Recherche:Combinatoire & pratique instrumentale/Résultats sur le rythme

**Résultats sur le rythme**
Recherche : Combinatoire & pratique instrumentale

Chapitre n^o 3
Chap. préc. :	Matériaux & outils
Chap. suiv. :	Résultats sur les arpèges

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Combinatoire & pratique instrumentale : Résultats sur le rythme
Combinatoire & pratique instrumentale/Résultats sur le rythme », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Généralités

Le rythme se prête particulièrement bien à la variation combinatoire.

Équivalences dans la notation

Dans cette recherche, nous nous sommes plus particulièrement attaché à l'endroit de la mesure où les notes débutent plutôt qu’à la durée des notes elles-mêmes. Ainsi, sauf indication particulière, nous considérons comme équivalents, par exemple, les rythmes suivants :

$\new RhythmicStaff { \time 2/4 \stemDown c2 \bar "||" c4. r8 \bar "||" c4 r4 \bar "||" c8. r16 r4 \bar "||" c8 r8 r4 \bar "||" c16 r8. r4 \bar "||" s4^"etc." }$

Correspondance avec la numérotation en binaire

Par exemple, supposons que l’on veuille étudier tous les motifs contenant des croches sur un temps d'une noire. Comme une noire vaut deux croches, nous avons donc $2^{2}=4$ motifs différents :

$\new RhythmicStaff { \time 1/4 \stemDown r4^"0" \bar "||" r8^"1" c8 \bar "||" c8^"2" r8 \bar "||" c8^"3" c8 \bar "||" }$

Faisons tout de suite deux remarques :

1. Le motif 2 peut être indifféremment noté

$\new RhythmicStaff { \time 1/4 \stemDown c8 r8 }$

ou

$\new RhythmicStaff { \time 1/4 \stemDown c4 }$

.

2. Nous numérotons les motifs à partir de 0 car – comme le lecteur familier de l'informatique l'aura probablement déjà compris – les croches de la mesure correspondent aux chiffres, en binaire, d'un nombre qui, noté en décimal, correspond, lui, au numéro du motif. Cela est résumé dans le tableau suivant.

Nombre en décimal	Nombre en binaire	Motif rythmique correspondant
0	00	$\new RhythmicStaff { \time 1/4 \stemDown r4 }$
1	01	$\new RhythmicStaff { \time 1/4 \stemDown r8 c8 }$
2	10	$\new RhythmicStaff { \time 1/4 \stemDown c8 r8 }$
3	11	$\new RhythmicStaff { \time 1/4 \stemDown c8 c8 }$

Motifs rythmiques sur 4 croches

Si l’on veut toutes les combinaisons impliquant des croches dans une mesure à 2/4, qui dure 2 noires donc 4 croches, nous obtenons $2^{4}=16$ motifs différents :

$\new RhythmicStaff { \time 2/4 \stemDown r2^\markup { \null \raise #3 { \number 0 } } r4^\markup { \null \raise #2 { \number 1 } } r8 c8 r4^\markup { \null \raise #2 { \number 2 } } c4 r4^\markup { \null \raise #2 { \number 3 } } c8 c r8^\markup { \null \raise #2 { \number 4 } } c4. r8^\markup { \null \raise #2 { \number 5 } } c4 c8 r8^\markup { \null \raise #2 { \number 6 } } c8 c4 r8^\markup { \null \raise #2 { \number 7 } } c8 c8 c8 c4^\markup { \null \raise #2 { \number 8 } } r4 c4.^\markup { \null \raise #2 { \number 9 } } c8 c4^\markup { \null \raise #2 { \number 10 } } c4 c4^\markup { \null \raise #2 { \number 11 } } c8 c8 c8^\markup { \null \raise #2 { \number 12 } } c4. c8^\markup { \null \raise #2 { \number 13 } } c4 c8 c8^\markup { \null \raise #2 { \number 14 } } c8 c4 c8^\markup { \null \raise #2 { \number 15 } } c8 c8 c8 \bar "|." }$

Application des motifs rythmiques

Tous ces motifs peuvent servir à construire une séquence rythmique.

Exemples

1. Une séquence incluant une et une seule fois chacun de ces 16 motifs. Un simple calcul montre que l’on peut obtenir $n=16!={\text{20.922.789.888.000}}$ séquences différentes^[1]. Il va de soit que l’on ne pourra jamais jouer toutes ces séquences au cours d'une vie. Fort heureusement, il suffit de choisir les motifs rythmiques que l’on désire plus particulièrement travailler (ou faire travailler) afin de construire les exercices adéquats.

2. Une séquence (gamme ou arpège) construite sur l'un de ces motifs. Sur le motif n°7, on peut avoir :

${ \time 4/4 r8 c' d' e' r f' g' a'r b' c'' d''r e'' f'' g''r a'' b'' c'''r c''' b'' a''r g'' f'' e''r d'' c'' b'r a' g' f'r e' d' c' ~c'1 \bar "|." }$

Avec toutes les permutations d'un ensemble donné

On peut choisir deux motifs et les alterner. Par exemple, avec le motif n°7,

$\new RhythmicStaff { \time 2/4 \stemDown r8 c8 c8 c8 }$

que l’on peut aussi considérer comme

$\new RhythmicStaff { \time 2/4 \stemDown c8\repeatTie c8 c8 c8\laissezVibrer }$

, alterné avec le motif n°15,

$\new RhythmicStaff { \time 2/4 \stemDown c8 c8 c8 c8 }$

, l’on peut obtenir l'exercice suivant :

${ \time 4/4 \partial 8 c'8~ | c' e' d' f' e' g' f' a'~ | a' g' b' a' c'' b' d'' c''~ | c'' e'' d'' f'' e'' g'' f'' a''~ | a'' g'' b'' a'' c''' b'' d''' c'''~ | c''' a'' b'' g'' a'' f'' g'' e''~ | e'' f'' d'' e'' c'' d'' b' c''~ | c'' a' b' g' a' f' g' e'~ | e' f' d' e' c' d' b c'~ | c'1 \bar "|." }$

Si nous prenons 3 motifs, nous aurons $3!=6$ permutations différentes, et comme chaque permutation comporte 3 motifs, la durée de la séquence sera de $3*6=18$ motifs.

Si nous prenons 4 motifs, nous aurons $4!=24$ permutations différentes, et comme chaque permutation comporte 4 motifs, la durée de la séquence sera de $4*24=96$ motifs.

Si nous prenons 5 motifs, nous aurons $5!=120$ permutations différentes, et comme chaque permutation comporte 5 motifs, la durée de la séquence sera de $5*120=720$ motifs.

Pour n motifs différents, nous obtiendrons une séquence de $n*n!$ motifs. Nous constatons donc que la durée des séquences obtenues croît très vite – encore plus vite que la factorielle de n.

Variation sur le nombre de notes par motif

Exemple sur une mesure de 8 croches

Nous pouvons aussi varier un motif "continu" en croches :

$\new RhythmicStaff { \stemDown c8 c c c c c c c }$

en enlevant une des croches de la mesure :

$\new RhythmicStaff { \stemDown c8\repeatTie^\markup { \null \raise #2 { \number 1 } } c c c c c c c\laissezVibrer \bar "||" c4^\markup { \null \raise #2 { \number 2 } } c8 c c c c c \bar "||" c8^\markup { \null \raise #2 { \number 3 } } c4 c8 c c c c \bar "||" c^\markup { \null \raise #2 { \number 4 } } c c4 c8 c c c \bar "||" c^\markup { \null \raise #2 { \number 5 } } c c c~ c c c c \bar "||" c^\markup { \null \raise #2 { \number 6 } } c c c c4 c8 c \bar "||" c^\markup { \null \raise #2 { \number 7 } } c c c c c4 c8 \bar "||" c^\markup { \null \raise #2 { \number 8 } } c c c c c c4 \bar "||" \bar "|." }$

Dénombrement des variations

En considérant l'exemple précédent, nous voyons qu’il y a 8 façons d'enlever une croche dans une mesure de 8 croches. Autrement dit, il y a 8 façons différentes de répartir 7 notes sur 8 dans une mesure, ce qui correspond à $C_{7}^{8}=8$ .

Suivant le nombres de croches "marquées" dans une mesure à 4/4, nous obtenons le tableau suivant :

$n=$ Nombre de croches marquées	$C_{n}^{8}=$ Nombre de motifs
0	1
1	8
2	28
3	56
4	70
5	70
6	56
7	28
8	1

Nous pouvons vérifier que le total des motifs est égal à 256 soit 2⁸.

Motifs rythmiques sur 8 croches

Nous avons vu plus haut qu’il existe 256 motifs différents impliquant des croches dans une mesure à 4/4 (comptant 8 croches). Ces 256 motifs sont exposés dans la séquence rythmique suivante ; les croches marquées correspondent aux chiffres du nombre de la mesure codé en binaire, suivant la même logique que dans le tableau de la partie Résultats sur le rythme : Correspondance avec la numérotation en binaire ; le numéro de chaque mesure correspond, lui, au nombre codé en décimal^[2] :

↑ Soit près de 21 000 milliards...
↑ Notons que le motif correspondant à 0 est
$\new RhythmicStaff { \stemDown r1 }$
et a un intérêt technique plutôt limité.

Avec séquence variée

Prenons par exemple une séquence variée à 5 éléments :

12345 13524 14253 15432 (1)

Choisissons 5 motifs rythmiques :

$\new RhythmicStaff { \time 4/4 \stemDown c4^\markup { \null \raise #2 { \number 1 } } c4 \bar "||" r8^\markup { \null \raise #2 { \number 2 } } c4. \bar "||" r8^\markup { \null \raise #2 { \number 3 } } c4 c8 \bar "||" r8^\markup { \null \raise #2 { \number 4 } } c8 c4 \bar "||" r8^\markup { \null \raise #2 { \number 5 } } c8 c8 c8 \bar "||" }$

L'application de cette séquence variée à ces 5 motifs donnera la séquence rythmique suivante :

$\new RhythmicStaff { \time 4/4 \stemDown c4^\markup { \null \raise #2 { \number 1 } } c4 r8^\markup { \null \raise #2 { \number 2 } } c4. r8^\markup { \null \raise #2 { \number 3 } } c4 c8 r8^\markup { \null \raise #2 { \number 4 } } c8 c4 r8^\markup { \null \raise #2 { \number 5 } } c8 c8 c8 c4^\markup { \null \raise #2 { \number 1 } } c4 r8^\markup { \null \raise #2 { \number 3 } } c4 c8 r8^\markup { \null \raise #2 { \number 5 } } c8 c8 c8 r8^\markup { \null \raise #2 { \number 2 } } c4. r8^\markup { \null \raise #2 { \number 4 } } c8 c4 c4^\markup { \null \raise #2 { \number 1 } } c4 r8^\markup { \null \raise #2 { \number 4 } } c8 c4 r8^\markup { \null \raise #2 { \number 2 } } c4. r8^\markup { \null \raise #2 { \number 5 } } c8 c8 c8 r8^\markup { \null \raise #2 { \number 3 } } c4 c8 c4^\markup { \null \raise #2 { \number 1 } } c4 r8^\markup { \null \raise #2 { \number 5 } } c8 c8 c8 r8^\markup { \null \raise #2 { \number 4 } } c8 c4 r8^\markup { \null \raise #2 { \number 3 } } c4 c8 r8^\markup { \null \raise #2 { \number 2 } } c4. c4^\markup { \null \raise #2 { \number 1 } } c4 r8^\markup { \null \raise #2 { \number 2 } } c4. r8^\markup { \null \raise #2 { \number 3 } } c4 c8 r8^\markup { \null \raise #2 { \number 4 } } c8 c4 r8^\markup { \null \raise #2 { \number 5 } } c8 c8 c8 c4^\markup { \null \raise #2 { \number 1 } } c4 \bar "|." }$

Cette séquence rythmique pourrait s'appliquer par exemple à une gamme de do majeur :

${ \clef treble \time 4/4 c'4 d'4 r8 e'4. r8 f'4 g'8 r8 a'8 b'4 r8 c''8 d''8 e''8 f''4 g''4 r8 a''4 b''8 r8 c'''8 b''8 a''8 r8 g''4. r8 f''8 e''4 d''4 c''4 r8 b'8 a'4 r8 g'4. r8 f'8 e'8 d'8 r8 c'4 d'8 e'4 f'4 r8 g'8 a'8 b'8 r8 c''8 d''4 r8 e''4 f''8 r8 g''4. a''4 b''4 r8 c'''4. r8 b''4 a''8 r8 g''8 f''4 r8 e''8 d''8 c''8 g'4 c'4 \bar "|." }$

Combinatoire & pratique instrumentale

Matériaux & outils

Résultats sur les arpèges

[1] Soit près de 21 000 milliards...

[2] Notons que le motif correspondant à 0 est
$\new RhythmicStaff { \stemDown r1 }$
et a un intérêt technique plutôt limité.

[1]

[2]