Voir la source de Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur les modules et arguments

{{Exercice
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 2
  | chapitre  = [[../../Module et argument/]]
  | précédent = [[../Sur les calculs algébriques/]]
  | suivant   = [[../Réels et imaginaires purs/]]
  | niveau    = 13
}}
Voir éventuellement d'[[Approche géométrique des nombres complexes/Exercices/Sur les modules et arguments|autres exercices plus simples]] sur les modules et les arguments.
__TOC__
{{Clr}}
== Exercice 2-1 ==
Soient <math>z,u\in\Complex</math>, avec <math>u\ne1</math>. Démontrer que <math>\frac{z-u\bar z}{1-u}</math> est réel si et seulement si <math>|u|=1</math> ou <math>z\in\R</math>.
{{Solution|contenu=
<math>\begin{align}\frac{z-u\bar z}{1-u}\in\R&\Leftrightarrow\frac{z-u\bar z}{1-u}=\frac{\bar z-\bar uz}{1-\bar u}\\
&\Leftrightarrow\left(z-u\bar z\right)\left(1-\bar u\right)=\left(\bar z-\bar uz\right)\left(1-u\right)\\
&\Leftrightarrow z-u\bar z-z\bar u+|u|^2\bar z=\bar z-\bar uz-\bar zu+|u|^2z\\
&\Leftrightarrow z+|u|^2\bar z=\bar z+|u|^2z\\
&\Leftrightarrow\left(z-\bar z\right)\left(1-|u|^2\right)=0\\
&\Leftrightarrow z=\bar z\text{ ou }|u|^2=1\\
&\Leftrightarrow z\in\R\text{ ou }|u|=1.
\end{align}</math>
}}


== Exercice 2-2 ==
<math>z</math> et <math>z'</math> désignent des nombres complexes, Montrer que :
:<math>|z+z'|^2+|z-z'|^2=2\left(\left|z\right|^2+\left|z'\right|^2\right)</math>.
{{Solution|contenu=
:<math>\begin{align}|z+z'|^2+|z-z'|^2&=\left(z+z'\right)\left(\bar z+\bar z'\right)+\left(z-z'\right)\left(\bar z-\bar z'\right)\\
&=\left|z\right|^2+z\bar z'+z'\bar z+\left|z'\right|^2+\left|z\right|^2-z\bar z'-z'\bar z+\left|z'\right|^2\\
&=2\left(\left|z\right|^2+\left|z'\right|^2\right).
\end{align}</math>
;Remarque
:La [[Espace préhilbertien réel/Produit scalaire#Propriétés|règle du parallélogramme]] (niveau 15) est la forme géométrique de cette identité.
}}


== Exercice 2-3 ==
Déterminer les nombres complexes non nuls <math>z</math> tels que <math>z</math>, <math>\frac1z</math> et <math>1+z</math> aient même module.
{{Solution|contenu=
Soient <math>x,y\in\R</math> tels que <math>z=x+\mathrm iy</math>.
:<math>\begin{align}\left|z\right|=\frac1{\left|z\right|}=\left|1+z\right|&\Leftrightarrow\left|z\right|^2=1\text{ et }\left|1+z\right|^2=1\\
&\Leftrightarrow x^2+y^2=\left(x+1\right)^2+y^2=1\\
&\Leftrightarrow x^2=\left(x+1\right)^2\text{ et }x^2+y^2=1\\
&\Leftrightarrow x=-1/2\text{ et }y=\pm\sqrt3/2.
\end{align}</math>
}}


== Exercice 2-4 ==
Déterminer les nombres complexes <math>z</math> tels que  <math>z^2</math>, <math>1-z</math> et <math>\bar z</math> aient même module.
{{Solution|contenu=
Soient <math>x,y\in\R</math> tels que <math>z=x+\mathrm iy</math>.
:<math>\begin{align}\left|z\right|^2=\left|\bar z\right|=\left|1-z\right|&\Leftrightarrow\left|z\right|=\left|1-z\right|=1\\
&\Leftrightarrow x^2+y^2=\left(x-1\right)^2+y^2=1\\
&\Leftrightarrow x^2=\left(x-1\right)^2\text{ et }x^2+y^2=1\\
&\Leftrightarrow x=1/2\text{ et }y=\pm\sqrt3/2.
\end{align}</math>
}}


== Exercice 2-5 ==
Soit <math>\alpha\in\left]0,2\pi\right[</math>. Calculer le module et l'argument de :
:<math>z=\frac{1+\cos\alpha+\mathrm i\sin\alpha}{1-\cos\alpha-\mathrm i\sin\alpha}</math>.
{{Solution|contenu=
:<math>\frac{1+\mathrm e^{\mathrm i\alpha}}{1-\mathrm e^{\mathrm i\alpha}}=\frac{\mathrm e^{-\mathrm i\alpha/2}+\mathrm e^{\mathrm i\alpha/2}}{\mathrm e^{-\mathrm i\alpha/2}-\mathrm e^{\mathrm i\alpha/2}}=\frac{2\cos(\alpha/2)}{-2\mathrm i\sin(\alpha/2)}=\mathrm i\cot(\alpha/2)
</math> donc :
*si <math>\alpha\in\left]0,\pi\right[</math>, <math>\left|z\right|=\cot(\alpha/2)</math> et <math>\arg z=\pi/2</math> ;
*si <math>\alpha\in\left]\pi,2\pi\right[</math>, <math>\left|z\right|=-\cot(\alpha/2)</math> et <math>\arg z=-\pi/2</math> ;
*si <math>\alpha=\pi</math>, <math>z=0</math>.
}}


== Exercice 2-6 ==
Calculer le module et l'argument de :

'''a)''' &nbsp;<math>1+\cos\alpha+\mathrm i\sin\alpha</math>

'''b)''' &nbsp;<math>\frac{\mathrm e^{\mathrm i\alpha}+\mathrm e^{\mathrm i\beta}}{1+\mathrm e^{\mathrm i(\alpha+\beta)}}</math>

où <math>\alpha</math> et <math>\beta</math> sont deux réels donnés. On donnera la condition pour que la deuxième expression soit définie.

{{Solution|contenu=
'''a)''' &nbsp;<math>u:=1+\mathrm e^{\mathrm i\alpha}=\left(\mathrm e^{-\mathrm i\alpha/2}+\mathrm e^{\mathrm i\alpha/2}\right)\mathrm e^{\mathrm i\alpha/2}=2\cos(\alpha/2)\mathrm e^{\mathrm i\alpha/2}</math> donc :
*si <math>\alpha\in\left]-\pi,\pi\right[\pmod{4\pi}</math>, <math>\left|u\right|=2\cos(\alpha/2)</math> et <math>\arg u=\alpha/2\pmod{2\pi}</math> ;
*si <math>\alpha\in\left]\pi,3\pi\right[\pmod{4\pi}</math>, <math>\left|u\right|=-2\cos(\alpha/2)</math> et <math>\arg u=\alpha/2+\pi\pmod{2\pi}</math> ;
*si <math>\alpha\equiv\pi\mod{2\pi}</math>, <math>u=0</math>.

'''b)''' &nbsp;<math>v</math> est défini si <math>\alpha+\beta\not\equiv\pi\mod{2\pi}</math>.
D'après la question a),
:<math>v=\frac{\mathrm e^{\mathrm i\alpha}2\cos((\beta-\alpha)/2)\mathrm e^{\mathrm i(\beta-\alpha)/2}}{2\cos((\alpha+\beta)/2)\mathrm e^{\mathrm i(\alpha+\beta)/2}}=\frac{\cos((\beta-\alpha)/2)}{\cos((\alpha+\beta)/2)}</math>.
{{...}}
}}


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