En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Annexe : Exemple de série de FourierSérie et transformée de Fourier en physique/Annexe/Exemple1 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Voici quelques exemples de décomposition en série de Fourier de signaux que l’on retrouve souvent en physique.
y
(
t
)
=
{
+
Y
m
,
si
t
∈
]
0
,
T
2
[
−
Y
m
,
si
t
∈
]
T
2
,
T
[
{\displaystyle y(t)={\begin{cases}+Y_{m},&{\text{si }}t\in ]0,{\frac {T}{2}}[\\-Y_{m},&{\text{si }}t\in ]{\frac {T}{2}},T[\end{cases}}}
y
(
t
)
=
4
Y
m
π
{
sin
(
ω
t
)
+
1
3
sin
(
3
ω
t
)
+
…
+
1
2
n
+
1
sin
[
(
2
n
+
1
)
ω
t
]
+
…
}
{\displaystyle y(t)={\frac {4Y_{m}}{\pi }}\left\{\sin(\omega t)+{\frac {1}{3}}\sin(3\omega t)+\ldots +{\frac {1}{2n+1}}\sin \left[\left(2n+1\right)\omega t\right]+\ldots \right\}}
y
(
t
)
=
4
Y
m
π
∑
n
=
0
∞
1
2
n
+
1
sin
[
(
2
n
+
1
)
ω
t
]
{\displaystyle y(t)={\frac {4Y_{m}}{\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}\sin \left[\left(2n+1\right)\omega t\right]}
Exemple en reprenant les premiers rangs d'harmoniques.
y
(
t
)
=
{
0
,
si
t
∈
]
0
,
α
[
+
Y
m
,
si
t
∈
]
α
,
T
2
−
α
[
0
,
si
t
∈
]
T
2
−
α
,
T
2
+
α
[
−
Y
m
,
si
t
∈
]
T
2
+
α
,
T
−
α
[
0
,
si
t
∈
]
T
−
α
,
T
[
{\displaystyle y(t)={\begin{cases}0,&{\text{si }}t\in ]0,\alpha [\\+Y_{m},&{\text{si }}t\in ]\alpha ,{\frac {T}{2}}-\alpha [\\0,&{\text{si }}t\in ]{\frac {T}{2}}-\alpha ,{\frac {T}{2}}+\alpha [\\-Y_{m},&{\text{si }}t\in ]{\frac {T}{2}}+\alpha ,T-\alpha [\\0,&{\text{si }}t\in ]T-\alpha ,T[\\\end{cases}}}
y
(
t
)
=
4
Y
m
π
{
cos
(
α
)
sin
(
ω
t
)
+
cos
(
3
α
)
3
sin
(
3
ω
t
)
+
…
+
cos
[
(
2
n
+
1
)
α
]
2
n
+
1
sin
[
(
2
n
+
1
)
ω
t
]
+
…
}
{\displaystyle y(t)={\frac {4Y_{m}}{\pi }}\left\{\cos(\alpha )\sin(\omega t)+{\frac {\cos(3\alpha )}{3}}\sin(3\omega t)+\ldots +{\frac {\cos[(2n+1)\alpha ]}{2n+1}}\sin \left[\left(2n+1\right)\omega t\right]+\ldots \right\}}
y
(
t
)
=
4
Y
m
π
∑
n
=
0
∞
cos
[
(
2
n
+
1
)
α
]
2
n
+
1
sin
[
(
2
n
+
1
)
ω
t
]
{\displaystyle y(t)={\frac {4Y_{m}}{\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\cos[(2n+1)\alpha ]}{2n+1}}\sin \left[\left(2n+1\right)\omega t\right]}
Démonstration
A
k
=
2
2
π
∫
0
2
π
y
(
θ
)
s
i
n
(
k
θ
)
d
θ
{\displaystyle A_{k}={\frac {2}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{y\left(\theta \right)sin\left(k\theta \right)\mathrm {d} \theta }}
A
k
=
2
2
π
[
∫
α
π
−
α
Y
M
s
i
n
(
k
θ
)
d
θ
+
∫
π
+
α
2
π
−
α
−
Y
M
s
i
n
(
k
θ
)
d
θ
]
{\displaystyle A_{k}={\frac {2}{2\pi }}\left[\int _{\alpha }^{\pi -\alpha }{Y_{M}sin\left(k\theta \right)\mathrm {d} \theta }+\int _{\pi +\alpha }^{2\pi -\alpha }{-Y_{M}sin\left(k\theta \right)\mathrm {d} \theta }\right]}
A
k
=
2
Y
M
2
π
{
[
−
c
o
s
(
k
θ
)
k
]
α
π
−
α
+
[
c
o
s
(
k
θ
)
k
]
α
+
π
2
π
−
α
}
{\displaystyle A_{k}={\frac {2Y_{M}}{2\pi }}\left\{\left[{\frac {-cos\left(k\theta \right)}{k}}\right]_{\alpha }^{\pi -\alpha }+\left[{\frac {cos\left(k\theta \right)}{k}}\right]_{\alpha +\pi }^{2\pi -\alpha }\right\}}
A
k
=
Y
M
k
π
[
−
c
o
s
(
k
π
−
k
α
)
+
c
o
s
(
k
α
)
+
c
o
s
(
2
k
π
−
k
α
)
−
c
o
s
(
k
π
+
k
α
)
]
{\displaystyle A_{k}={\frac {Y_{M}}{k\pi }}\left[-cos\left(k\pi -k\alpha \right)+cos\left(k\alpha \right)+cos\left(2k\pi -k\alpha \right)-cos\left(k\pi +k\alpha \right)\right]}
A
k
=
Y
M
k
π
[
−
c
o
s
(
k
π
)
c
o
s
(
k
α
)
−
s
i
n
(
k
π
)
s
i
n
(
k
α
)
+
c
o
s
(
k
α
)
+
c
o
s
(
2
k
π
)
c
o
s
(
k
α
)
+
s
i
n
(
2
k
π
)
s
i
n
(
k
α
)
−
c
o
s
(
k
π
)
c
o
s
(
k
α
)
+
s
i
n
(
k
π
)
s
i
n
(
k
α
)
]
{\displaystyle A_{k}={\frac {Y_{M}}{k\pi }}\left[{\begin{matrix}-cos\left(k\pi \right)cos\left(k\alpha \right)-sin\left(k\pi \right)sin\left(k\alpha \right)\\+cos\left(k\alpha \right)\\+cos\left(2k\pi \right)cos\left(k\alpha \right)+sin\left(2k\pi \right)sin\left(k\alpha \right)\\-cos\left(k\pi \right)cos\left(k\alpha \right)+sin\left(k\pi \right)sin\left(k\alpha \right)\end{matrix}}\right]}
A
k
=
Y
M
k
π
[
−
2
c
o
s
(
k
π
)
c
o
s
(
k
α
)
+
2
c
o
s
(
k
α
)
]
{\displaystyle A_{k}={\frac {Y_{M}}{k\pi }}\left[-2cos\left(k\pi \right)cos\left(k\alpha \right)+2cos\left(k\alpha \right)\right]}
A
k
=
Y
M
k
π
[
(
−
2
c
o
s
(
k
π
)
+
2
)
c
o
s
(
k
α
)
]
{\displaystyle A_{k}={\frac {Y_{M}}{k\pi }}\left[\left(-2cos\left(k\pi \right)+2\right)cos\left(k\alpha \right)\right]}
A
k
=
Y
M
k
π
[
(
−
2
(
−
1
)
k
+
2
)
c
o
s
(
k
α
)
]
{\displaystyle A_{k}={\frac {Y_{M}}{k\pi }}\left[\left(-2\left(-1\right)^{k}+2\right)cos\left(k\alpha \right)\right]}
Pour tout k pair,
A
k
{\displaystyle A_{k}}
est nul.
Pour k impair (k = 2n+1, n >= 0), on a