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'''Exercices non directifs (une unique question)'''
Exercice 1 :


Considérons l'image de <math>\left.E\right.</math> par la fonction <math>\left.\text{Arctan}\right.</math>.


Exercice 1 :
<math>\text{Arctan}(E) \subset \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[</math> donc, d'après le principe des tiroirs, on peut choisir <math>\left. x,y \in E\right.</math> tels que <math>0 \leq \text{Arctan}(x) - \text{Arctan}(y) \leq \frac{\pi}{12}</math>.

Par croissance de la fonction <math>\left.\text{tan}\right.</math> sur <math>\left[0,\frac{\pi}{12}\right]</math>, on a <math>0 \leq \text{tan}\left(\text{Arctan}(x) - \text{Arctan}(y)\right) \leq \text{tan}\left(\frac{\pi}{12}\right) = 2 - \sqrt{3}</math>.


Soit <math>\left.E\right.</math> un sous-ensemble de <math>\mathbb{R}</math> de cardinal 13. Montrer :
Or <math>\text{tan}\left(\text{Arctan}(x) - \text{Arctan}(y)\right) = \frac{\text{tan}\left(\text{Arctan}(x)\right) - \text{tan}\left(\text{Arctan}(y)\right)}{1 + \text{tan}\left(\text{Arctan}(x)\right)\text{tan}\left(\text{Arctan}(y)\right)} = \frac{x-y}{1+xy}</math>. <math>\square</math>
<center><math> \exists (x,y) \in E^2, 0 < \frac{x-y}{1+xy} \leq 2 - \sqrt{3} </math></center>


Exercice 2 :
Exercice 2 :


Puisque <math>\left.A\right.</math> et <math>\left.B\right.</math> commutent, on a <math>\left.A^2+B^2 = (A+iB)(A-iB)\right.</math>, et donc :
Soient <math>A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})</math> telles que <math>\left.AB=BA\right.</math>. Montrer que <math>\text{det}(A^2+B^2) \geq 0</math>.
<center><math>\det\left(A^2+B^2\right) = \det(A+iB) \, \det(A-iB) = \det(A+iB) \, \overline{\det(A+iB)} = \left| \det(A+iB) \right|^2 \geq 0</math></center>.


Exercice 3 :
Exercice 3 :


Rappelons que <math>\exp(A) = \sum_{k=0}^{+\infty}{\frac{A^k}{k!}}</math>.
Soit <math>A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})</math>. Montrer que <math>\exp(A) \in \mathbb{C}[A]</math>.


Exercice 4 :
Soit <math>P_m = \sum_{k=0}^{m}{\frac{X^k}{k!}}</math>. <math>\left(P_m(A)\right)</math> converge vers <math>\left.\exp(A)\right.</math>.


Pour tout <math>m \in \mathbb{N}</math>, la division euclidienne de <math>\left.P_m\right.</math> par <math>\left.\chi_A\right.</math> donne <center><math>\left.P_m = Q_m \chi_A + R_m \text{ avec } R_m \in \mathbb{C}_{n-1}[X]\right.</math></center>.
Soit <math>n \in \mathbb{N}</math>. Résoudre dans <math>\mathcal{M}_2(\mathbb{R})</math> l'équation
<center><math>M^n = \left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 4 & 6 \\ \end{array} \right)</math></center>


Exercice 5 :
donc <center><math>P_m\left(A\right) = R_m(A) \in \mathbb{C}_{n-1}[A] \text{ car } \chi(A) = 0 \text{ (Cayley-Hamilton)}</math></center>


Or <math>\mathbb{C}_{n-1}[A]</math> est fermé dans <math>\mathcal{M}_n(\mathbb{C})</math> donc <math>\exp(A) = \lim_{m \rightarrow +\infty}{P_m(A)} \in \mathbb{C}_{n-1}[A] \subset \mathbb{C}[A] </math>
Soit <math>A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})</math> telle que <math>\left.A^q = I_n\right.</math> avec <math>q \in \mathbb{N}^*</math>. Montrer :
<center><math>\dim \text{Ker} (A - I_n) = \frac{1}{q} \sum_{k=1}^q{\text{Tr} A^k}</math></center>


Exercice 4 :
Exercice 6 :


Notons <math>A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 4 & 6 \\ \end{array} \right)</math>.
Soit <math>A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})</math> antisymétrique. Que dire de <math>\exp\left(A\right)</math> ?


Exercice 7 :
Si <math>\left.M\right.</math> est solution de l'équation, alors <math>\left.M\right.</math> commute avec <math>\left.A\right.</math> ce qui siginifie, en considérant les endomorphismes associés <math>\left.a\right.</math> et <math>\left.m\right.</math>, que <math>\left.m\right.</math> stabilise les espaces propres de <math>\left.a\right.</math>, i.e. que <math>\left.a\right.</math> et <math>\left.m\right.</math> sont diagonalisables dans une même base.


Donner une base de <math>\mathcal{M}_n(\mathbb{R})</math> constituée de projecteurs.
Un simple calcul montre que <math>A = P \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 8 \\ \end{array} \right) P^{-1} \text{ avec } P = \left(\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -2 & 2 \\ \end{array}\right)</math>.


Exercice 8 :
D'après l'argument ci-dessus, on a également <math>\left.M = P N P^{-1}\right. \text{ avec N diagonale}</math>. l'équation devient alors <math>P N^n P^{-1} = P \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 8 \\ \end{array} \right) P^{-1}</math>, i.e. <math>N^n = \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 8 \\ \end{array} \right)</math>.


Si <math>\left.n\right.</math> est pair, il y a deux solutions : <math>M = P \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 8^{\frac{1}{n}} \\ \end{array} \right) P^{-1}</math> et <math>M = P \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & -8^{\frac{1}{n}} \\ \end{array} \right) P^{-1}</math>.
Soit <math>\left.E\right.</math> un <math>\mathbb{R}</math>-espace vectoriel de dimension finie. Déterminer les endomorphismes de <math>\left.E\right.</math> qui sont représentés par la même matrice dans toutes les bases de <math>\left.E\right.</math>.


Exercice 9 :
Si <math>\left.n\right.</math> est impair, l'unique solution est <math>M = P \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 8^{\frac{1}{n}} \\ \end{array} \right) P^{-1}</math>


Montrer qu'une matrice de rang 1 est nilpotente ou diagonalisable.
Exercice 5 :


Exercice 10 :
<math>A^q - I_n = \left(A - I_n\right) \left(\sum_{k=0}^{q-1}{A^k}\right)</math>


Donner un couple <math>\left(E,u\right)</math> où <math>\left.E\right.</math> est un <math>\mathbb{C}</math>-espace vectoriel et <math>u \in \mathcal{L}(E)</math> n'admettant pas de polynôme annulateur non nul.
D'après le lemme des noyaux, <math>\mathbb{R}^n = \text{Ker}\left(A - I_n\right) \oplus \text{Ker}\left(\sum_{k=0}^{q-1}{A^k}\right) </math>


Exercice 11 :
On déduit de cette égalité et du théorème du rang : <math>\dim \text{Ker}\left(A - I_n\right) = \text{rg}\left(\sum_{k=0}^{q-1}{A^k}\right)</math>


Or, comme <math>\left(A^k\right)_{k \in \mathbb{N}}</math> est <math>\left.q\right.</math>-périodique, <math>\sum_{k=0}^{q-1}{A^k} = \sum_{k=1}^{q}{A^k}</math>.
Soit <math>N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})</math> nilpotente qui commute avec sa transposée. Montrer que <math>\left.N=0\right.</math>.


Exercice 12 :
On termine en vérifiant que <math>\frac{1}{q}\sum_{k=1}^q{A^k}</math> est un projecteur. En effet :
<center><math>\left(\frac{1}{q}\sum_{k=1}^{q}{A^k}\right)^2 = \frac{1}{q^2}\sum_{i=1}^q{\sum_{j=1}^q{A^{i+j}}} = \frac{1}{q^2}\sum_{i=1}^q{\sum_{j=1}^q{A^j}} = \frac{1}{q}\sum_{k=1}^q{A^k}</math></center>


Soient <math>A \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R}), B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})</math>. Montrer que <math>\left.AB\right.</math> est diagonalisable.
Alors <math>\text{rg}\left(\sum_{k=1}^q{A^k}\right) = \text{rg}\left(\frac{1}{q}\sum_{k=1}^q{A^k}\right) = \text{Tr} \left(\frac{1}{q}\sum_{k=1}^q{A^k}\right) = \frac{1}{q}\sum_{k=1}^q{\text{Tr} A^k}</math>


Exercice 6 :
Exercice 13 :


Calculer <math>\int_0^{+\infty}{e^{-t} \ln t \, \mathrm{d}t}</math>.
<math>\exp\left(A\right)</math> est une rotation.


Exercice 14 :
En effet :
* <math>\exp\left(A\right) \left(\exp\left(A\right)\right)^t = I_n</math> car <center><math> \exp\left(A\right) \left(\exp\left(A\right)\right)^t = \exp\left(A\right) \exp\left(A^t\right) = \exp\left(A\right) \exp\left(-A\right) = \underbrace{\exp(A-A)}_{\text{A et -A commutent}} = \exp(0) = I_n </math></center>
* <math>\det \left(\exp A\right) = \exp\left(\text{Tr} A\right) = \exp(0) = 1</math>


La formule <math>\det \left(\exp A\right) = \exp\left(\text{Tr} A\right) </math> se démontre en trigonalisant <math>\left.A\right.</math> en tant que matrice complexe.
Soit <math>\left.E\right.</math> un <math>\mathbb{C}</math>-espace normé et <math>u : E \rightarrow \mathbb{C}</math> une forme linéaire. Montrer que
<center> <math>\left.u\right.</math> est continue <math>\Leftrightarrow</math> Ker <math>\left.u\right.</math> est fermé dans <math>\left.E\right.</math></center>


Exercice 10 :
Exercice 15 :


Quelle est la nature de la série de terme général <math>\sin\left(\pi\left(3+\sqrt{5}\right)^n\right)</math> ?
<math>\left.E\right.</math> ne peut être de dimension finie (d'après le théorème de Cayley-Hamilton). Réponse possible :


Exercice 16 :
* <math>E = \mathcal{C}^{\infty}\left(\mathbb{R},\mathbb{C}\right)</math>
* <math> \left. u : f \in E \mapsto f' \in E \right. </math>.


Convergence et somme de la série de terme général <math>\text{Arctan}\left(\frac{1}{n^2+n+1}\right)</math>
En effet, <math>u \in \mathcal{L}\left(\mathcal{C}^{\infty}\left(\mathbb{R},\mathbb{C}\right)\right)</math> et si <math>\left.u\right.</math> admet un polynôme annulateur non nul, alors <math>\mathcal{C}^{\infty}\left(\mathbb{R},\mathbb{C}\right) = \text{Ker} P(u)</math>. Or, si <math>\left.n = \text{deg} \, P > 0\right.</math>, alors <math>\left.\text{Ker} P(u)\right.</math> est de dimension <math>\left.n\right. < \infty</math>. On aboutit à la contradiction que <math>\mathcal{C}^{\infty}\left(\mathbb{R},\mathbb{C}\right)</math> est un espace vectoriel de dimension finie.


Exercice 11 :
Exercice 17 :


Soit <math>p \in \mathbb{N}</math> l'indice de nilpotence de <math>\left.N\right.</math>.
Soit <math>f : [0,1] \rightarrow [0,1] </math> croissante. Montrer que <math>\left.f\right.</math> admet un point fixe.


Exercice 18 :
<math>\left(N N^t\right)^p = N^p \left(N^t\right)^p = 0</math>


Donner une primitive de <math>x \mapsto \frac{1}{2 + \sin x}</math>.
Or <math>\left.N N^t\right.</math> est diagonalisable car symétrique réelle. Soit <math>\lambda \in \mathbb{R}</math> une valeur propre de <math>\left.N N^t\right.</math>, <math>X \in \mathcal{M}_{n,1}\left(\mathbb{R}\right) \setminus \{0\}</math> un vecteur propre associé.


Exercice 19 :
Alors, <math>\left(N N^t\right)^p X = \lambda^p X = 0 </math> donc <math>\left.\lambda^p = 0\right.</math> et <math>\left.\lambda = 0\right.</math>. On a donc <math>\left.N N^t = 0\right.</math>.


Nature de la série de terme général <math>u_n = \int_0^{+\infty}{e^{-t}\sin^{2n}(t) \, \mathrm{d}t}</math>.
Alors <math>\text{Tr}\left(N N^t\right) = \sum_{i=1}^n{\sum_{j=1}^n{a_{i,j}^2}} = 0</math> d'où <math>\left. \forall (i,j), a_{i,j} = 0 \text{ et } N = 0 \right.</math>.


Exercice 13 :
Exercice 20 :


D'après le théorème de convergence dominée, <math>\int_0^{+\infty}{e^{-t} \ln t \, \mathrm{d}t} = \lim_{n \rightarrow +\infty}{\int_0^n{\left(1-\frac{t}{n}\right)^n \ln t \, \mathrm{d}t}}</math> (c'est du cours ça !!!!!!)
Déterminer <math>\lim_{n \rightarrow +\infty}{\int_0^{+\infty}{\frac{n e^{-x}}{1 + (nx)^2} \, \mathrm{d}x}}</math>.


Exercice 21 :
Soit <math>n \in \mathbb{N}^*</math>.


Définition, limite et équivalent de <math>I_n = \int_0^{+\infty}{\frac{e^{-n t^2}}{1+t^2} \, \mathrm{d}t}</math>.
<math>\displaystyle \begin{array}[t]{rcl} \int_0^n{\left(1-\frac{t}{n}\right)^n \ln t \, \mathrm{d}t} & = & n \int_0^1{\left(1-u\right)^n \ln \left(n u \right) \, \mathrm{d}u} \\ & = & n \ln n \int_0^1{\left(1-u\right)^n \, \mathrm{d}u} \, + \, n \int_0^1{\left(1-u\right)^n \ln u \, \mathrm{d}u} \\ & = & \frac{n}{n+1} \ln n \, + \, n \int_0^1{\left(1-u\right)^n \ln u \, \mathrm{d}u} \\ & = & \frac{n}{n+1} \ln n \, + \, n \int_0^1{x^n \ln \left(1-x\right) \, \mathrm{d}x} \\ & = & \frac{n}{n+1} \ln n \, - \, n \int_0^1{x^n \sum_{k=1}^{+\infty}{\frac{x^k}{k}} \, \mathrm{d}x} \\ & = & \frac{n}{n+1} \ln n \, - \, n \sum_{k=1}^{+\infty}{\int_0^1{\frac{x^{n+k}}{k} \, \mathrm{d}x}} \text{ (sommation L1)} \\ & = & \frac{n}{n+1} \ln n \, - \, \sum_{k=1}^{+\infty}{\frac{n}{(n+k+1)k}} \\ & = & \frac{n}{n+1} \ln n \, - \, \frac{n}{n+1}\sum_{k=1}^{+\infty}{\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{n+k+1}\right)} \text{ (DES)}\\ & = & \frac{n}{n+1} \ln n \, - \, \frac{n}{n+1} \left( 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n+1} \right) \\ & = & \frac{n}{n+1} \ln n \, - \, \frac{n}{n+1} \left( \ln n + \gamma + o(1) \right) \\ & = & {}- \gamma + o(1) \end{array} </math>


Exercice 22 :
On en déduit que <math>\int_0^{+\infty}{e^{-t} \ln t \, \mathrm{d}t} = {}- \gamma</math>


Soit <math>f(x) = \int_0^\pi{\ln \left(x^2-2x \cos \theta + 1 \right) \, \mathrm{d}\theta}</math>. Etudier la définition de <math>\left.f\right.</math> sur <math>\mathbb{R}</math> puis calculer <math>\left.f(x)\right.</math>.
Exercice 15 :

Exercice 23 :

Justifier, pour <math>x \in \mathbb{R}</math>, l'existence de <math>\int_0^{+\infty}{\frac{e^{-t} \sin(tx)}{t} \, \mathrm{d}t}</math> puis la calculer.

Exercice 24 :

Montrer qu'il existe <math>(a_n)_{n \geq 0} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}</math> telle que :
<center><math>\forall t \in \mathbb{R}, | \sin t | = \sum_{n=0}^{+\infty}{a_n \sin^2(nt)}</math></center>

Exercice 25 :

Résoudre l'équation différentielle <math>\left. y'' + y = \text{cotan} \, x \right.</math> sur <math>\left.]0,\pi[\right.</math>.

Exercice 26 :

Résoudre <math>\left. y^{(4)} - y = 0 \right.</math> avec les conditions initiales <math>\left.y(0)=1,y'(0)=y''(0)=y'''(0)=0\right.</math>.

Exercice 27 :

Soit <math>\left.(E) \, : \, x'' + q(t) x = 0\right.</math> avec <math>q : \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}</math> continue et intégrable. Montrer que <math>\left(E\right)</math> possède des solutions non bornées sur <math>\mathbb{R}_+</math>.

Exercice 28 :

Soit <math>f \in \mathcal{C}^1\left(\mathbb{R}^2,\mathbb{R}\right)</math> telle que <math>\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} = 0</math>. Etablir l'existence de <math>\varphi \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> telle que <math>\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, f(x,y) = \varphi(y-x)</math>.

Exercice 29 :

Soit <math>\left.\mathcal{E}\right.</math> une ellipse de centre <math>\left.O\right.</math>. Calculer la distance maximale de <math>\left.O\right.</math> aux normales à <math>\left.\mathcal{E}\right.</math>.

Exercice 30 :

Soient <math>A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})</math>. On suppose que <math>\det(A) \wedge \det(B) = 1</math>. Montrer qu'il existe <math>(U,V) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})^2</math> tel que <math>\left.AU + BV = I_n\right.</math>.

Exercice 31 :


Déterminer le chiffre des unités de <math>7^{7^7}</math>.
<math>\left.\alpha = 3 + \sqrt{5}\right.</math> ainsi que <math>\left.\overline{\alpha} = 3 - \sqrt{5}\right.</math>
sont racines du polynôme <math>\left.X^2-6X+4\right.</math>.


Exercice 32 :
Pour tout <math>n \in \mathbb{N}, \alpha^n + \overline{\alpha}^n \in \mathbb{N}</math>. En effet,


Soit <math>n \in \mathbb{N}^*</math> et <math>\left.A\right.</math> l'ensemble des polynômes unitaires de degré <math>\left.n\right.</math> à coefficients dans <math>\mathbb{Z}</math> et dont les racines complexes sont de module 1. Montrer que <math>\left.A\right.</math> est fini.
<center><math>\forall n \in \mathbb{N}, \alpha^n + \overline{\alpha}^n = \sum_{k=0}^n{\text{C}_n^k 3^{n-k} \sqrt{5}^k} +
\sum_{k=0}^n{\text{C}_n^k 3^{n-k} (-\sqrt{5})^k} = 2 \sum_{p=0}^{\text{E}\left(\frac{n}{2}\right)}{\text{C}_n^{2p} 3^{n-2p} 5^p} \in \mathbb{N}</math></center>.


Exercice 33 :
Or <math>\left| \overline{\alpha} \right| < 1</math> donc <math>\lim_{n \rightarrow +\infty}{\overline{\alpha}^n}=0</math>.


Déterminer les polynômes <math>P \in \mathbb{C}[X]</math> tels que <math>\left.X P(X+1) = (X+4) P(X)\right.</math>.
Ainsi, en notant <math>u_n = \alpha^n + \overline{\alpha}^n \in \mathbb{N}</math> pour tout <math>n \in \mathbb{N}</math>, on obtient <math>\left|\sin\left(\pi\alpha^n\right)\right| = \left|\sin\left(\pi\left(u_n - \overline{\alpha}^n\right)\right)\right| = \pi \overline{\alpha}^n + o\left(\overline{\alpha}^n\right)</math>.


Exercice 34 :
Par conséquent, la série est absolument convergente.


Soient <math>A \in \mathcal{M}_{3,2}(\mathbb{R})</math> et <math>B \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})</math> telles que <math>AB = \left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{array}\right)</math>.
Montrer que <math>\left.BA=I_2\right.</math>.


== Voir aussi ==


* [[Correction : Exercices de mathématiques]]
--[[Special:Contributions/90.7.51.68|90.7.51.68]] 25 août 2008 à 14:47 (UTC)<math>\mathfrak{Volkeskind}</math>

Version du 26 août 2008 à 11:52

Exercices non directifs (une unique question)


Exercice 1 :

Soit un sous-ensemble de de cardinal 13. Montrer :

Exercice 2 :

Soient telles que . Montrer que .

Exercice 3 :

Soit . Montrer que .

Exercice 4 :

Soit . Résoudre dans l'équation

Exercice 5 :

Soit telle que avec . Montrer :

Exercice 6 :

Soit antisymétrique. Que dire de  ?

Exercice 7 :

Donner une base de constituée de projecteurs.

Exercice 8 :

Soit un -espace vectoriel de dimension finie. Déterminer les endomorphismes de qui sont représentés par la même matrice dans toutes les bases de .

Exercice 9 :

Montrer qu'une matrice de rang 1 est nilpotente ou diagonalisable.

Exercice 10 :

Donner un couple est un -espace vectoriel et n'admettant pas de polynôme annulateur non nul.

Exercice 11 :

Soit nilpotente qui commute avec sa transposée. Montrer que .

Exercice 12 :

Soient . Montrer que est diagonalisable.

Exercice 13 :

Calculer .

Exercice 14 :

Soit un -espace normé et une forme linéaire. Montrer que

est continue Ker est fermé dans

Exercice 15 :

Quelle est la nature de la série de terme général  ?

Exercice 16 :

Convergence et somme de la série de terme général

Exercice 17 :

Soit croissante. Montrer que admet un point fixe.

Exercice 18 :

Donner une primitive de .

Exercice 19 :

Nature de la série de terme général .

Exercice 20 :

Déterminer .

Exercice 21 :

Définition, limite et équivalent de .

Exercice 22 :

Soit . Etudier la définition de sur puis calculer .

Exercice 23 :

Justifier, pour , l'existence de puis la calculer.

Exercice 24 :

Montrer qu'il existe telle que :

Exercice 25 :

Résoudre l'équation différentielle sur .

Exercice 26 :

Résoudre avec les conditions initiales .

Exercice 27 :

Soit avec continue et intégrable. Montrer que possède des solutions non bornées sur .

Exercice 28 :

Soit telle que . Etablir l'existence de telle que .

Exercice 29 :

Soit une ellipse de centre . Calculer la distance maximale de aux normales à .

Exercice 30 :

Soient . On suppose que . Montrer qu'il existe tel que .

Exercice 31 :

Déterminer le chiffre des unités de .

Exercice 32 :

Soit et l'ensemble des polynômes unitaires de degré à coefficients dans et dont les racines complexes sont de module 1. Montrer que est fini.

Exercice 33 :

Déterminer les polynômes tels que .

Exercice 34 :

Soient et telles que . Montrer que .

Voir aussi