Voir la source de Complexes et géométrie/Devoir/Étude d'une similitude indirecte

{{Devoir
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 3
  | précédent = [[../Construction du pentagone régulier/]]
  | suivant   = [[../Un problème de géométrie/]]
  | niveau    = 13
}}
{{Clr}}
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct <math>(O;\vec u,\vec v)</math> d'unité graphique {{Unité|2|{{Abréviation|cm|centimètre}}}}.

On note <math>A</math> le point d'affixe <math>a=-2\mathrm i</math>.

À tout point <math>M</math> du plan d'affixe <math>z</math> on associe le point <math>M'</math> d'affixe : 
:<math>z'=-2\bar z+2\mathrm i</math>.

'''1°''' &nbsp;On considère le point <math>B</math> d'affixe <math>b=3-2\mathrm i</math>.
:'''a)''' &nbsp;Déterminer la forme algébrique des affixes <math>a'</math> et <math>b'</math> des points <math>A'</math> et <math>B'</math> associés respectivement aux points <math>A</math> et <math>B</math>.
:'''b)''' &nbsp;Placer les points <math>A</math>, <math>B</math>, <math>A'</math> et <math>B'</math>.

'''2°''' &nbsp;Démontrer que si <math>M</math> appartient à la droite <math>D</math> d'équation <math>y=-2</math>, alors <math>M'</math> appartient aussi à <math>D</math>.

'''3°''' &nbsp;'''a)''' &nbsp;Démontrer que pour tout <math>z</math>, <math>|z'+2\mathrm i|=2|z+2\mathrm i|</math>.
:'''b)''' &nbsp;Interpréter géométriquement cette égalité.

'''4°''' &nbsp;Dans cette question, on considère <math>c=4+2\mathrm i</math>.
:'''a)''' &nbsp;Déterminer un argument de <math>c+2\mathrm i</math> et en donner une interprétation géométrique.
:'''b)''' &nbsp;Déterminer un argument de <math>c'+2\mathrm i</math> et en donner une interprétation géométrique.
:'''c)''' &nbsp;Placer <math>C</math> et <math>C'</math>, les points associés respectivement à <math>c</math> et <math>c'</math>. Tracer les demi-droites <math>[AC)</math> et <math>[AC')</math>.

'''5°''' &nbsp;On se place à nouveau dans le cas général. On note <math>\theta</math> un argument de <math>z+2\mathrm i</math>.
:'''a)''' &nbsp;Démontrer que <math>(z+2\mathrm i)(z'+2\mathrm i)</math> est un réel négatif ou nul.
:'''b)''' &nbsp;En déduire un argument de <math>z'+2\mathrm i</math> en fonction de <math>\theta</math>.
:'''c)''' &nbsp;Que peut-on en déduire pour les demi-droites <math>[AM)</math> et <math>[AM')</math> ?
:'''d)''' &nbsp;Proposer une construction géométrique du point <math>M'</math> associé au point <math>M</math>.

{{Corrigé|contenu=
'''1° &nbsp;a)''' &nbsp;<math>a'=-2\mathrm i</math> et <math>b'=-6-2\mathrm i</math>.
:'''b)''' &nbsp;{{...}}
'''2°''' &nbsp;<math>-2(\overline{x-2\mathrm i})+2\mathrm i=-2x-2\mathrm i</math>.

'''3° &nbsp;a)''' &nbsp;<math>|z'+2\mathrm i|=|-2\bar z+4\mathrm i|=|-2z-4\mathrm i|=2|z+2\mathrm i|</math>.
:'''b)''' &nbsp;L'application <math>M\mapsto M'</math> double la distance au point <math>A</math>.
'''4° &nbsp;a)''' &nbsp;<math>\arg\left(c+2\mathrm i\right)=\arg\left(4+4\mathrm i\right)\equiv\frac\pi4\bmod{2\pi}</math>. La demi-droite <math>[AC)</math> fait un angle de <math>\frac\pi4</math> avec l'axe orienté <math>(O;\vec u)</math>.
:'''b)''' &nbsp;<math>\arg\left(c'+2\mathrm i\right)=\arg\left(-8+8\mathrm i\right)\equiv\frac{3\pi}4\bmod{2\pi}</math>.  La demi-droite <math>[AC')</math> fait un angle de <math>\frac{3\pi}4</math> avec l'axe orienté <math>(O;\vec u)</math>.
:'''c)''' &nbsp;{{...}}
'''5° &nbsp;a)''' &nbsp;<math>(z+2\mathrm i)(z'+2\mathrm i)=-2|z+2\mathrm i|^2</math>
:'''b)''' &nbsp;<math>\theta'\equiv\pi-\theta\pmod{2\pi}</math>.
:'''c)''' &nbsp;Les demi-droites <math>[AM)</math> et <math>[AM')</math> sont symétriques par rapport à <math>D</math>.
:'''d)''' &nbsp;Sur la demi-droite symétrique de <math>[AM)</math> par rapport à <math>D</math>, placer <math>M'</math> à distance <math>2AM</math> de <math>A</math>.
}}

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