En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Devoir : Complexes, suites et similitudes Similitude/Devoir/Complexes, suites et similitudes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On se place dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal.
— Ⅰ —
1° On prend d'affixes .
On fixe deux réels : et et pour tout , on définit le point à partir des points et par :
et .
On obtient ainsi une suite de points .
Pour tout , on note l'affixe du vecteur et l'affixe du point .
Calculez .
2° a) Montrez que pour tout , .
b) Déduisez-en, pour tout , l'expression de en fonction de , et .
c) Dans cette question, on suppose et .
Calculez pour et pour et placez les points en prenant 8 cm pour unité de longueur.
— Ⅱ —
Dans toute la suite du problème, on suppose .
1° Pour tout , exprimez en fonction de et , déduisez-en que pour tout .
2° On rappelle que pour tout nombre complexe ,
.
Calculez, pour tout , en fonction de , et .
3° On note le point d'affixe et, pour tout , l'affixe du vecteur .
a) Calculez en fonction de , et .
b) Démontrez que le module de tend vers quand tend vers et interprétez géométriquement ce résultat.
4° a) Établissez qu'il existe un nombre complexe tel que pour tout .
b) En interprétant géométriquement la relation précédente, déterminez une similitude directe telle que pour tout ,
.
Précisez le centre, le rapport et l'angle de cette similitude.
5° Dans cette question, on suppose à nouveau que et .
a) Calculez et placez sur la figure précédemment tracée.
b) Indiquez une construction géométrique simple de connaissant et et placez les points sur la figure.
Figure
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Corrigé
— Ⅰ —
1°.
2° a) et .
b).
c)
.
— Ⅱ —
1° Pour tout , donc d'où, par récurrence : pour tout , . En effet,
cette égalité est vraie pour : et
si elle l'est pour , elle l'est encore pour : .
2°.
Remarque : pour et , on peut vérifier le calcul ci-dessus de : .
3° a).
b) car . Par conséquent, .
4° a) pour .
b), où est la similitude directe de centre , de rapport et d'angle .
5° a).
b) est un triangle isocèle rectangle en et direct.