Probabilités sur les ensembles finis/Calcul des probabilités

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Approche fréquentielle

• Si on répète une expérience aléatoire un grand nombre de fois,

et si la fréquence d'un événement tend vers une limite,

on la définit intuitivement comme probabilité de l'événement.

• Par exemple, pour 6000 lancers de dé équilibré, on obtiendra certainement environ 1000 fois le résultat 1.

La probabilité de l'événement élémentaire {1} sera donc :

${\frac {1000}{6000}}={\frac {1}{6}}$.

Probabilités sur un ensemble fini

Définition

On probabilise un univers fini $\Omega \,$ en attribuant à chaque éventualité

un nombre positif de telle manière que :

• Ce nombre soit compris entre 0 et 1 (comme une fréquence).
• La somme de ces nombres soit 1 (comme la somme des fréquences).

Exemples

• Dans un lancer de dé équilibré, tous les numéros ont la même probabilité d'apparaître,

les probabilités $p_{i}$ sont alors toutes égales à ${\frac {1}{6}}$.

• Mais dans un lancer de dé pipé (déséquilibré),

les probabilités $p_{i}$ d'apparition des numéros sont différentes,

et ne valent pas toutes ${\frac {1}{6}}$.

Probabilité d'un événement non élémentaire

Définition

La probabilité d'un événement A est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent.

$p(A)=\sum _{\omega _{i}\in A}p_{i}$

Exemple

Lors du lancer d'un dé équilibré à six faces,

calculer la probabilité d'obtenir un résultat inférieur ou égal à 2.

Solution

Appelons A un tel évènement.

$p(A)=p(1)+p(2)={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {2}{6}}={\frac {1}{3}}$

 

Probabilités des événements particuliers

• La probabilité de l'univers est 1 :

$p(\Omega )=1\,$

• La probabilité de l'événement impossible est 0 :

$p(\emptyset )=0$

Probabilité de l'événement contraire

Propriété

$p({\overline {A}})=1-p(A)$

Exemple

Dans un lancer de dé équilibré, on appelle A l'événement "Obtenir un 6".

Alors ${\overline {A}}$ est l'événement : "Obtenir un résultat autre que 6". Sa probabilité est donc :

$p({\overline {A}})=1-p(A)=1-{\frac {1}{6}}={\frac {5}{6}}$

Probabilité de l'union de deux événements incompatibles

Propriété

• Si A et B sont deux événements incompatibles (d'intersection vide), $p(A\cup B)=p(A)+p(B)$

Exemple

Dans un lancer de dé équilibré,

si on note A l'événement "Obtenir 6"

et B l'événement "Obtenir un résultat inférieur ou égal à 2".

Il est évident que A et B sont incompatibles, puisqu'ils ne peuvent pas être réalisés en même temps.

On a d'après la formule :

$p(A\cup B)=p(A)+p(B)={\frac {1}{6}}+{\frac {2}{6}}={\frac {1+2}{6}}={\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}$

Probabilité de l'union

Propriété

Dans ce cas, les événements appartenant à l'intersection ont été comptés deux fois, d'où la formule :

$p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$

Exemple

Dans un lancer de dé équilibré,

si on note A l'événement "Obtenir un multiple de 3"

et B l'événement "Obtenir un résultat strictement supérieur à 3".

On a

$p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)={\frac {2}{6}}+{\frac {3}{6}}-{\frac {1}{6}}={\frac {4}{6}}={\frac {2}{3}}$

On constate que la formule tient compte du fait que A est déjà compté dans B

et permet de ne pas le compter deux fois.

Situation d'équiprobabilité

Définition

Il y a équiprobabilité dans une expérience aléatoire

quand tous les événements élémentaires ont la même probabilité (équiprobables).

Exemple

Le lancer de dé équilibré montre une situation d'équiprobabilité,

alors que le lancer de dé pipé montre au contraire une situation

où tous les numéros n'ont pas la même probabilité d'apparition.

Formule

Début d’un théorème

Théorème

Dans une situation d'équiprobabilité,

Soit A un événement composé de n événement élémentaires,

Soit N le nombre de résultats possibles (univers),

Alors :

$p(A)={\frac {n}{N}}$

Fin du théorème

La situation d'équiprobabilité est la seule qui permettent de déterminer les probabilités des événements élémentaires à partir de rien.

Elle a une grande importance dans la pratique et on essaie toujours de s'y ramener.

Exemple

Dans le cas d'un lancer de dé à six faces équilibrés,

calculer la probabilité d'obtenir un résultat pair.

Solution

Ici, l'univers Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}. Le nombre de résultats possibles, $N$, vaut donc 6.

A = {2 ; 4 ; 6}. Le nombre d'évènements élémentaires de A, $n$, vaut donc 3.

Donc, d'après la formule $p(A)={\frac {n}{N}}$ :

$p(A)={\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}$

 

Exercice

• Considérons l'expérience aléatoire consistant à lancer deux dés équilibrés,

dont le résultat est la somme des deux numéros sortis.

• On peut obtenir les nombres : 2, 3, 4, 5, ...,12,

mais il est évident qu'il y a plus de chances d'obtenir 6 que 12.

• Comment alors calculer les probabilités exactes de chaque résultat ?

Il faut se ramener à une situation d'équiprobabilité

en considérant comme événement élémentaire les couples de numéros (a,b)

où a est le résultat du premier dé et b celui du second.

• Ces événements élémentaires sont alors équiprobables et ils sont au nombre de 36

(6 résultats possibles pour a et 6 pour b).

• On peut ensuite calculer :

$p(12)=p((6,6))={\frac {1}{36}}$

$p(6)=p((1,5))+p((2,4))+p((3,3))+p((4,2))+p((5,1))={\frac {5}{36}}$