Mathématiques en MP/Exercices/Feuille d'exercices 1

Exercices non directifs (une unique question)

Exercice 1 :

Soit $\left.E\right.$ un sous-ensemble de $\mathbb {R}$ de cardinal 13. Montrer :

$\exists (x,y)\in E^{2},0<{\frac {x-y}{1+xy}}\leq 2-{\sqrt {3}}$

Exercice 2 :

Soient $A,B\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )$ telles que $\left.AB=BA\right.$. Montrer que ${\text{det}}(A^{2}+B^{2})\geq 0$.

Exercice 3 :

Soit $A\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {C} )$. Montrer que $\exp(A)\in \mathbb {C} [A]$.

Exercice 4 :

Soit $n\in \mathbb {N}$. Résoudre dans ${\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {R} )$ l'équation

$M^{n}=\left({\begin{array}{cc}2&3\\4&6\\\end{array}}\right)$

Exercice 5 :

Soit $A\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )$ telle que $\left.A^{q}=I_{n}\right.$ avec $q\in \mathbb {N} ^{*}$. Montrer :

$\dim {\text{Ker}}(A-I_{n})={\frac {1}{q}}\sum _{k=1}^{q}{{\text{Tr}}A^{k}}$

Exercice 6 :

Soit $A\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )$ antisymétrique. Que dire de $\exp \left(A\right)$ ?

Exercice 7 :

Donner une base de ${\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )$ constituée de projecteurs.

Exercice 8 :

Soit $\left.E\right.$ un $\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension finie. Déterminer les endomorphismes de $\left.E\right.$ qui sont représentés par la même matrice dans toutes les bases de $\left.E\right.$.

Exercice 9 :

Montrer qu'une matrice de rang 1 est nilpotente ou diagonalisable.

Exercice 10 :

Donner un couple $\left(E,u\right)$ où $\left.E\right.$ est un $\mathbb {C}$-espace vectoriel et $u\in {\mathcal {L}}(E)$ n'admettant pas de polynôme annulateur non nul.

Exercice 11 :

Soit $N\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )$ nilpotente qui commute avec sa transposée. Montrer que $\left.N=0\right.$.

Exercice 12 :

Soient $A\in {\mathcal {S}}_{n}^{++}(\mathbb {R} ),B\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )$. Montrer que $\left.AB\right.$ est diagonalisable.

Exercice 13 :

Calculer $\int _{0}^{+\infty }{e^{-t}\ln t\,\mathrm {d} t}$.

Exercice 14 :

Soit $\left.E\right.$ un $\mathbb {C}$-espace normé et $u:E\rightarrow \mathbb {C}$ une forme linéaire. Montrer que

$\left.u\right.$ est continue $\Leftrightarrow$ Ker $\left.u\right.$ est fermé dans $\left.E\right.$

Exercice 15 :

Quelle est la nature de la série de terme général $\sin \left(\pi \left(3+{\sqrt {5}}\right)^{n}\right)$ ?

Exercice 16 :

Convergence et somme de la série de terme général ${\text{Arctan}}\left({\frac {1}{n^{2}+n+1}}\right)$

Exercice 17 :

Soit $f:[0,1]\rightarrow [0,1]$ croissante. Montrer que $\left.f\right.$ admet un point fixe.

Exercice 18 :

Donner une primitive de $x\mapsto {\frac {1}{2+\sin x}}$.

Exercice 19 :

Nature de la série de terme général $u_{n}=\int _{0}^{+\infty }{e^{-t}\sin ^{2n}(t)\,\mathrm {d} t}$.

Exercice 20 :

Déterminer $\lim _{n\rightarrow +\infty }{\int _{0}^{+\infty }{{\frac {ne^{-x}}{1+(nx)^{2}}}\,\mathrm {d} x}}$.

Exercice 21 :

Définition, limite et équivalent de $I_{n}=\int _{0}^{+\infty }{{\frac {e^{-nt^{2}}}{1+t^{2}}}\,\mathrm {d} t}$.

Exercice 22 :

Soit $f(x)=\int _{0}^{\pi }{\ln \left(x^{2}-2x\cos \theta +1\right)\,\mathrm {d} \theta }$. Etudier la définition de $\left.f\right.$ sur $\mathbb {R}$ puis calculer $\left.f(x)\right.$.

Exercice 23 :

Justifier, pour $x\in \mathbb {R}$, l'existence de $\int _{0}^{+\infty }{{\frac {e^{-t}\sin(tx)}{t}}\,\mathrm {d} t}$ puis la calculer.

Exercice 24 :

Montrer qu'il existe $(a_{n})_{n\geq 0}\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ telle que :

$\forall t\in \mathbb {R} ,|\sin t|=\sum _{n=0}^{+\infty }{a_{n}\sin ^{2}(nt)}$

Exercice 25 :

Résoudre l'équation différentielle $\left.y''+y={\text{cotan}}\,x\right.$ sur $\left.]0,\pi [\right.$.

Exercice 26 :

Résoudre $\left.y^{(4)}-y=0\right.$ avec les conditions initiales $\left.y(0)=1,y'(0)=y''(0)=y'''(0)=0\right.$.

Exercice 27 :

Soit $\left.(E)\,:\,x''+q(t)x=0\right.$ avec $q:\mathbb {R} _{+}\rightarrow \mathbb {R}$ continue et intégrable. Montrer que $\left(E\right)$ possède des solutions non bornées sur $\mathbb {R} _{+}$.

Exercice 28 :

Soit $f\in {\mathcal {C}}^{1}\left(\mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} \right)$ telle que ${\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}=0$. Etablir l'existence de $\varphi \in {\mathcal {C}}^{1}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ telle que $\forall (x,y)\in \mathbb {R} ^{2},f(x,y)=\varphi (y-x)$.

Exercice 29 :

Soit $\left.{\mathcal {E}}\right.$ une ellipse de centre $\left.O\right.$. Calculer la distance maximale de $\left.O\right.$ aux normales à $\left.{\mathcal {E}}\right.$.

Exercice 30 :

Soient $A,B\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {Z} )$. On suppose que $\det(A)\wedge \det(B)=1$. Montrer qu'il existe $(U,V)\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {Z} )^{2}$ tel que $\left.AU+BV=I_{n}\right.$.

Exercice 31 :

Déterminer le chiffre des unités de $7^{7^{7}}$.

Exercice 32 :

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$ et $\left.A\right.$ l'ensemble des polynômes unitaires de degré $\left.n\right.$ à coefficients dans $\mathbb {Z}$ et dont les racines complexes sont de module 1. Montrer que $\left.A\right.$ est fini.

Exercice 33 :

Déterminer les polynômes $P\in \mathbb {C} [X]$ tels que $\left.XP(X+1)=(X+4)P(X)\right.$.

Exercice 34 :

Soient $A\in {\mathcal {M}}_{3,2}(\mathbb {R} )$ et $B\in {\mathcal {M}}_{2,3}(\mathbb {R} )$ telles que $AB=\left({\begin{array}{ccc}0&-1&-1\\-1&0&-1\\1&1&2\\\end{array}}\right)$. Montrer que $\left.BA=I_{2}\right.$.

Voir aussi

• Correction : Exercices de mathématiques