Recherche:Densité de probabilité d'une valeur et d'un couple/Modélisation de la densité et de la probabilité analytique d'une valeur chronologique

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Bonjour,

Cette recherche est venue en cherchant à déterminer la probabilité $P(y*)$ d’avoir $Y\geq y*$, ou bien $1-p(y*)$ d’avoir $Y\leq y*$, y étant une fonction fx) de x assez régulière.

Densité de probabilité et probabilité de point et de valeur $y*=f(x*)$ dans 5 cas simples

Cas d'un point sur un segment M0M1

Soit un doublet de points M0(x0,y0) et M1(x1,y1) et un point M*(x*,y*) sur le segment M0M1.

On peut définir une probabilité de point P* appartenant à {0,1} telle que P(y*<y0)=0 et p(y*<y1)=1 avec bijection entre y* et P(y*).

$p(y*)=|{\frac {dP(y*)}{dy*}}|=|{\frac {dx*}{dy*}}|=|{\frac {x_{1}-x_{0}}{y_{1}-y_{0}}}|$

$dP(y)=|{\frac {x1-x0}{y1-y0}}\times dy*|$

$P(y*)=|{\frac {x1-x0}{y1-y0}}\times (y*-y0)|$

P(y*) a les qualités et les propriétés d'une probabilité car il varie entre 0 et 1 quand y* varie de y0 à y1 pour MOM1 croissant et de 1 à 0 pour M0M1 décroissant, ceci bijectivement entre y* et P(y*).

Cas d'un point sur un des segments d'un triplet en forme en "toit"

A REVOIR

p(y*)= dP(y*)/dy* = somme (dx*/dy*) = (x*2-x*1 ou x0 si nécessaire)/(x2-x1)

Cas d'un point sur un des segments d'un triplet en forme de "cuvette"

p(y*)= dP(y*)/dy* = somme (dx*/dy*) = (-(x*1-x0)+(x2-x*2))/(x2-x1) dans la zone où x1*et x*2 existent.

Cas d'un point sur une courbe uniformément croissante ou décroissante

P(y) =1/abs(f'(x)) et P(y)= (x1-x)/(x1-x0) pour f'(x)>0 et (x-x0)/(x1-x0) pour f'(x)<0 (rapport du segment horizontal sous la courbe au point y considéré).

Cas d'un point sur une courbe en montagnes russes

EXACT

Soit la droite horizontale $Y=y*(t)$. La courbe à étudier $y=f(t)$ d'équation inconnue ou connue la découpe en segments successifs $[T_{i},T_{i+1}]$ situés successivement au-dessus puis au-dessous de la courbe $y=f(t)$ . ::math> L[T_i,T_{i+1}]_{<f(t)} </math> désignera la longueur du segment $[T_{i},T_{i+1}]$ situé sous la courbe f(t).

Considérant un intervalle d'étude T, la probabilité d’avoir y de f(t) inférieur à y* est :

P(y<y*) = Somme des longueurs des segments de y* situés sous f(t)/intervalle total d'étude T

Nota : on vérifie aisément la nature d'un espace probabiliste, bijectif et tel que $0<P(y*)<1$

$P(y<y*)=\Sigma L[T_{i},T_{i+1}]_{<f(t)}\times {\frac {1}{T}}$

Nota : on vérifie aisément la nature d'un espace probabiliste, bijectif et tel que $0<P(y*)<1$

$\Delta P(y*)={\frac {1}{T}}\Sigma |\Delta ti|$

Les $ti$ étant tous les t tels que $f(ti)=y_{*}$, correspondant aux points situés à l'intersection de $Y=y_{*}(t)=y_{*}$ et de la courbe à probabiliser - fréquencer $y=f(t)$

On obtient, pour un temps T d'observation assez grand, la fréquence ou densité de probabilité de y telle que :

$p(y_{*})={\frac {1}{T}}{\frac {\Delta P(y_{*})}{\Delta y_{*}}}={\frac {1}{T}}\Sigma {\frac {1}{\frac {\delta y_{*}}{|\delta ti|}}}={\frac {1}{T}}\Sigma {\frac {1}{|y'_{*}(t_{i})|}}$ L'étude consiste ensuite à déterminer $\Sigma |\Delta ti|$ et donc de connaître y(t).

Plusieurs possibilités se présentent :

1/ Traiter directement les données de y(t) et déterminer les t tels que $Y=y_{*}(t)=y_{*}$

2/ Trouver une approximation valable de y(t) :

2a / soit par le polynôme de Lagrange déterminé par la méthode FERCAR personnelle voir :

Calcul rapide original de coefficients du polynôme de Lagrange pour un échantillon d'abscisses équipotentes

2b / soit par sommation des équations partielles approchées par des polynômes de degrés croissants de 1 à une valeur choisie des portions successives de $y(t)$ comprises entre un mini et un maxi latéraux

Puis par un balayage par la méthode des fractions en escalier des $y_{*}$afin de déterminer les t des intersections de $y=y(t)$ et de $y=y_{*}$

Enfin de sélectionner les intervalles valables selon la position de $y_{0}$ et $y_{T}$ par rapport à $y_{*}$ et les sommer