Voir la source de Barycentre/Exercices/Détermination de barycentres de deux points

{{Exercice
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 2
  | précédent = [[../Isobarycentre du tétraèdre/]]
  | suivant   = [[../Barycentre dans un triangle/]]
  | niveau    = 12
}}

== Poids positifs ==
Dans le plan muni d'un repère orthonormé <math>\left(O,\vec i,\vec j\right)</math> orthonormé d'unité {{Unité|1|{{Abréviation|cm|centimètre}}}}, on donne les points
:<math>A\left(2,3\right)</math> et <math>B\left(7,-2\right)</math>.

Soit <math>G</math> le barycentre de <math>\left((A,2),(B,3)\right)</math>.
#Exprimer <math>\overrightarrow{AG}</math> en fonction de <math>\overrightarrow{AB}</math>.
#Construire <math>G</math>.
#Déterminer les coordonnées de <math>G</math> (vérifier sur la figure ''a posteriori'').
{{Solution|contenu=
#<math>\overrightarrow{AG}=\frac{2\overrightarrow{AA}+3\overrightarrow{AB}}{2+3}=\frac35\overrightarrow{AB}</math>.
#{{...}}
#<math>\frac{2\left(2,3\right)+3\left(7,-2\right)}5=\frac{\left(4+21,6-6\right)}5=\left(5,0\right)</math>.
}}

== Barycentre de deux points ==
Dans le plan muni d'un repère orthonormé <math>\left(O,\vec i,\vec j\right)</math> d'unité {{Unité|1|{{Abréviation|cm|centimètre}}}}, on donne les points
:<math>A\left(2,3\right)</math> et <math>B\left(7,-2\right)</math>.
Soit <math>G</math> le barycentre de <math>\left((A,-2),(B,3)\right)</math>.
#Exprimer <math>\overrightarrow{AG}</math> en fonction de <math>\overrightarrow{AB}</math>.
#Construire <math>G</math>.
#Déterminer les coordonnées de <math>G</math> (vérifier sur la figure ''a posteriori'').
#Mêmes questions pour le barycentre <math>G'</math> de <math>\left((A,2),(B,-3)\right)</math>.
{{Solution|contenu=
#<math>\overrightarrow{AG}=\frac{-2\overrightarrow{AA}+3\overrightarrow{AB}}{-2+3}=3\overrightarrow{AB}</math>.
#{{...}}
#<math>-2\left(2,3\right)+3\left(7,-2\right)=\left(-4+21,-6-6\right)=\left(17,-12\right)</math>.
#Lorsqu'on multiplie tous les poids par une même constante non nulle, le barycentre ne change pas, donc <math>G'=G</math>.
}}

== Cas général ==
Dans le plan (muni d'un repère), on donne les points
:<math>A\left(-2,3\right)</math> et <math>B\left(7,-2\right)</math>.
Déterminer les coordonnées du barycentre de <math>\left((A,-2),(B,3)\right)</math>.
{{Solution|contenu=
<math>\frac{-2\left(-2,3\right)+3\left(7,-2\right)}{-2+3}=\left(4+21,-6-6\right)=\left(25,-12\right)</math>.
}}

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  | idfaculté = mathématiques
  | précédent = [[../Isobarycentre du tétraèdre/]]
  | suivant   = [[../Barycentre dans un triangle/]]
}}