Aller au contenu

Signaux physiques - bis (PCSI)/Exercices/Oscillateurs amortis : association d'impédances complexes

Leçons de niveau 14
Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Oscillateurs amortis : association d'impédances complexes
Signaux physiques - bis (PCSI)/Exercices/Oscillateurs amortis : association d'impédances complexes
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Réponse en intensité d'un circuit « L parallèle sur R » en série avec C, soumis à une tension de valeur efficace fixée

[modifier | modifier le wikicode]
Schéma d'un circuit composé d'un «» en série avec , ensemble soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace et de fréquence fixées

     On impose au circuit ci-contre une tension sinusoïdale , la réponse forcée en intensité de courant circulant dans le circuit étant mise sous la forme [1].

Condition pour que l'intensité efficace I du courant circulant dans le circuit soit indépendante de R

[modifier | modifier le wikicode]

     Après avoir déterminé l'impédance complexe du circuit, déterminer l'intensité efficace complexe du courant y circulant et
     Après avoir déterminé l'impédance complexe du circuit, en déduire son intensité efficace en fonction de , , , et  ;

     Après avoir déterminé l'impédance complexe du circuit, déterminer à quelle condition de pulsation, est indépendante de .



Dans cette condition évaluation de l'intensité efficace I1 du courant ainsi que l'avance de phase φ1 de la tension sur l'intensité

[modifier | modifier le wikicode]

     La condition précédente étant réalisée déterminer la valeur de l'intensité efficace du courant traversant le circuit et

     La condition précédente étant réalisée déterminer la valeur de l'avance de phase de la tension imposée au circuit sur l'intensité du courant le traversant.

Condition supplémentaire pour que la tension et l'intensité soient en phase

[modifier | modifier le wikicode]

     En déduire la condition supplémentaire pour que soit nul.

Réponse en intensité d'un circuit « R C série » en parallèle sur une bobine réelle en phase avec la tension imposée de valeur efficace fixée

[modifier | modifier le wikicode]
Schéma d'un circuit composé d'un « série » en parallèle sur une bobine réelle modélisée par « série », ensemble soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace fixée et de fréquence réglable

     On considère le circuit représenté ci-contre où la f.e.m. du générateur de tension parfait est sinusoïdale de valeur efficace fixée et de pulsation variable  ;
     on s'intéresse à la réponse sinusoïdale forcée en intensité du courant délivré au circuit ci-contre par le générateur.

     Sous réserve de condition sur , , et , il existe une pulsation pour laquelle l'intensité est en phase avec la tension .

     Déterminer la pulsation et

     préciser les conditions associées.







Montage déphaseur

[modifier | modifier le wikicode]
Schéma d'un pont de type Wheatstone[14] en r.s.f[15]. de fréquence et en sortie ouverte composé des deux couples de D.P.L. croisés «» et «»

     On considère le circuit ci-contre où on étudie la « réponse sinusoïdale forcée en tension de sortie du pont d'impédances en r.s.f[15]. de fréquence alimenté en entrée par ».

Tension efficace de sortie indépendante de R, L et C

[modifier | modifier le wikicode]

     Déterminer « la tension efficace complexe de sortie » en fonction de la tension efficace complexe d'entrée [2], des grandeurs caractérisant le pont de type Wheatstone[14] et de la pulsation du r.s.f[15]. ;

     en déduire « la tension efficace de sortie » et
     vérifier qu'elle est indépendante de , et .




Avance de phase de la tension de sortie sur la tension d'entrée et justification du nom du montage

[modifier | modifier le wikicode]

     Exprimer l'avance de phase de la tension de sortie sur celle d'entrée et

     préciser comment varie lorsque l'on fait varier de à .

     Justifier le nom du montage.

R.D.L.A. (réseau dipolaire linéaire actif) en r.s.f. équivalent, pour une fréquence particulière, à un générateur de courant quand il est fermé sur un conducteur ohmique

[modifier | modifier le wikicode]
Schéma d'un P.D.T[23]. en r.s.f[15]. de fréquence alimenté en entrée par , un condensateur en tant que D.P.L. d'attaque, une bobine pure en tant que D.P.L. aux bornes duquel est la sortie, l'ensemble étant équivalent à une source de courant parfaite quand on branche un conducteur ohmique en sortie du P.D.T[23].

     On considère le circuit ci-contre dans lequel le générateur de fonctions délivre une f.e.m. instantanée sinusoïdale [24], de valeur efficace fixée et de pulsation que l'on fait varier ; de plus, son dipôle passif interne est supposé d'impédance négligeable.

     Le reste du circuit est composé d'un P.D.T[23]. en r.s.f[15]. dont le « D.P.L[25]. aux bornes duquel est définie la sortie est une bobine parfaite d'inductance propre » et le « D.P.L[25]. d'attaque[26] un condensateur de capacité » ; on place en sortie un conducteur ohmique de résistance .

Valeur de la pulsation pour que l'intensité efficace du courant traversant R soit indépendante de R

[modifier | modifier le wikicode]

     Déterminer l'« intensité instantanée complexe [24] du courant circulant dans le conducteur ohmique » avec « l'intensité efficace complexe » puis

     en déduire l'« intensité efficace complexe » ainsi que l'« intensité efficace » ;

     déterminer la « valeur de la pulsation pour laquelle l'intensité efficace traversant le conducteur ohmique est indépendante de ».


Sous condition de cette pulsation, circuit équivalent à un générateur de courant

[modifier | modifier le wikicode]

     Vérifier qu'à cette pulsation le P.D.T[23]. situé entre et dans la partie en pointillés est équivalent lorsqu'il est branché aux bornes d'un conducteur ohmique à une source de courant parfaite dont on donnera le c.e.m. en fonction des données.

Modèle de Thévenin d'un R.D.L.A. (réseau dipolaire linéaire actif)

[modifier | modifier le wikicode]
Schéma d'un P.D.T[23]. en r.s.f[15]. à étages : le 1er étage alimenté par sinusoïdale de fréquence ayant comme résistance d'attaque[26] et sa sortie aux bornes de sur laquelle est branché le 2ème étage de résistance d'attaque[26] de même , la sortie globale étant aux bornes de

     On considère le circuit ci-contre alimenté entre et par une source de tension sinusoïdale de f.e.m. instantanée « »[32] ;
     On considère à la sortie de cette source de tension sinusoïdale on branche un « P.D.T[23]. en r.s.f[15]. à deux étages »[33] constitué

  • d'un 1er étage alimenté par [32], de D.P.L[25]. d'attaque[26] composé d'un conducteur ohmique de résistance , la sortie de ce 1er étage étant aux bornes d'une bobine parfaite d'inductance propre et
  • d'un 2ème étage alimenté par la sortie du 1er étage, de D.P.L[25]. d'attaque[26] composé d'un conducteur ohmique de même résistance , la sortie de ce 2ème étage étant aux bornes d'un condensateur de capacité  ;

     On considère pour ce circuit la fréquence du générateur est telle que «» et «».

     Déterminer les caractéristiques du générateur de Thévenin[16] complexe équivalent au R.D.L.A[34]. ci-contre en complexe associé au r.s.f[15]. de fréquence entre et c'est-à-dire f.e.m. instantanée complexe de Thévenin[16] et impédance complexe de Thévenin[16] en supposant que le R.D.L.A[34]. délivre un courant sortant par et entrant par d'intensité instantanée complexe «» et d'intensité efficace complexe « étant l'intensité efficace et la phase à l'origine»[35].

Ponts d'impédances

[modifier | modifier le wikicode]

     On étudie successivement les trois ponts universels d'impédances en r.s.f[15]. de fréquence fixe  ;
     on admettra que le R.D.L.A[34]. en complexe associée au r.s.f[15]. aux bornes duquel est branché un détecteur est équivalent à un générateur de Thévenin[16] complexe de « f.e.m. instantanée complexe s'annulant[37] si à condition que avec et de part et d'autre d'une des bornes reliée au détecteur ainsi que et de part et d'autre de l'autre borne reliée au détecteur, les indices correspondant à la disposition des impédances en circulation dans le sens horaire ou trigonométrique direct»[38].

Pont de Sauty parallèle en r.s.f.

[modifier | modifier le wikicode]
Schéma d'un pont universel de Sauty[39] parallèle en r.s.f[15]. de fréquence pour mesurer la capacité et la résistance de fuite d'un condensateur à l'aide d'un D.P[40]. étalon variable en parallèle sur

     Le 1er pont est le pont de Sauty[39] parallèle : voir schéma ci-contre ce pont de type « P/Q »[41] sert à mesurer la capacité d'un condensateur avec résistance de fuite , à l’aide d'un conducteur ohmique étalon de résistance variable et d'un condensateur parfait étalon de capacité variable monté en parallèle sur la même branche, les deux autres D.P.L[25]. étant des conducteurs ohmiques étalon.

          Le 1er pont est le pont de Sauty parallèle : Vérifier que le R.D.L.A[34]. branché aux bornes du détecteur vérifie les conditions d'équivalence à un générateur de Thévenin[16] en complexe associée au r.s.f[15]. de fréquence et

          Le 1er pont est le pont de Sauty parallèle : déterminer les valeurs de et de du condensateur étudié en fonction des autres grandeurs étalon en écrivant la condition d'équilibre du pont en complexe[37].









Pont de Maxwell en r.s.f.

[modifier | modifier le wikicode]
Schéma d'un pont universel de Maxwell[43] en r.s.f[15]. de fréquence pour mesurer l'inductance propre et la résistance d'une bobine à l'aide d'un D.P[40]. étalon variable en parallèle sur

     Le 2ème pont est le pont de Maxwell[43] : voir schéma ci-contre ce pont de type « PQ »[44] sert à mesurer l'inductance propre et la résistance d'une bobine[45], à l’aide d'un conducteur ohmique étalon de résistance variable et d'un condensateur parfait étalon de capacité variable monté en parallèle sur la même branche, les deux autres D.P.L[25]. étant des conducteurs ohmiques étalon.

          Le 2ème pont est le pont de Maxwell : Vérifier que le R.D.L.A[34]. branché aux bornes du détecteur vérifie les conditions d'équivalence à un générateur de Thévenin[16] en complexe associée au r.s.f[15]. de fréquence et

          Le 2ème pont est le pont de Maxwell : déterminer les valeurs de et de de la bobine étudiée en fonction des autres grandeurs étalon en écrivant la condition d'équilibre du pont en complexe[37].










Pont de Robinson en r.s.f.

[modifier | modifier le wikicode]
Schéma d'un pont universel de Robinson[46] en r.s.f[15]. de fréquence pour mesurer la fréquence à l'aide deux D.P.L[25]. étalon, l'un composé d'un conducteur ohmique variable de résistance en série avec un condensateur de capacité fixe , l'autre composé des mêmes éléments étalon montés en parallèle, les deux résistances restant couplées[47] dans leur variation

     Le 3ème pont est le pont de Robinson[46] : voir schéma ci-contre ce pont de type « P/Q »[41], sert à mesurer la fréquence à l'aide d'une part d'un conducteur ohmique étalon de résistance variable et d'un condensateur parfait étalon de capacité fixe monté en parallèle sur une même branche et d'autre part d'un même conducteur ohmique étalon de résistance variable les deux résistances restant couplées[47] dans leur variation et d'un condensateur parfait étalon de capacité fixe monté en série sur une même autre branche, les deux autres D.P.L[25]. étant des conducteurs ohmiques étalon.

          Le 3ème pont est le pont de Robinson : Vérifier que le R.D.L.A[34]. branché aux bornes du détecteur vérifie les conditions d'équivalence à un générateur de Thévenin[16] en complexe associée au r.s.f[15]. de fréquence et

          Le 3ème pont est le pont de Robinson : déterminer la valeur de la fréquence en fonction des autres grandeurs étalon en écrivant la condition d'équilibre du pont en complexe[37].












Notes et références

[modifier | modifier le wikicode]
  1. 1,0 et 1,1 est donc l'avance de phase de la tension sur l'intensité.
  2. 2,0 2,1 et 2,2 La phase à l'origine de la tension sinusoïdale étant nulle, la tension efficace complexe s'identifie à la tension efficace.
  3. 3,0 3,1 3,2 3,3 et 3,4 Voir le paragraphe « association parallèle de deux D.P.L. en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) » du chap. de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».
  4. 4,0 4,1 4,2 4,3 et 4,4 Voir les paragraphes « association série de deux D.P.L. en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) » et « généralisation : association série de plus de deux D.P.L. en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) » du chap. de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».
  5. Le dernier complexe ayant une partie réelle négative on met en facteur pour que l'autre facteur ait une partie réelle positive et que son argument se mette sous la forme d'un .
  6. On pourrait aussi prendre mais on retient la valeur qui donnera la plus petite valeur absolue à .
  7. La multiplication étant faite dans le 2ème facteur du numérateur.
  8. Bien que ce ne soit pas a priori indispensable pour en prendre l'argument, il s'avère que cela rend le calcul plus simple, la justification étant commentée ultérieurement.
  9. 9,0 et 9,1 Quand, dans un complexe, la partie réelle a un signe conditionnel alors que la partie imaginaire a un signe fixé, on met la partie imaginaire en facteur de façon à ce que la partie réelle du 2ème facteur égale à soit positive et que l'argument de ce dernier puisse s'écrire sous forme d'un .
  10. On pouvait aussi déterminer par l'argument de l'impédance complexe en mettant cette dernière sous forme algébrique soit, en multipliant haut et bas par le complexe conjugué du dénominateur, «» dont les parties réelle et imaginaire du nouveau numérateur sont ou, après simplification, dont la positivité de la partie réelle permet de mettre sous la forme d'un selon «» soit, après simplification évidente,
    «».
  11. On trouve la même condition à partir de la forme de «» trouvée dans la note « 10 » plus haut dans ce chapitre, en écrivant
  12. En effet si avec réel, en identifiant parties réelles entre elles et les parties imaginaires on trouve , soit .
  13. Obtenue en faisant le rapport des parties imaginaires.
  14. 14,0 14,1 14,2 et 14,3 Charles Wheatstone (1802 - 1875) physicien et inventeur anglais à qui on doit la 1ère liaison télégraphique filaire longue de près de Londres en , l'un des premiers microphones et bien sûr le pont résistif du même nom entre autres.
  15. 15,00 15,01 15,02 15,03 15,04 15,05 15,06 15,07 15,08 15,09 15,10 15,11 15,12 15,13 15,14 15,15 15,16 15,17 15,18 15,19 15,20 15,21 et 15,22 Régime Sinusoïdal Forcé.
  16. 16,00 16,01 16,02 16,03 16,04 16,05 16,06 16,07 16,08 16,09 16,10 16,11 16,12 16,13 16,14 16,15 16,16 16,17 et 16,18 Léon Charles Thévenin (1857 - 1926) ingénieur français en télégraphie, à l'origine des simplifications des circuits électriques par linéarisation, on lui doit essentiellement le « théorème portant son nom » énoncé en .
  17. 17,0 17,1 et 17,2 Jacob Millman (1911 - 1991) électronicien américain né en Russie à Novohrad-Volynskyï maintenant en Ukraine, devenu américain par suite de l'émigration de ses parents, on lui doit essentiellement le théorème portant son nom.
  18. 18,0 18,1 18,2 18,3 18,4 18,5 18,6 et 18,7 Voir les paragraphes « condition d'application du théorème de Millman de l'électricité complexe associé au r.s.f. en un nœud duquel part une branche externe par laquelle le courant est délivré » et « énoncé du théorème de Millman appliqué au nœud S de sortie du réseau par lequel le courant sortant alimente la branche extérieure » du chap. de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».
  19. 19,0 et 19,1 On pouvait aussi reconnaître un P.D.T. pont diviseur de tension complexe en sortie ouverte voir les paragraphes « présentation du P.D.T. en électricité complexe associée au r.s.f. » et « le résultat le plus utilisée : P.D.T. en sortie ouverte alimenté en entrée par ue(t) » du chap. de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » :
    • étant la tension de sortie ouverte du P.D.T. d'impédance complexe d'attaque c'est-à-dire celle aux bornes de laquelle n'est pas définie la sortie et d'autre impédance complexe c'est-à-dire celle aux bornes de laquelle est définie la sortie, ces deux impédances complexes étant en série quand la sortie est ouverte, la tension d'entrée du P.D.T. étant d'où  ;
    • étant la tension de sortie ouverte du P.D.T. d'impédance complexe d'attaque c'est-à-dire celle aux bornes de laquelle n'est pas définie la sortie et d'autre impédance complexe c'est-à-dire celle aux bornes de laquelle est définie la sortie, ces deux impédances complexes étant en série quand la sortie est ouverte, la tension d'entrée du P.D.T. étant d'où .
  20. Car et étant conjugués ont même module.
  21. L'argument d'un quotient de complexes étant égal à l'argument du numérateur auquel on retire celui du dénominateur.
  22. En effet et l'argument d'un complexe conjugué égal à l'opposé de l'argument du complexe
  23. 23,0 23,1 23,2 23,3 23,4 23,5 et 23,6 Pont Diviseur de Tension.
  24. 24,0 24,1 et 24,2 On introduira les grandeurs instantanées complexes telles que les grandeurs instantanées sinusoïdales en soient les parties imaginaires.
  25. 25,0 25,1 25,2 25,3 25,4 25,5 25,6 et 25,7 Dipôle Passif linéaire.
  26. 26,0 26,1 26,2 26,3 26,4 26,5 et 26,6 Qualifie l'autre D.P.L. d'un P.D.T. aux bornes duquel la sortie de ce dernier n'est pas définie.
  27. Ainsi .
  28. C'est la loi de Pouillet complexe, la f.e.m. instantanée complexe de Thévenin du dipôle étant et l'impédance complexe de Thévenin , la loi de Pouillet complexe s'écrivant quand le générateur délivre un courant à un dipôle passif d'impédance complexe .
       Claude Servais Mathias Pouillet (1790 - 1868) physicien et homme politique français, on lui doit essentiellement des travaux portant sur la compressibilité des gaz et sur les lois expérimentales relatives à l'intensité du courant électrique dans un circuit fermé il sut préciser la notion de résistance électrique, montrer que les générateurs sont composés d'une force électromotrice pure et d'une résistance intérieure et il établit la loi qui porte son nom.
  29. Obtenue en divisant les deux membres de la relation précédente par .
  30. En effet .
  31. La dernière relation se déduisant de .
  32. 32,0 et 32,1 À on associe la f.e.m. instantanée complexe .
  33. Signifiant qu'à la sortie d'un 1er P.D.T. en r.s.f. on branche un 2ème P.D.T. en r.s.f..
  34. 34,00 34,01 34,02 34,03 34,04 34,05 34,06 34,07 34,08 34,09 et 34,10 Réseau Dipolaire Linéaire Actif.
  35. L'intensité instantanée complexe est l'intensité efficace complexe étant associée à l'intensité instantanée .
  36. Cette dernière expression étant obtenue en multipliant haut et bas par .
  37. 37,0 37,1 37,2 37,3 37,4 37,5 et 37,6 On dit alors que le pont est équilibré, ceci entraînant l'absence de courant dans le détecteur.
  38. Voir le traitement par utilisation du théorème de Millman dans le paragraphe « exemple d'utilisation du théorème de Millman de l'électricité complexe associée au r.s.f. : pont de type Wheatstone en r.s.f. » du chap. de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».
  39. 39,0 et 39,1 Charles Victor de Sauty (1831 - 1893) ingénieur électricien et télégraphe anglais à qui on doit essentiellement le premier câble télégraphique transatlantique.
  40. 40,0 et 40,1 Dipôle Passif Linéaire.
  41. 41,0 et 41,1 Un pont universel est dit « P/Q » quand les conducteurs ohmiques étalon sont consécutifs.
  42. 42,0 42,1 et 42,2 Voir le paragraphe « exemple d'utilisation du théorème de Millman de l'électricité complexe associée au r.s.f. : pont de type Wheatstone en r.s.f. (le pont est équilibré si …) » du chap. de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».
  43. 43,0 et 43,1 James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour avoir unifié en un seul ensemble d'équations « les équations de Maxwell », l'électricité, le magnétisme et l'induction fournissant, pour l'époque, le modèle le plus unifié de l'électromagnétisme ; il est également célèbre pour avoir interprété la lumière comme étant un phénomène électromagnétique ayant notamment démontré que les champs électriques et magnétiques se propagent dans l'espace sous la forme d'une onde et à la vitesse de la lumière ; ce sont ces deux découvertes qui permirent d'importants travaux ultérieurs notamment en relativité restreinte et en mécanique quantique ; il a également développé la distribution de Maxwell, une méthode statistique de description de la théorie cinétique des gaz ; il est également connu pour avoir réalisé le la 1ère photographie en vraie couleur devant les membres de la Royal Institution de Londres.
  44. Un pont universel est dit « PQ » quand les conducteurs ohmiques étalon sont croisés.
  45. Modélisée en association série.
  46. 46,0 et 46,1 Recherche d'information sur l'auteur Robinson je suppose que le nom donné au pont est celui de la personne l'ayant mis en œuvre mais je n'ai rien trouvé mis à part qu'une version un peu modifiée est appelée « pont de Wien-Robinson » Max Wien (1866 - 1938) physicien allemand à qui on doit l'oscillateur à pont dit de Wien en et le "Löschfunkensender" un générateur d'oscillations électromagnétiques légèrement amorties entre et  ; il eut l'idée d'un amplificateur électronique qu'il ne réalisa pas faute de moyens, ce fût William Hewlett (1913 - 2001), ingénieur américain en électronique, cofondateur de Hewlett-Packard, qui le réalisa en .
  47. 47,0 et 47,1 C.-à-d. variant simultanément de la même façon.
  48. Ce fût une façon de mesurer la fréquence d'un générateur de fonctions sinusoïdales avant l'invention du 1er fréquencemètre en par René Barthélemy (1889 - 1954) ingénieur français qui s'est illustré comme pionnier dans la mise au point de la télévision.