En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Oscillateurs amortis : association d'impédances complexes Signaux physiques - bis (PCSI)/Exercices/Oscillateurs amortis : association d'impédances complexes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Réponse en intensité d'un circuit « L parallèle sur R » en série avec C, soumis à une tension de valeur efficace fixée
On impose au circuit ci-contre une tension sinusoïdale , la réponse forcée en intensité de courant circulant dans le circuit étant mise sous la forme [1].
Condition pour que l'intensité efficace I du courant circulant dans le circuit soit indépendante de R
Après avoir déterminé l'impédance complexe du circuit, déterminer l'intensité efficace complexe du courant y circulant et Après avoir déterminé l'impédance complexe du circuit, en déduire son intensité efficace en fonction de , , , et ;
Après avoir déterminé l'impédance complexe du circuit, déterminer à quelle condition de pulsation, est indépendante de .
Solution
On impose au circuit ci-dessus une tension sinusoïdale à laquelle on associe la tension instantanée complexe «»[2] et on cherche la réponse forcée en intensité de courant circulant dans le circuit sous la forme [1] à laquelle on associe l'intensité instantanée complexe «» avec l'intensité efficace complexe définie par «» voir le schéma en complexe ci-contre ;
l'impédance complexe du circuit se définit alors selon «», avec « l'impédance du circuit » et « l'avance de phase de la tension sur l'intensité » ;
l'impédance complexe du circuit étant l'association série d'un « condensateur de capacité , d'impédance complexe » et de l'« association parallèle d'un conducteur ohmique de résistance avec une bobine parfaite d'inductance propre , d'impédance complexe , association parallèle d'impédance complexe »[3], on en déduit [4] soit en réduisant au même dénominateur
«» ;
on en déduit l'intensité efficace complexe du courant circulant dans le circuit «» dont on tire, en en prenant le module, on en déduit l'intensité efficace ou soit encore
«» ;
l'intensité efficace sera indépendante de « si ne dépend pas de » ; on cherchera donc la condition pour que «» soit, avec dont « l'annulation est réalisée si » c'est-à-dire « pour la pulsation ».
L'intensité efficace est indépendante de « pour la pulsation ».
Dans cette condition évaluation de l'intensité efficace I1 du courant ainsi que l'avance de phase φ1 de la tension sur l'intensité
La condition précédente étant réalisée déterminer la valeur de l'intensité efficace du courant traversant le circuit et
La condition précédente étant réalisée déterminer la valeur de l'avance de phase de la tension imposée au circuit sur l'intensité du courant le traversant.
Solution
La condition que l'intensité efficace du courant traversant le circuit ne dépende pas de étant que « avec », on en déduit l'intensité efficace complexe «» et par suite, en en prenant le module
«» ;
sous la même condition d'indépendance de l'intensité efficace du courant traversant le circuit relativement à , l'avance de phase de la tension sur l'intensité du courant se détermine par «»[5] soit «» en prenant [6] et finalement
«».
Condition supplémentaire pour que la tension et l'intensité soient en phase
On considère le circuit représenté ci-contre où la f.e.m. du générateur de tension parfait est sinusoïdale de valeur efficace fixée et de pulsation variable ; on s'intéresse à la réponse sinusoïdale forcée en intensité du courant délivré au circuit ci-contre par le générateur.
Sous réserve de condition sur , , et , il existe une pulsation pour laquelle l'intensité est en phase avec la tension .
Déterminer la pulsation et
préciser les conditions associées.
Solution
« L'intensité du courant traversant le circuit et la tension aux bornes du circuit seront en phase » si l'impédance complexe du circuit entre et « est un réel positif » ;
or l'impédance complexe du circuit entre et s'évaluant selon «» l'impédance complexe de la bobine réelle et celle du « série » étant [4][3] ce que l'on peut réécrire en multipliant haut et bas par [7] et en regroupant les termes du dénominateur de façon à y obtenir un polynôme en selon «» ou, en développant le numérateur[8] et en regroupant les termes de ce dernier de façon à y obtenir un polynôme en , «» on en déduit :
l'avance de phase de la tension sur l'intensité par «» dans laquelle le polynôme en
il reste à écrire que «» soit encore «» ou «» nécessitant que la pulsation particulière soit solution de l'équation «» ou, après simplification «»[11] ;
« cette pulsation existe » si
« et sont toutes deux ou
« et sont toutes deux »,
et « dans ces conditions la pulsation vaut » ;
« étant réel », c'est aussi le rapport des parties réelles ou le rapport des parties imaginaires[12] d'où
On considère le circuit ci-contre où on étudie la « réponse sinusoïdale forcée en tension de sortie du pont d'impédances en r.s.f[15]. de fréquence alimenté en entrée par ».
Tension efficace de sortie indépendante de R, L et C
Déterminer « la tension efficace complexe de sortie » en fonction de la tension efficace complexe d'entrée [2], des grandeurs caractérisant le pont de type Wheatstone[14] et de la pulsation du r.s.f[15]. ;
en déduire « la tension efficace de sortie » et vérifier qu'elle est indépendante de , et .
Solution
Il s'agit d'un « pont de type Wheatstone[14] en sortie ouverte représenté ci-contre en complexe associée au r.s.f[15]. de fréquence alimenté en entrée par »[2], « la tension instantanée complexe de sortie ouverte s'identifiant à la f.e.m. instantanée complexe de Thévenin[16]» où et sont respectivement les potentiels instantanés complexes des bornes et , peut être déterminée par théorème de Millmann[17] en puis [18], la masse ayant été choisie en le potentiel instantané complexe en vaut donc soit :
application du théorème de Millman en : «»[18],[19],
application du théorème de Millman en : «»[18],[19],
d'où l'expression de la f.e.m. instantanée complexe de Thévenin[16] «» soit finalement «» ou, en passant aux valeurs efficaces complexes
«» ;
en en prenant le module on en déduit la tension efficace cherchée soit
Exprimer l'avance de phase de la tension de sortie sur celle d'entrée et
préciser comment varie lorsque l'on fait varier de à .
Justifier le nom du montage.
Solution
La phase à l'origine de se détermine par «»[21] soit «»[22] ;
« de à quand de à » et ainsi seule la phase varie la valeur efficace restant constante.
Le nom de « montage déphaseur » résulte du fait que la tension de sortie est de valeur efficace constantela moitié de la valeur efficace de la tension d'entrée et Le nom de « montage déphaseur » résulte du fait qu'il est possible de régler son avance de phase par rapport à la tension d'entrée grâce à la résistance variablecomme l'avance de phase de sur est négative, cela veut dire que est en fait en retard de phase par rapport à , ce retard variant de à , tensions d'entrée et de sortie quasiment en phase pour très faible et quasiment en opposition de phase pour très grande, la tension de sortie étant en quadrature retard sur celle d'entrée pour .
R.D.L.A. (réseau dipolaire linéaire actif) en r.s.f. équivalent, pour une fréquence particulière, à un générateur de courant quand il est fermé sur un conducteur ohmique
On considère le circuit ci-contre dans lequel le générateur de fonctions délivre une f.e.m. instantanée sinusoïdale [24], de valeur efficace fixée et de pulsation que l'on fait varier ; de plus, son dipôle passif interne est supposé d'impédance négligeable.
Le reste du circuit est composé d'un P.D.T[23]. en r.s.f[15]. dont le « D.P.L[25]. aux bornes duquel est définie la sortie est une bobine parfaite d'inductance propre » et le « D.P.L[25]. d'attaque[26] un condensateur de capacité » ; on place en sortie un conducteur ohmique de résistance .
Valeur de la pulsation pour que l'intensité efficace du courant traversant R soit indépendante de R
Déterminer l'« intensité instantanée complexe [24] du courant circulant dans le conducteur ohmique » avec « l'intensité efficace complexe » puis
en déduire l'« intensité efficace complexe » ainsi que l'« intensité efficace » ;
déterminer la « valeur de la pulsation pour laquelle l'intensité efficace traversant le conducteur ohmique est indépendante de ».
Solution
Bien sûr il convient de refaire le schéma en représentation complexe.
On travaille en sinusoïdal forcé et « on associe à , la f.e.m. instantanée complexe »[27].
Mettons à la masse et appliquons le théorème de Millmann[17] complexe en [18], en considérant que « le dipôle délivre un courant d'intensité instantanée complexe »[24], on obtient : Mettons à la masse et appliquons le théorème de Millmann complexe en «»[18] ;
avec on en déduit « la tension instantanée complexe entre et », «» s'identifiant à avec on en déduit « la tension aux bornes du conducteur ohmique de résistance » d'où «» «» dont on déduit aisément soit «»[28] ou encore
en valeurs instantanées complexes «» ou en valeurs efficaces complexes «»[29] ;
de l'expression de l'intensité efficace complexe «» on tire, en en prenant le module, l'intensité efficace
«»
laquelle « sera indépendante de » si «» c'est-à-dire « pour la pulsation » ;
laquelle « sera indépendante de » pour l'intensité efficace complexe vaut «»[30] ce qui montre que laquelle « sera indépendante de » pour « la phase de est également indépendante de » plus précisément, la phase initiale de étant nulle, celle de vaut ;
finalement, à cette pulsation , l'intensité instantanée du courant vaut «» qui s'écrit encore «».
Sous condition de cette pulsation, circuit équivalent à un générateur de courant
Vérifier qu'à cette pulsation le P.D.T[23]. situé entre et dans la partie en pointillés est équivalent lorsqu'il est branché aux bornes d'un conducteur ohmique à une source de courant parfaite dont on donnera le c.e.m. en fonction des données.
Solution
Dans la mesure où l'intensité traversant le conducteur ohmique est indépendante de la valeur de sa résistance, le dipôle est bien équivalent à une source de courant parfaite
On considère le circuit ci-contre alimenté entre et par une source de tension sinusoïdale de f.e.m. instantanée «»[32] ; On considère à la sortie de cette source de tension sinusoïdale on branche un « P.D.T[23]. en r.s.f[15]. à deux étages »[33] constitué
d'un 1er étage alimenté par [32], de D.P.L[25]. d'attaque[26] composé d'un conducteur ohmique de résistance , la sortie de ce 1er étage étant aux bornes d'une bobine parfaite d'inductance propre et
d'un 2ème étage alimenté par la sortie du 1er étage, de D.P.L[25]. d'attaque[26] composé d'un conducteur ohmique de même résistance , la sortie de ce 2ème étage étant aux bornes d'un condensateur de capacité ;
On considère pour ce circuit la fréquence du générateur est telle que «» et «».
Déterminer les caractéristiques du générateur de Thévenin[16] complexe équivalent au R.D.L.A[34]. ci-contre en complexe associé au r.s.f[15]. de fréquence entre et c'est-à-dire f.e.m. instantanée complexe de Thévenin[16] et impédance complexe de Thévenin[16] en supposant que le R.D.L.A[34]. délivre un courant sortant par et entrant par d'intensité instantanée complexe «» et d'intensité efficace complexe « étant l'intensité efficace et la phase à l'origine»[35].
Solution
Nous déterminerons le générateur de Thévenin[16] complexe équivalent au R.D.L.A[34]. ci-contre par utilisation du théorème de Millman[17] en puis en en ayant choisi la masse en [18].
Utilisation du théorème de Millman en : [18] soit Utilisation du théorème de Millman en : « ou, avec , ».
Utilisation du théorème de Millman en : tout d'abord remarquons que d'où Utilisation du théorème de Millman en : [18] soit Utilisation du théorème de Millman en : «» ou, avec Utilisation du théorème de Millman en : «»[36].
Élimination du potentiel instantané complexe en : on reporte «» dans «» et on trouve ou encore «» soit finalement
«».
Finalement le générateur de Thévenin[16] complexe équivalent au R.D.L.A[34]. complexe associé au r.s.f[15]. de fréquence a pour
« f.e.m. instantanée complexe de Thévenin[16]» à laquelle correspond la « f.e.m. efficace complexe de Thévenin[16]» dont on tire la « f.e.m. efficace de Thévenin[16] en en prenant le module soit » et la « phase à l'origine de la f.e.m. instantanée de Thévenin[16] en en prenant l'argument soit » et
« impédance complexe de Thévenin[16]», de « résistance », de « réactance capacitive» et d'« impédance ».
On étudie successivement les trois ponts universels d'impédances en r.s.f[15]. de fréquence fixe ; on admettra que le R.D.L.A[34]. en complexe associée au r.s.f[15]. aux bornes duquel est branché un détecteur est équivalent à un générateur de Thévenin[16] complexe de « f.e.m. instantanée complexe s'annulant[37] si à condition que avec et de part et d'autre d'une des bornes reliée au détecteur ainsi que et de part et d'autre de l'autre borne reliée au détecteur, les indices correspondant à la disposition des impédances en circulation dans le sens horaire ou trigonométrique direct»[38].
Le 1er pont est le pont de Sauty[39]parallèle : voir schéma ci-contre ce pont de type « P/Q »[41] sert à mesurer la capacité d'un condensateur avec résistance de fuite , à l’aide d'un conducteur ohmique étalon de résistance variable et d'un condensateur parfait étalon de capacité variable monté en parallèle sur la même branche, les deux autres D.P.L[25]. étant des conducteurs ohmiques étalon.
Le 1er pont est le pont de Sauty parallèle : Vérifier que le R.D.L.A[34]. branché aux bornes du détecteur vérifie les conditions d'équivalence à un générateur de Thévenin[16] en complexe associée au r.s.f[15]. de fréquence et
Le 1er pont est le pont de Sauty parallèle : déterminer les valeurs de et de du condensateur étudié en fonction des autres grandeurs étalon en écrivant la condition d'équilibre du pont en complexe[37].
Solution
Il convient bien sûr de refaire le schéma ci-dessus en complexe associée au r.s.f[15]. de fréquence dans lequel les impédances complexes sont les suivantes :
On vérifie que «» et On vérifie que «» d'où On vérifie l'existence d'un générateur de Thévenin[16] complexe équivalent au R.D.L.A[34]. branché aux bornes du détecteur.
La condition d'équilibre du pont[37] étant «»[42] s'écrit «» dont on tire l'impédance complexe cherchée «» soit, en mettant chaque membre sous forme algébrique et en identifiant parties réelles et parties imaginaires de chaque membre
«» ;
on résout le système des deux équations non linéaires en et
en divisant membre à membre la 2ème équation par la 1ère soit «» d'où ou «» entraînant, par report dans la 2ème équation et simplification évidente soit «» d'une part
et d'autre part, en réinjectant l'expression de dans on en déduit «» soit «».
La condition d'équilibre étant réalisée quelle que soit la fréquence, on se place donc d'abord en régime permanentles condensateurs ne jouant alors aucun rôle et on règlepour obtenir un courant nul, on en déduit alors la valeur de ;
La condition d'équilibre étant réalisée quelle que soit la fréquence, ce réglage étant fait, on passe en sinusoïdal forcé et on règle la valeur desans modifierpour retrouver un courant d'intensité instantanée nulle, on en déduit alors la valeur de .
Le 2ème pont est le pont de Maxwell[43] : voir schéma ci-contre ce pont de type « PQ »[44] sert à mesurer l'inductance propre et la résistance d'une bobine[45], à l’aide d'un conducteur ohmique étalon de résistance variable et d'un condensateur parfait étalon de capacité variable monté en parallèle sur la même branche, les deux autres D.P.L[25]. étant des conducteurs ohmiques étalon.
Le 2ème pont est le pont de Maxwell : Vérifier que le R.D.L.A[34]. branché aux bornes du détecteur vérifie les conditions d'équivalence à un générateur de Thévenin[16] en complexe associée au r.s.f[15]. de fréquence et
Le 2ème pont est le pont de Maxwell : déterminer les valeurs de et de de la bobine étudiée en fonction des autres grandeurs étalon en écrivant la condition d'équilibre du pont en complexe[37].
Solution
Il convient bien sûr de refaire le schéma ci-dessus en complexe associée au r.s.f[15]. de fréquence dans lequel les impédances complexes sont les suivantes :
On vérifie que «» et On vérifie que «» d'où On vérifie l'existence d'un générateur de Thévenin[16] complexe équivalent au R.D.L.A[34]. branché aux bornes du détecteur.
La condition d'équilibre du pont[37] étant «»[42] s'écrit «» dont on tire l'impédance complexe cherchée «» soit, en identifiant parties réelles et parties imaginaires de chaque membre
«».
La condition d'équilibre étant réalisée quelle que soit la fréquence, on se place donc d'abord en régime permanentle condensateur et la partie inductive de la bobine ne jouant alors aucun rôle et on règlepour obtenir un courant nul, on en déduit alors la valeur de ;
La condition d'équilibre étant réalisée quelle que soit la fréquence, ce réglage étant fait, on passe en sinusoïdal forcé et on règle la valeur desans modifierpour retrouver un courant d'intensité instantanée nulle, on en déduit alors la valeur de .
Le 3ème pont est le pont de Robinson[46] : voir schéma ci-contre ce pont de type « P/Q »[41], sert à mesurer la fréquence à l'aide d'une part d'un conducteur ohmique étalon de résistance variable et d'un condensateur parfait étalon de capacité fixe monté en parallèle sur une même branche et d'autre part d'un même conducteur ohmique étalon de résistance variable les deux résistances restant couplées[47] dans leur variation et d'un condensateur parfait étalon de capacité fixe monté en série sur une même autre branche, les deux autres D.P.L[25]. étant des conducteurs ohmiques étalon.
Le 3ème pont est le pont de Robinson : Vérifier que le R.D.L.A[34]. branché aux bornes du détecteur vérifie les conditions d'équivalence à un générateur de Thévenin[16] en complexe associée au r.s.f[15]. de fréquence et
Le 3ème pont est le pont de Robinson : déterminer la valeur de la fréquence en fonction des autres grandeurs étalon en écrivant la condition d'équilibre du pont en complexe[37].
Solution
Il convient bien sûr de refaire le schéma ci-dessus en complexe associée au r.s.f[15]. de fréquence dans lequel les impédances complexes sont les suivantes :
On vérifie que «» et On vérifie que «» d'où On vérifie l'existence d'un générateur de Thévenin[16] complexe équivalent au R.D.L.A[34]. branché aux bornes du détecteur.
La condition d'équilibre du pont[37] étant «»[42] s'écrit «» dont on tire l'équation suivante «» soit, en développant le numérateur du 1er membre ou «» et finalement, en identifiant les parties réelles et imaginaires de chaque membre
«» ;
il faut adapter les conducteurs ohmiques étalon de résistance et telles que «» et
la pulsation est alors telle que soit «», la fréquence s'obtenant par «».
La relation liant les deux résistances étalon «» étant réalisée, on se place en régime sinusoïdal forcé à la fréquence souhaitée et on règlepour obtenir un courant d'intensité instantanée nulle, on en déduit alors la valeur de la fréquence [48].
↑ Le dernier complexe ayant une partie réelle négative on met en facteur pour que l'autre facteur ait une partie réelle positive et que son argument se mette sous la forme d'un .
↑ On pourrait aussi prendre mais on retient la valeur qui donnera la plus petite valeur absolue à .
↑ La multiplication étant faite dans le 2ème facteur du numérateur.
↑ Bien que ce ne soit pas a priori indispensable pour en prendre l'argument, il s'avère que cela rend le calcul plus simple, la justification étant commentée ultérieurement.
↑ 9,0 et 9,1 Quand, dans un complexe, la partie réelle a un signe conditionnel alors que la partie imaginaire a un signe fixé, on met la partie imaginaire en facteur de façon à ce que la partie réelle du 2ème facteur égale à soit positive et que l'argument de ce dernier puisse s'écrire sous forme d'un .
↑ On pouvait aussi déterminer par l'argument de l'impédance complexe en mettant cette dernière sous forme algébrique soit, en multipliant haut et bas par le complexe conjugué du dénominateur, «» dont les parties réelle et imaginaire du nouveau numérateur sont ou, après simplification, dont la positivité de la partie réelle permet de mettre sous la forme d'un selon «» soit, après simplification évidente,
«».
↑ On trouve la même condition à partir de la forme de «» trouvée dans la note « 10 » plus haut dans ce chapitre, en écrivant
↑ En effet si avec réel, en identifiant parties réelles entre elles et les parties imaginaires on trouve , soit .
↑ Obtenue en faisant le rapport des parties imaginaires.
↑ 14,014,114,2 et 14,3Charles Wheatstone (1802 - 1875) physicien et inventeur anglais à qui on doit la 1ère liaison télégraphique filaire longue de près de Londres en , l'un des premiers microphones et bien sûr le pont résistif du même nom entre autres.
↑ 17,017,1 et 17,2Jacob Millman (1911 - 1991) électronicien américain né en Russie à Novohrad-Volynskyï maintenant en Ukraine, devenu américain par suite de l'émigration de ses parents, on lui doit essentiellement le théorème portant son nom.
étant la tension de sortie ouverte du P.D.T. d'impédance complexe d'attaque c'est-à-dire celle aux bornes de laquelle n'est pas définie la sortie et d'autre impédance complexe c'est-à-dire celle aux bornes de laquelle est définie la sortie, ces deux impédances complexes étant en série quand la sortie est ouverte, la tension d'entrée du P.D.T. étant d'où ;
étant la tension de sortie ouverte du P.D.T. d'impédance complexe d'attaque c'est-à-dire celle aux bornes de laquelle n'est pas définie la sortie et d'autre impédance complexe c'est-à-dire celle aux bornes de laquelle est définie la sortie, ces deux impédances complexes étant en série quand la sortie est ouverte, la tension d'entrée du P.D.T. étant d'où .
↑ 24,024,1 et 24,2 On introduira les grandeurs instantanées complexes telles que les grandeurs instantanées sinusoïdales en soient les parties imaginaires.
↑ C'est la loi de Pouillet complexe, la f.e.m. instantanée complexe de Thévenin du dipôle étant et l'impédance complexe de Thévenin , la loi de Pouillet complexe s'écrivant quand le générateur délivre un courant à un dipôle passif d'impédance complexe . Claude Servais Mathias Pouillet (1790 - 1868) physicien et homme politique français, on lui doit essentiellement des travaux portant sur la compressibilité des gaz et sur les lois expérimentales relatives à l'intensité du courant électrique dans un circuit fermé il sut préciser la notion de résistance électrique, montrer que les générateurs sont composés d'une force électromotrice pure et d'une résistance intérieure et il établit la loi qui porte son nom.
↑ Obtenue en divisant les deux membres de la relation précédente par .
↑ 39,0 et 39,1Charles Victor de Sauty (1831 - 1893) ingénieur électricien et télégraphe anglais à qui on doit essentiellement le premier câble télégraphique transatlantique.
↑ 43,0 et 43,1James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour avoir unifié en un seul ensemble d'équations « les équations de Maxwell », l'électricité, le magnétisme et l'induction fournissant, pour l'époque, le modèle le plus unifié de l'électromagnétisme ; il est également célèbre pour avoir interprété la lumière comme étant un phénomène électromagnétique ayant notamment démontré que les champs électriques et magnétiques se propagent dans l'espace sous la forme d'une onde et à la vitesse de la lumière ; ce sont ces deux découvertes qui permirent d'importants travaux ultérieurs notamment en relativité restreinte et en mécanique quantique ; il a également développé la distribution de Maxwell, une méthode statistique de description de la théorie cinétique des gaz ; il est également connu pour avoir réalisé le la 1ère photographie en vraie couleur devant les membres de la Royal Institution de Londres.
↑ Un pont universel est dit « PQ » quand les conducteurs ohmiques étalon sont croisés.
↑ 46,0 et 46,1 Recherche d'information sur l'auteur Robinsonje suppose que le nom donné au pont est celui de la personne l'ayant mis en œuvre mais je n'ai rien trouvé mis à part qu'une version un peu modifiée est appelée « pont de Wien-Robinson » Max Wien (1866 - 1938) physicien allemand à qui on doit l'oscillateur à pont dit de Wien en et le "Löschfunkensender" un générateur d'oscillations électromagnétiques légèrement amorties entre et ; il eut l'idée d'un amplificateur électronique qu'il ne réalisa pas faute de moyens, ce fût William Hewlett (1913 - 2001), ingénieur américain en électronique, cofondateur de Hewlett-Packard, qui le réalisa en .
↑ 47,0 et 47,1 C.-à-d. variant simultanément de la même façon.
↑ Ce fût une façon de mesurer la fréquence d'un générateur de fonctions sinusoïdales avant l'invention du 1er fréquencemètre en par René Barthélemy (1889 - 1954) ingénieur français qui s'est illustré comme pionnier dans la mise au point de la télévision.