Voir la source de Filtre passif passe bas/Fonction de transfert

{{Chapitre
  | idfaculté = sciences de l'ingénieur
  | numéro    = 2
  | précédent = [[../Introduction et schéma/]]
  | suivant   = [[../Diagramme de bode/]]
  | niveau    = 12
}}

== Filtre RC  ==

=== Étude rudimentaire  ===
Une étude simplifié du filtre permet de vérifier son comportement, pour cela on considère les composants parfaits et le filtre non chargé.

Quand la fréquence du signal d'entrée tend vers 0 (signal continu), le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert. Il n'y a pas de courant qui circule dans la résistance R car le filtre n'est pas chargé. Donc  <math>V_{in} = V_{out}</math>.

À l'inverse, quand la fréquence du signal d'entrée tend vers l'infini, le condensateur se comporte comme un interrupteur fermé (court-circuit). La tension aux bornes d'un court-circuit est nulle, <math>V_{out} = 0</math>.

Nous avons bien un filtre passe-bas. 

=== Fonction de transfert  ===
[[Fichier:Low pass filter.svg|250px|center]]
<div style="text-align: center;"><math>\underline T(j \omega) = \frac {\underline {V_{out}}}{\underline {V_{in}}}= \frac {1} { 1 + jRC \omega}</math></div>


{{BDdebut
  | titre    = Démonstration avec un pont diviseur de tension
  | dérouler = Voir
  | enrouler = Cacher
  | visible  = non
}}
Nous avons un [[Loi_de_Kirchhoff/Pont_diviseur_de_tension|pont diviseur de tension]] :

:<math>\underline {V_{out}} = \underline{V_{in}} \times \frac { Z_C }  { Z_R + Z_C } </math>

Les [[Résistance_et_impédance/Impédance|impédances]] sont <math>Z_R = R</math> et <math>Z_c = \frac {1}{jC \omega }</math>.

:<math>\underline {V_{out}} = \underline{V_{in}} \times \frac { \frac {1}{jC \omega }}  { R + \frac {1} {jC \omega} } </math>

:<math>\underline {V_{out}} = \underline{V_{in}} \times \frac { \frac {1}{jC \omega } \times jC \omega}  { (R + \frac {1} {jC \omega}) \times jC \omega} </math>

:<math>\underline {V_{out}} = \underline{V_{in}} \times \frac {1}  { jRC \omega + 1} </math>

:<math>\frac {\underline {V_{out}}}{\underline {V_{in}}}= \frac {1} { 1 + jRC \omega}</math>
{{BDfin}}

{{BDdebut
  | titre    = Vérification de la fonction de transfert avec les limites
  | dérouler = Voir
  | enrouler = Cacher
  | visible  = non
}}
:<math>T(j \omega) = \frac {1} { 1 + j \frac{\omega}{\omega_0} } </math> avec <math>\omega_0 = \frac 1 {R C}</math>

Si <math>\omega</math> tend vers 0, <math>T(j \omega) = \frac {1} { 1 + j \frac{0}{\omega_0} } = \frac {1} { 1 } = 1</math>

Si <math>\omega</math> tend vers <math>\omega_0</math>, <math>T(j \omega) = \frac {1} { 1 + j \frac{\omega_0}{\omega_0} } = \frac {1} { 1 + j}</math>

Si <math>\omega</math> tend vers l'infini, <math>T(j \omega)</math> tend vers 0.

Le résultat des limites est cohérent.
{{BDfin}}

=== Pulsation et fréquence de coupure  ===

En utilisant la forme réduite de la fonction de transfert pour les [[systèmes du premier ordre]] :
:<math>T(j \omega) = \frac {T_0} { 1 + j \frac{\omega}{\omega_0} } </math>

on trouve par identification :

:<math>T_0 = 1</math> et <math>\omega_0 = \frac 1 {R C}</math>

ainsi, la fréquence de coupure <math>f_0</math> est :

:<math>f_0 = \frac 1 {2 \pi R C}</math> car <math>\omega_0 = 2 \pi f_0</math>

=== Module de la transmitance  ===
<div style="text-align: center;">
<math>T = \frac {1} { \sqrt{ 1 + (\frac{f}{f_0})^2}} </math>
</div>

{{BDdebut
  | titre    = Démonstration
  | dérouler = Voir
  | enrouler = Cacher
  | visible  = non
}}
:<math>T = \left | \frac {T_0} {1+ j \frac{f}{f_0}} \right |</math>

:<math>T =  \frac {1} {\left |1+ j \frac{f}{f_0}\right |} </math>

:<math>T = \frac {1} { \sqrt{ 1^2 + (\frac{f}{f_0})^2}} </math>
{{BDfin}}

=== Gain ===
<div style="text-align: center;"><math>G = 20 \log {\left | \underline T \right |}
                = - 10 \log \left( { 1 + \left (\frac{f}{f_0} \right ) ^2 } \right)
</math></div>


{{BDdebut
  | titre    = Démonstration
  | dérouler = Voir
  | enrouler = Cacher
  | visible  = non
}}
:<math>G = 20 \log T</math>

:<math>G = 20 \log \frac {1} { \sqrt{ 1 + (\frac{f}{f_0})^2}}</math>

:<math> \log \frac 1a = -\log a </math>

:<math>G = -20 \log \sqrt{ 1 + (\frac{f}{f_0})^2} </math>

:<math>G = - 20 \log \left( { 1 + \left (\frac{f}{f_0} \right ) ^2 } \right) ^{1/2} </math>

:<math> \log {a^n} = n \cdot \log a </math>

<math>G = - 10 \log \left( { 1 + \left (\frac{f}{f_0} \right ) ^2 } \right)</math>
{{BDfin}}

=== Impédance d'entrée  ===
{{...}}

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