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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Techniques de prédictions : Décomposition paritaire de l'échantillon Techniques de prédictions/Décomposition paritaire de l'échantillon », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Décomposer un échantillon Prédictifiable à variable explicative équirépartie en la somme de deux échantillons, l'un impair, l'autre pair. Rappel de la forme d'un EPIC ( Echantillon Prédictifiable Idéal Complet ) EPIC : Sans trou 4n+1 données :
[
(
−
2
n
,
y
−
2
n
)
(
−
2
n
+
1
,
y
−
2
n
+
1
)
.
.
.
(
−
1
,
y
−
1
)
(
0
,
y
0
)
(
1
,
y
1
)
.
.
.
(
2
n
−
1
,
y
2
n
−
1
)
(
2
n
,
y
2
n
)
]
{\displaystyle [(-2n,y_{-2n})(-2n+1,y_{-2n+1})...(-1,y_{-}1)(0,y_{0})(1,y_{1})...(2n-1,y_{2n-1})(2n,y_{2n})]}
après réduction de x avec n>0 entier.
La plage de la variable x explicative est constituée des nombres relatifs entiers de -4n à +4n :
[
−
2
n
,
−
2
n
+
1
,
.
.
.
,
−
1
,
0
,
1
,
.
.
.
,
2
n
−
1
,
2
n
]
{\displaystyle [-2n,-2n+1,...,-1,0,1,...,2n-1,2n]}
Rappel de la forme d'un EPC ( Echantillon Prédictifiable Pair Complet ) EPC Sans trou 4n données :
[
(
−
4
n
−
1
,
y
−
4
n
+
1
)
.
.
.
(
−
3
,
y
−
3
)
(
−
1
,
y
−
1
)
(
1
,
y
1
)
(
3
,
y
3
)
.
.
.
(
4
n
+
1
,
y
4
n
−
1
)
]
{\displaystyle [(-4n-1,y_{-4n+1})...(-3,y_{-3})(-1,y_{-}1)(1,y_{1})(3,y_{3})...(4n+1,y_{4n-1})]}
La plage de la variable x explicative est constituée des nombres relatifs entiers de -4n à +4n :
[
−
4
n
,
−
4
n
+
2
,
.
.
.
,
−
1
,
1
,
.
.
.
,
4
n
−
2
,
4
n
]
{\displaystyle [-4n,-4n+2,...,-1,1,...,4n-2,4n]}
L'idée est de s’inspirer de ce quis e fait pour la décomposition d'une fonction en une paire et une impaire comme indiqué dans w:fr:Fonction_paire#Partie_paire_et_partie_impaire_d'une_fonction]]
Ici ,décomposer l'échantillon en un échantillon pair et un échantillon impair, cette décomposition étant unique.
Partie impaire yi* telle que :
y
i
∗
t
=
y
∗
t
−
y
∗
−
t
2
{\displaystyle yi*_{t}={\frac {y*_{t}-y*_{-t}}{2}}}
y
i
∗
−
t
=
y
∗
−
t
−
y
∗
t
2
=
−
y
s
∗
t
{\displaystyle yi*_{-t}={\frac {y*_{-t}-y*_{t}}{2}}=-ys*_{t}}
Partie paire yp* telle que :
y
p
∗
t
=
y
∗
t
+
y
∗
−
t
2
{\displaystyle yp*_{t}={\frac {y*_{t}+y*_{-t}}{2}}}
y
p
∗
−
t
=
y
∗
t
+
y
∗
−
t
2
{\displaystyle yp*_{-t}={\frac {y*_{t}+y*_{-t}}{2}}}
Ce qui donne bien à l'inverse :
y
∗
−
t
=
y
p
∗
−
t
t
−
y
i
∗
−
t
t
{\displaystyle y*_{-t}=yp*_{-t}t-yi*_{-t}t}
y
∗
t
=
y
p
∗
t
+
y
i
∗
t
{\displaystyle y*_{t}=yp*_{t}+yi*_{t}}
devient somme de y*i échantillon impair et y*p échantillon pair:
y
∗
i
=
[
(
−
2
n
,
y
−
2
n
−
y
2
n
2
)
(
−
2
n
+
1
,
y
−
2
n
+
1
−
y
2
n
−
1
2
)
.
.
.
(
−
1
,
y
−
1
−
y
1
2
)
(
0
,
0
)
(
1
,
y
1
−
y
−
1
2
)
.
.
.
(
−
2
n
+
1
,
y
2
n
−
1
−
y
−
2
n
+
1
2
)
(
2
n
,
y
2
n
−
y
−
2
n
)
2
]
{\displaystyle y*i=[(-2n,{\frac {y_{-2n}-y_{2n}}{2}})(-2n+1,{\frac {y_{-2n+1}-y_{2n-1}}{2}})...(-1,{\frac {y_{-1}-y_{1}}{2}})(0,0)(1,{\frac {y_{1}-y_{-1}}{2}})...(-2n+1,{\frac {y_{2n-1}-y_{-2n+1}}{2}})(2n,{\frac {y_{2n}-y_{-2n})}{2}}]}
y
∗
p
=
[
(
−
2
n
,
y
−
2
n
+
y
2
n
2
)
(
−
2
n
+
1
,
y
−
2
n
+
1
+
y
2
n
−
1
2
)
.
.
.
(
−
1
,
y
−
1
+
y
1
2
)
(
0
,
y
0
)
(
1
,
y
1
+
y
−
1
2
)
.
.
.
(
−
2
n
+
1
,
y
2
n
−
1
+
y
−
2
n
+
1
2
)
(
2
n
,
y
2
n
+
y
−
2
n
)
2
]
{\displaystyle y*p=[(-2n,{\frac {y_{-2n}+y_{2n}}{2}})(-2n+1,{\frac {y_{-2n+1}+y_{2n-1}}{2}})...(-1,{\frac {y_{-1}+y_{1}}{2}})(0,y_{0})(1,{\frac {y_{1}+y_{-1}}{2}})...(-2n+1,{\frac {y_{2n-1}+y_{-2n+1}}{2}})(2n,{\frac {y_{2n}+y_{-2n})}{2}}]}
devient somme de y*i échantillon impair et y*p échantillon pair:
y
∗
i
=
[
(
−
4
n
−
1
,
y
−
4
n
+
1
−
y
4
n
−
1
2
)
.
.
.
(
−
3
,
y
−
3
−
y
3
2
)
(
−
1
,
y
−
1
−
y
1
2
)
(
1
,
y
1
−
y
−
1
2
)
(
3
,
y
3
−
y
−
3
2
)
.
.
.
(
4
n
+
1
,
y
4
n
−
1
−
y
−
4
n
+
1
2
)
]
{\displaystyle y*i=[(-4n-1,{\frac {y_{-4n+1}-y_{4n-1}}{2}})...(-3,{\frac {y_{-3}-y_{3}}{2}})(-1,{\frac {y_{-1}-y_{1}}{2}})(1,{\frac {y_{1}-y_{-1}}{2}})(3,{\frac {y_{3}-y_{-3}}{2}})...(4n+1,{\frac {y_{4n-1}-y_{-4n+1}}{2}})]}
y
∗
p
=
[
(
−
4
n
−
1
,
y
−
4
n
+
1
+
y
4
n
−
1
2
)
.
.
.
(
−
3
,
y
−
3
+
y
3
2
)
(
−
1
,
y
−
1
+
y
1
2
)
(
1
,
y
1
+
y
−
1
2
)
(
3
,
y
3
+
y
−
3
2
)
.
.
.
(
4
n
+
1
,
y
4
n
−
1
+
y
−
4
n
+
1
2
)
]
{\displaystyle y*p=[(-4n-1,{\frac {y_{-4n+1}+y_{4n-1}}{2}})...(-3,{\frac {y_{-3}+y_{3}}{2}})(-1,{\frac {y_{-1}+y_{1}}{2}})(1,{\frac {y_{1}+y_{-1}}{2}})(3,{\frac {y_{3}+y_{-3}}{2}})...(4n+1,{\frac {y_{4n-1}+y_{-4n+1}}{2}})]}
La décomposition paritaire est naturelle et couvre tous les cas d'échantillons.
Elle peut comporter soit un seul échantillon, pair ou impair, identique à l'original, soit un pair et un impair si l'original est ni l'un ni l'autre.
Exemples de décompositions [(x,y)]:
3 données ( cas particulier )
[
(
−
1
,
4
)
(
0
,
−
1
)
(
1
,
2
)
]
=
i
[
(
−
1
,
1
)
(
0
,
0
)
(
1
,
−
1
)
]
+
p
[
−
1
,
3
)
(
0
,
−
1
)
(
1
,
3
)
]
{\displaystyle [(-1,4)(0,-1)(1,2)]=i[(-1,1)(0,0)(1,-1)]+p[-1,3)(0,-1)(1,3)]}
4 données ( EPC )
[
(
−
2
,
4
)
(
−
1
,
−
1
)
(
1
,
2
)
(
2
,
−
2
)
]
=
i
[
(
−
2
,
3
)
(
−
1
,
−
1
)
(
1
,
1
)
(
2
,
−
3
)
]
+
p
[
(
−
2
,
−
1
)
(
−
1
,
0.5
)
(
1
,
0.5
)
(
2
,
−
1
)
]
{\displaystyle [(-2,4)(-1,-1)(1,2)(2,-2)]=i[(-2,3)(-1,-1)(1,1)(2,-3)]+p[(-2,-1)(-1,0.5)(1,0.5)(2,-1)]}
5 données ( EPIC )
[
(
−
2
,
4
)
(
−
1
,
−
1
)
(
1
,
2
)
(
2
,
−
2
)
(
1
,
1
)
]
=
i
[
(
−
2
,
1
)
(
−
3
/
2
,
1
/
2
)
(
0
,
0
)
(
−
1
/
2
,
3
/
2
)
(
2
,
−
1
)
]
+
p
[
(
−
1
/
2
,
5
/
2
)
(
1
/
2
,
−
3
/
2
)
(
1
,
2
)
(
1
/
2
,
−
3
/
2
)
(
−
1
/
2
,
5
/
2
)
]
{\displaystyle [(-2,4)(-1,-1)(1,2)(2,-2)(1,1)]=i[(-2,1)(-3/2,1/2)(0,0)(-1/2,3/2)(2,-1)]+p[(-1/2,5/2)(1/2,-3/2)(1,2)(1/2,-3/2)(-1/2,5/2)]}
8, 9,12,13,4n,4n+1 Chaque composante de l'échantillon sera analysée indépendamment de l'autre.
Elle sera comparée et identifiée à des fonctions ou à des compositions linéaires de fonctions connues ou construites. Rien que des paires pour la composante paire, rien que des impaires pour la composante impaire. Si le nombre de données de la composante 'échantillon est 4k+1 ( EPIC ), le nombre de paramètres de chaque ensemble à identifier sera égal à k.
5 données : 2 paramètres.....................
comme pour 3 données
exemples :
A
∗
s
i
n
h
(
w
x
)
;
A
∗
c
o
s
(
w
x
)
;
A
∗
x
k
;
A
∗
e
−
w
x
2
;
A
∗
s
i
n
h
(
w
1
x
)
∗
e
−
w
x
2
;
A
∗
c
o
s
h
(
w
1
x
)
∗
e
−
w
x
2
.
.
.
{\displaystyle A*sinh(wx);A*cos(wx);A*x^{k};A*e^{-wx^{2}};A*sinh(w_{1}x)*e^{-wx^{2}};A*cosh(w_{1}x)*e^{-wx^{2}}...}
cas particuliers 7 données : 3 paramètres 1fonction
a
∗
c
o
s
(
w
1
x
)
∗
e
−
w
2
x
2
.
.
.
{\displaystyle a*cos(w_{1}x)*e^{-w_{2}x^{2}}...}
9 données : 4 paramètres.....................
2 fonctions avec 2 coefficients liés à chaque x de chaque fonction ; 2 pour chaque échelle.
exemples :
a
∗
s
i
n
h
(
w
1
x
)
+
b
∗
s
i
n
(
w
2
x
)
;
a
∗
e
−
w
1
x
2
+
b
∗
c
o
s
(
w
2
x
)
;
.
.
.
{\displaystyle a*sinh(w_{1}x)+b*sin(w_{2}x);a*e^{-w_{1}x^{2}}+b*cos(w_{2}x);...}
OU
1 fonctions avec 1 coefficient d'échelle, 1 lié à la fonction et 2 liés au x.
exemples :
a
∗
s
i
n
2
i
+
1
(
w
x
2
j
+
1
)
;
a
∗
s
i
n
2
i
(
w
x
2
j
)
;
a
∗
c
o
s
i
(
w
1
x
)
∗
e
−
w
2
x
2
{\displaystyle a*sin^{2i+1}(wx^{2j+1});a*sin^{2i}(wx^{2j});a*cos^{i}(w_{1}x)*e^{-w_{2}x^{2}}}
Autres simulations possibles Si le nombre de données de la composante de l'échantillon est 4k ( EPC ), le nombre de paramètres de chaque ensemble à identifier sera égal à k plus la valeur pour le zéro de la variable explicative.
4 données : 3 paramètres à identifier constitutifs des fonctions à identifier
8 données : 5 paramètres
12 données : 7 paramètres
![{\displaystyle [(-2n,y_{-2n})(-2n+1,y_{-2n+1})...(-1,y_{-}1)(0,y_{0})(1,y_{1})...(2n-1,y_{2n-1})(2n,y_{2n})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/277e8481aa5adf6ba92780fb835ce1608d9072e7)
![{\displaystyle [-2n,-2n+1,...,-1,0,1,...,2n-1,2n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88bbaa270ab793d77fe4b6aa695a7e091996a1e4)
![{\displaystyle [(-4n-1,y_{-4n+1})...(-3,y_{-3})(-1,y_{-}1)(1,y_{1})(3,y_{3})...(4n+1,y_{4n-1})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9407f6dd05ea753e8681512b7f539f278c6cb1d2)
![{\displaystyle [-4n,-4n+2,...,-1,1,...,4n-2,4n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbc276360f7ec241cca66144d9f7a1f7166b0025)
![{\displaystyle y*i=[(-2n,{\frac {y_{-2n}-y_{2n}}{2}})(-2n+1,{\frac {y_{-2n+1}-y_{2n-1}}{2}})...(-1,{\frac {y_{-1}-y_{1}}{2}})(0,0)(1,{\frac {y_{1}-y_{-1}}{2}})...(-2n+1,{\frac {y_{2n-1}-y_{-2n+1}}{2}})(2n,{\frac {y_{2n}-y_{-2n})}{2}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90d52dabb0b0412bcf6b587176bfacf148809bc5)
![{\displaystyle y*p=[(-2n,{\frac {y_{-2n}+y_{2n}}{2}})(-2n+1,{\frac {y_{-2n+1}+y_{2n-1}}{2}})...(-1,{\frac {y_{-1}+y_{1}}{2}})(0,y_{0})(1,{\frac {y_{1}+y_{-1}}{2}})...(-2n+1,{\frac {y_{2n-1}+y_{-2n+1}}{2}})(2n,{\frac {y_{2n}+y_{-2n})}{2}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b27d4d822fc1b1b88e073e1bad46f23ebe70fb6)
![{\displaystyle y*i=[(-4n-1,{\frac {y_{-4n+1}-y_{4n-1}}{2}})...(-3,{\frac {y_{-3}-y_{3}}{2}})(-1,{\frac {y_{-1}-y_{1}}{2}})(1,{\frac {y_{1}-y_{-1}}{2}})(3,{\frac {y_{3}-y_{-3}}{2}})...(4n+1,{\frac {y_{4n-1}-y_{-4n+1}}{2}})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/056d93ea049e6e631310318a322fcf99dddb19b7)
![{\displaystyle y*p=[(-4n-1,{\frac {y_{-4n+1}+y_{4n-1}}{2}})...(-3,{\frac {y_{-3}+y_{3}}{2}})(-1,{\frac {y_{-1}+y_{1}}{2}})(1,{\frac {y_{1}+y_{-1}}{2}})(3,{\frac {y_{3}+y_{-3}}{2}})...(4n+1,{\frac {y_{4n-1}+y_{-4n+1}}{2}})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/947f89a34570eaa0fb635b7c6bc21692149d90c8)
![{\displaystyle [(-1,4)(0,-1)(1,2)]=i[(-1,1)(0,0)(1,-1)]+p[-1,3)(0,-1)(1,3)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcc5171249f924d51a63be27ba620fa88e0c67bd)
![{\displaystyle [(-2,4)(-1,-1)(1,2)(2,-2)]=i[(-2,3)(-1,-1)(1,1)(2,-3)]+p[(-2,-1)(-1,0.5)(1,0.5)(2,-1)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d24fb830d4513f00de12a287863fd49619f4ae5)
![{\displaystyle [(-2,4)(-1,-1)(1,2)(2,-2)(1,1)]=i[(-2,1)(-3/2,1/2)(0,0)(-1/2,3/2)(2,-1)]+p[(-1/2,5/2)(1/2,-3/2)(1,2)(1/2,-3/2)(-1/2,5/2)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c3a569069fcf2015594bac447cd1fd7b97acac7)
