta \right)</math>

Et ainsi on peut écrire l'énergie mécanique :

<math>E_m = {1 \over 2} {mK^2\over C^2}\left( e^2 + 1 + 2e\cos\theta \right)-{mK^2 \over C^2}\left(1+e\cos\theta \right)</math>

<math>E_m = {1 \over 2} {mK^2\over C^2}\left( e^2 -1 \right)</math>

{{Propriété
  | contenu =
La nature de la trajectoire est relié au signe de l'énergie mécanique :
* Si E<sub>m</sub> > 0 , alors e > 1 et la trajectoire est une '''hyperbole'''.
* Si E<sub>m</sub> = 0 , alors e = 1 et la trajectoire est une '''parabole'''.
* Si E<sub>m</sub> < 0 , alors e < 1 et la trajectoire est une '''ellipse'''.
}}

== Trajectoire hyperbolique  ==

{{...}}

== Trajectoire parabolique  ==

{{...}}

== Trajectoire elliptique  ==

<math>r(\theta) = {p \over 1 + e \cos \theta }</math>

=== Aphélie et périhélie  ===

La distance au foyer de l'ellipse est minimale quand <math>\cos \theta = 1</math> : 

<math>r_{min} = r_P = {p\over 1+e}</math>

La distance au foyer de l'ellipse est maximale quand <math>\cos \theta = - 1</math> : 

<math>r_{max} = r_A = {p\over 1-e}</math>

=== Demi grand axe a  ===

<math>r_{min} + r_{max} = 2a = {p\over 1+e} + {p\over 1-e} = {2p\over 1-e^2}</math>

{{Encadre
  | contenu =
<math>a = {p\over 1-e^2}</math>
}}

=== Distance focale c  ===

<math>c = a - r_{min} = {p\over 1-e^2} - {p\over 1+e} = {p\over 1-e^2} - {p(1-e)\over (1+e)(1-e)} = {p-p+pe\over 1-e^2}</math>

<math>c = {pe\over 1-e^2} = a\,e</math>

=== Excentricité ===

{{Encadre
  | contenu =
<math>e = {c \over a}</math>
}}

<math>r_P = a - c = a - ae = a(1-e)</math>

<math>r_A = a + c = a + ae = a(1+e)</math>

=== Demi petit axe b  ===

Pour une ellipse, on a :

<math>a^2 = b^2 + c^2</math>

<math>b^2 = a^2 - c^2 = {p^2\over (1-e^2)^2} - {p^2e^2\over (1-e^2)^2} = {p^2(1-e^2)\over (1-e^2)^2} = {p^2\over (1-e^2)}</math>

<math>b = {p\over \sqrt{(1-e^2)}} = p\sqrt{{a\over p}} = \sqrt{ap}</math>

{{Encadre
  | contenu =
<math>b = \sqrt{ap}</math>
}}

=== Surface balayée pendant une période  ===

Vitesse aréolaire

<math>{dS\over dt} = {C \over 2} </math>

Pendant une période T :
<math>S = \pi\,a\,b = {1 \over 2} C\, T</math>

<math>T^2 = {4\pi^2 a^2 b^2 \over C^2} = {4\pi^2 a^2 ap \over C^2} = {4\pi^2 a^3 m \over K}</math>

<math>T = 2\pi \sqrt {ma^3 \over K} </math>

=== Troisième loi de Kepler  ===

<math>{T^2\over a^3} = {4\pi^2 m \over K}  = {4\pi^2 m \over K}</math>

== Trajectoire circulaire  ==

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | suivant   = [[../Vitesses de libération/]]
  | précédent = [[../Obtention de la trajectoire/]]
}}