Recherche:Techniques de prédictions/Analyse par fonction polynômiale

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Analyse par fonction polynômiale
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Chapitre no 6
Recherche : Techniques de prédictions
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Techniques de prédictions/Analyse par fonction polynômiale
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Procédure[modifier | modifier le wikicode]

Suivre les étapes de 1/ à 7/ :
1/ Se fixer un nombre de données impair.
2/ Décomposer l'échantillonnage en partie paire et partie impaire
3/ Traiter la partie impaire. Déterminer le polynôme impair représentatif.
4/ Amortir le polynôme et envisager des limites opposées à l'infini ou nulles.
5/ Traiter la partie paire. Déterminer le polynôme impair représentatif
6/ Amortir le polynôme et envisager une limite commune à l'infini ou nulles.
7/ Additionner les 2 polynômes.
On obtient une forme ainsi :
Pour les étapes 3/ et 5/, il faut pour chaque partie paire et impaire :
A/ Déterminer les différentes formes possibles. Pour cela envisager les possibilités suivantes : existence d'une inflexion, d'un extrémum relatif, ou aucune particularité au niveau de chaque donnée.
REGLE DU PRINCIPE DE CONSTRUCTION : Aucun extrémum et aucune inflexion ne sera possible et envisagée entre deux valeurs successives de la variable explicative x. La courbe qui sera obtenue ne sera pas une interpolation exacte mais elle sera représentative de l'évolution des données autour et au voisinage de chacune d'elles donc représentative de l'évolution générale du phénomène échantillonné. Le polynôme sera cohérent avec celle-ci et permettra une bonne extrapolation, une fois amorti et limité, ni trop, ni trop peu, en fonction des données connues. Dans le cas de prédiction les opérations de test générales restent à effectuer.
B/ Dégager les différentes combinaisons possibles sur l’ensemble des données.
C/ Déterminer les différentes équations équations correspondantes.
D/ Modifier et ajuster les équations afin d’amortir les variations extérieures à la plage en envisageant l’existence ou non d'une limite à l'infini.
E/ Déterminer les inconnues crées introduites ainsi à l'aide des données de la partie de l'échantillon .
Remarques :
A un extrémum relatif pour la variable explicative correspond une dérivée première de la forme , P(x) impair.
À une inflexion pour la variable explicative correspond une dérivée seconde de la forme , P(x)pair.
La partie impaire est de la forme avec P(x) pair.
La partie paire est de la forme avec P(x) pair.
Seront bientôt affichées des images représentatives des différents cas.

Cas de 3 données pour introduction[modifier | modifier le wikicode]

Exemple :;

Général :

Partie impaire[modifier | modifier le wikicode]

Exemple :

Général :

Recherche de la courbe polynomiale passant par et
Formes d'arrivées possibles en A ( la même en son symétrique par rapport à O ) :
1/Continuation de la monotonie ( aucun changement de la nature du polynôme ).
2/Inflexion ( changement de signe de la dérivée seconde ).
3/Extrémum ( minimum ou maximum ).
En x, existence d'un point d'inflexion avec tangente quelconque de 0 à infini, ou pas de point d'inflexion.
Équations correspondantes de la courbe polynomiale OA :
On pose
1a/ pas d'inflexion ni en O ni en A :, impaire avec
soit mais alors donc il y a inflexion ce qui est contraire à l'hypothèse de départ. Cas impossible.
1b/ inflexion en O, pas en A :
en O signe d'inflexion d'où , impaire
avec .
soit

2a/ pas d'inflexion en O, inflexion en A : d'où soit
impossible car y est impaire pas paire.
2b/ inflexions en O et A :
soit d'où :

soit ).
3a/ pas d'inflexion en O, extrémum en A :
impossible car alors en ce qui voudrait dire inflexion en O, contraire à l'hypothèse.
3b/ inflexion en O, extrémum en A :
d'où avec soit :

On voit bien que dès lors qu’il y a une variation de dérivée en O ( variation de vitesse ), il y a aussi inflexion nécessairement ( ce qui aurait pu être démontré par l'imparité de y et y" ). Les cas 1b, 2b, 3b sont seuls à être retenus.
Cas N° allure en O:x_0=0 allure en A:x_1=1 nature de y" nature de y' calcul de y Nom du polynôme k k1
1b inflexion continu P1i3 impair 3données
2b inflexion inflexion P2i3 impair 3données
3b inflexion extrémum ) P3i3 impair 3données

Partie paire[modifier | modifier le wikicode]

Exemple:

</math> Général :

Recherche de la courbe polynomiale passant par et
Formes d'arrivées possibles en A ( la même en son symétrique par rapport à Oy ) :
1/Continuation de la monotonie ( aucun changement de la nature du polynôme ).
2/Inflexion ( changement de signe de la dérivée seconde ).
3/Extrémum ( minimum ou maximum ).
En x, existence d'un extrémum avec tangente horizontale.
Équations correspondantes de la courbe polynomiale OA :
On pose et
1/ extrémum en O, pas d'inflexion en A :
, paire avec soit :

2/ extrémum en O, inflexion en A :
Échec d'analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle y"=k(x^2-1)} d'où d'où avec enfin :

Cas N° allure enO:x_0=0 allure en A:x_1=1 nature de y" nature de y' calcul de y Nom du polynôme k k1
1 extrémum continu P1p3 pair 3 données
2 extrémum inflexion P2p3 pair 3 données

Conclusion : polynômes résultants[modifier | modifier le wikicode]

Cas général[modifier | modifier le wikicode]

On fait la somme d'un polynôme pair et impair. Il y a 6 = 3impairesx2paires combinaisons possibles selon les configurations en O et A. La suite des valeurs Échec d'analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle y_2,y_3…} , analysées spécifiquement, indiqueront quelle est la fonction prédictive.

Les 2 premières combinaisons laissent la porte ouverte à de multiples possibilités selon k( différent de 0 ). Malgré l'interrogation soulevée, ce sera pourtant la porte de sortie une fois balayé les 6 autres combinaisons pour avoir un horizon prédictif suffisant.

Il semble étonnant qu’à partir de 3 données on puisse parfois déterminer un horizon prédictif et pourtant c’est bien le cas : nous sommes dans le cas de l'effet papillon bien connu .

Exemple[modifier | modifier le wikicode]

Exemple :
vérifié exact
vérifié exact
vérifié exact
vérifié exact.
vérifié exact.
vérifié exact.
On voit bien la nécessité que, tout en ayant l'allure de l'évolution future, il est nécessaire d’amortir tout de suite les résultats pour en obtenir une valeur plus conforme à leur devenir.

Première approche globale de l’amortissement et des limites[modifier | modifier le wikicode]

En amortissement simple brut global, avec les ci-dessus, la forme du polynôme à obtenir est :

L’amortissement exponentiel offre des valeurs inférieures à 1 tendant vers 0 pour x infini, les w fixant la vitesse de décroissance, les m donnant les limites à l'infini.
D'autres formes sont possibles en adjoignant certaines fonctions comme sinus en facteur à l'exponentielle ou en remplaçant l'exponentielle par une somme d'exponentielles dont la somme des coefficients est 1.
On note qu'éventuellement seule la limite pour +infini est intéressante dans le cas d'une extrapolation à droite.
D'où, dans ce cas, la forme à trouver :
L’amortissement induit la création d'une espèce de polynôme amorti de régression. La détermination de w se fera de préférence par la minimisation de la somme des carrés des écarts des valeurs du polynôme à celles amorties.
Il y aura à se poser la question de la sélection du ou des polynômes résultants représentatifs après amortissement.
Les problèmes sont de savoir s'il faut amortir chaque polynôme pair et impair trouvé séparément, ou seulement les polynômes résultants, et par rapport à quoi amortir. La logique voudrait que les valeurs de x testées soit aussi réparties en échantillonnages pair et impair et que les tests soient indépendants. Il s'agira de déterminer k1 ( dans le cas de 3 données ), les 2 m et les 3 w d’amortissement.
Le fait de travailler les polynômes sur 3 données est intéressant car il fait intervenir uniquement la dynamique mathématique de l'instant, dynamique de l'instant qui influe le cours du futur, d'où une aide à la prise de décision à court et moyen terme ( applicable peut-être en bourse ). Le paramètre k1 indéfini contrarie cet apport. Travailler sur 5 données au minimum efface cet aléa.
Le fait de travailler sur des échantillonnages plus grands fait intervenir l’ensemble et la succession des dynamiques instantanée ( on le verra sur 5 données ) et complexifie les recherches pas forcément utilement.
Le fait de travailler sur des moyennes par classes donne la tendance générale de la dynamique, ce qui se révèle utile pour une vision globale.

Cas de 5 données[modifier | modifier le wikicode]

Exemple :;

Général :

Partie impaire[modifier | modifier le wikicode]

Exemple :;

Général :

Le but est de chercher et de trouver une courbe polynomiale passant par les 5 couples
Les 6 cas de configuration de la courbe impaire pour 7 données ( symétrique pour x négatif par rapport à O). Déduction de l'équation de y", puis y', puis enfin y(x)impaire. Sur ces 6 cas , seules la 1 et la 3 permettent de trouver une courbe passant par les 5 points.
Cas N° allure en x_0=0 allure en x_1=1 allure en x_2=2 nature de y" nature de y' calcul de y Nom du polynôme k k1
1 inflexion continu continu P1i5 impair 5données
2 inflexion continu extrémum + inflexion P2i5 impair 5données
3 inflexion inflexion continu P3i5 impair 5données
4 inflexion inflexion extrémum + extrémum P4i5 impair 5données
5 inflexion extrémum + inflexion inflexion P5i5 impair 5données
6 inflexion extrémum + inflexion continu P6i5 impair 5données
Les valeurs de et permettront de déterminer les deux inconnues et .

Partie paire[modifier | modifier le wikicode]

Exemple :;

Général :

Le but est de chercher et de trouver une courbe polynomiale passant par les 5 couples
Les 5 cas de configuration de la courbe paire pour 7 données ( symétrique pour x négatif par rapport à Oy ). Déduction de l'équation de y", puis y', puis enfin y(x)impaire.

À RECALCULER

Cas N° allure en x_0=0 allure en x_1=1 allure en x_2=2 nature de y" nature de y' calcul de y Nom du polynôme k k1
1 extrémum + inflexion continu continu P1p5 pair 5données
2 extrémum + inflexion continu inflexion P2p5 pair 5données
3 extrémum + inflexion inflexion continu P3p5 pair 5données
4 extrémum + inflexion inflexion extrémum P4p5 pair 5données
5 extrémum + inflexion inflexion inflexion P6p5 pair 5données
6 extrémum inflexion extrémum + inflexion P4p5 pair 5données
7 extrémum + inflexion inflexion extrémum + inflexion P4p5 pair 5données
Les valeurs de et permettront de déterminer les deux inconnues et .

Conclusion : polynômes résultants non amortis[modifier | modifier le wikicode]

Les 30 polynômes sommes d'un des 6 polynômes impairs et d'un des 5 polynômes pairs sont possibles en tant que modélisation de l'échantillon de 5 données.

Amortir un polynôme[modifier | modifier le wikicode]

Modéliser un échantillon par un polynôme de Lagrange ou comme ci-dessus pour 3 et 5 données n'est valable que pour une interpolation.
Faire une modélisation prédictive en extrapolation nécessite d’amortir ce polynôme pour que la valeur à l'infini atteigne une limite nulle ou quelconque.
Pour pouvoir utiliser ce polynôme ou tout autre polynôme, comme ceux créés ci-dessus, pour une extrapolation, il est nécessaire de les amortir à l'extérieur par une formule qui conserve leur valeurs pour celles déjà connues. l
L'idée d’amortissement est d'ajouter une exponentielle ou une combinaison linéaire d'exponentielles, toutes décroissantes vers 0 et conservant les valeurs qui ont servi à construire le polynôme, sans oublier qu’il peut y avoir une limite non nulle à l'infini au phénomène et que c’est donc la différence à celle-ci qu’il faut amortir.
Pour ceux créés ci-dessus, l’idée est de traiter indépendamment les polynômes pairs de base modélisant la partie paire de l'échantillonnage et les polynômes impairs de base modélisant la partie impaire de l'échantillonnage. Soit et les polynômes amortis. De faire ensuite la résultante par addition des polynômes pairs et impairs amortis sélectionnés et retenus.
Formes possibles des polynômes impairs amortis
avec
Formes possibles des polynômes pairs amortis
avec
APPLICATION POUR 5 DONNÉES :
Échantillon :
Exemple :;

Général :

Partie impaire :
Exemple :;

Général :

Partie paire :
Exemple :;

Général :

On peut remplacer les monômes facteurs des exponentielles par des fonctions respectivement impaires et paires ( exemple : sin, cos ).
L'introduction de 4 paramètres supplémentaires nécessite la considération de plus de couples afin de les déterminer ou bien d'examiner la somme des carrés des écarts de données supplémentaires aux valeurs du polynôme amorti.

Conclusion : polynômes résultants amortis[modifier | modifier le wikicode]

Pour 5 données : les 30 polynômes, sommes d'un des 6 polynômes impairs amortis et d'un des 5 polynômes pairs amortis sont des modélisations prédictives possibles de l'échantillon de 5 données.
Parmi ceux-ci seuls ceux sélectionnés par les tests seront retenus pour la modélisation prédictive.

Cas de 7 données[modifier | modifier le wikicode]

Cas de 9 données[modifier | modifier le wikicode]

Cas de 2n+1 données[modifier | modifier le wikicode]