Calcul avec les nombres complexes/Formules de base

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Binôme de Newton

Début d’un théorème

Théorème

Soit $(a,b)\in \mathbb {C} ^{2}$, soit $n\in \mathbb {N}$.

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n-k}$

Fin du théorème

Début d'une démonstration

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Fin de la démonstration

Formule de Bernouilli

Début d’un théorème

Théorème

Soit $(a,b)\in \mathbb {C} ^{2}$, soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

$a^{n}-b^{n}=(a-b)\cdot \sum _{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-1-k}$

Fin du théorème

Début d'une démonstration

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Somme géométrique

Début d’un théorème

Théorème

Soit $z\in \mathbb {C}$, soit $(m,n)\in \mathbb {N} ^{2}$ tels que $m\leq n$.

• si $z=1\,$, $\sum _{k=m}^{n}z^{k}=n-m+1$
• si $z\not =1\,$, $\sum _{k=m}^{n}z^{k}={\frac {z^{n+1}-z^{m}}{z-1}}$

Fin du théorème

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