Recherche:Étude de la qualité des harmoniques par un gradateur

Étude de la qualité des harmoniques par un gradateur

Travaux de recherche en physique

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Étude d'une commande [α;π]+[α+π;2π] sur une charge résistive pure

Introduction

On retrouve ce type de gradateur sur les simple variateur de lumière pour luminaire halogène le plus souvent. Le courant est mis en circulation à partir d'un certain instant de la sinusoïde et disparait naturellement à son passage à zéro, donc, pour une charge résistive, au passage à zéro de la tension.

Définition

La tension est définit par : $u(t)$ tel que :

$u(t)=U{\sqrt {2}}\sin \omega t$

Avec :

• U = 230 V
• $\omega =2\pi f$
• f = 50 Hz

Le courant est définit par : $i(t)$ tel que :

$i(t)={\begin{cases}0&{\mbox{si }}k\pi <\theta <k\pi +\alpha \\I{\sqrt {2}}\sin \left(\omega t\right)&{\mbox{si }}k\pi +\alpha <\theta <\left(k+1\right)\pi \end{cases}}$

Avec :

• $\theta =\omega t$
• $k\in \mathbb {Z}$
• $U=R\times I$

Décomposition en série de Fourier

On peut écrit le courant :

$i(t)=I_{0}+\sum _{a=0}^{a=\infty }I_{a}{\sqrt {2}}\sin \left(a\omega t-\varphi _{a}\right)$

Dans la suite de l'étude, $I_{0}=0$, $I_{a}={\sqrt {A_{a}^{2}+B_{a}^{2}}}$ et $\tan \varphi _{a}=-{\frac {B_{a}}{A_{a}}}$

Décomposition en série de Fourier du courant :

Élément premier de la série $A_{a}$

$A_{a}={\frac {2}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left[i(t)\sin \left(a\theta \right)\right]d\theta$

$={\frac {2}{2\pi }}{\begin{bmatrix}\int _{0}^{\pi }\left(2{\sqrt {2}}\sin \theta \times \sin(a\theta )\right)d\theta \\+\int _{\pi }^{2\pi }\left(2{\sqrt {2}}\sin \theta \times \sin(a\theta )\right)d\theta \end{bmatrix}}$

$={\frac {2}{2\pi }}{\begin{bmatrix}\int _{\alpha }^{\pi }\left(2{\sqrt {2}}\sin \theta \times \sin(a\theta )\right)d\theta \\+\int _{alpha+\pi }^{2\pi }\left(2{\sqrt {2}}\sin \theta \times \sin(a\theta )\right)d\theta \end{bmatrix}}$

$={\frac {I{\sqrt {2}}}{2\pi }}{\begin{Bmatrix}\int _{\alpha }^{\pi }\left[{\frac {1}{2}}\left(\cos(\theta -a\theta )-\cos(\theta +a\theta )\right)\right]d\theta \\+\int _{\alpha +\pi }^{2\pi }\left[{\frac {1}{2}}\left(\cos(\theta -a\theta )-\cos(\theta +a\theta )\right)\right]d\theta \end{Bmatrix}}$

$A_{a}={\frac {I{\sqrt {2}}}{2\pi }}{\begin{Bmatrix}\int _{\alpha }^{\pi }\left[{\frac {1}{2}}\left(\cos \left((1-a)\theta \right)-\cos \left((1+a)\theta \right)\right)\right]d\theta \\+\int _{\alpha +\pi }^{2\pi }\left[{\frac {1}{2}}\left(\cos \left((1-a)\theta \right)-\cos \left((1+a)\theta \right)\right)\right]d\theta \end{Bmatrix}}$

$\forall a\neq 1$

$A_{a}={\frac {I{\sqrt {2}}}{2\pi }}{\begin{Bmatrix}\left[{\frac {\sin \left((1-a)\theta \right)}{1-a}}\right]_{\alpha }^{\pi }\\-\left[{\frac {\sin \left((1+a)\theta \right)}{1+a}}\right]_{\alpha }^{\pi }\\+\left[{\frac {\sin \left((1-a)\theta \right)}{1-a}}\right]_{\alpha +\pi }^{2\pi }\\-\left[{\frac {\sin \left((1+a)\theta \right)}{1+a}}\right]_{\alpha +\pi }^{2\pi }\end{Bmatrix}}$

$={\frac {I{\sqrt {2}}}{2\pi }}{\begin{Bmatrix}\left[{\frac {\sin \left((1-a)\pi \right)-\sin \left((1-a)\alpha \right)}{1-a}}\right]\\-\left[{\frac {\sin \left((1+a)\pi \right)-\sin \left((1+a)\alpha \right)}{1+a}}\right]\\+\left[{\frac {\sin \left((1-a)2\pi \right)-\sin \left((1-a)(\alpha +\pi )\right)}{1-a}}\right]\\-\left[{\frac {\sin \left((1+a)2\pi \right)-\sin \left((1-a)(\alpha +\pi )\right)}{1+a}}\right]\end{Bmatrix}}$

$={\frac {I{\sqrt {2}}}{2\pi }}{\begin{Bmatrix}\left[{\frac {-\sin \left((1-a)\alpha \right)}{1-a}}\right]\\-\left[{\frac {-\sin \left((1+a)\alpha \right)}{1+a}}\right]\\+\left[{\frac {-\sin \left((1-a)(\alpha +\pi )\right)}{1-a}}\right]\\-\left[{\frac {-\sin \left((1+a)(\alpha +\pi )\right)}{1+a}}\right]\end{Bmatrix}}$

$={\frac {I{\sqrt {2}}}{2\pi }}{\begin{Bmatrix}\left[{\frac {-\sin \left((1-a)\alpha \right)-\sin \left((1-a)(\alpha +\pi )\right)}{1-a}}\right]\\-\left[{\frac {-\sin \left((1+a)\alpha \right)+\sin \left((1+a)(\alpha +\pi )\right)}{1+a}}\right]\end{Bmatrix}}$

$={\frac {I{\sqrt {2}}}{2\pi }}{\begin{Bmatrix}{\frac {2}{1+a}}\sin \left[{\frac {\left((1+a)\alpha \right)+\left((1+a)(\alpha +\pi )\right)}{2}}\right]\cos \left[{\frac {\left((1+a)\alpha \right)-\left((1+a)(\alpha +\pi )\right)}{2}}\right]\\-{\frac {2}{1-a}}\sin \left[{\frac {\left((1-a)\alpha \right)+\left((1-a)(\alpha +\pi )\right)}{2}}\right]\cos \left[{\frac {\left((1-a)\alpha \right)-\left((1-a)(\alpha +\pi )\right)}{2}}\right]\end{Bmatrix}}$

$={\frac {I{\sqrt {2}}}{2\pi }}{\begin{Bmatrix}{\frac {2}{1+a}}\sin \left[{\frac {\alpha +a\alpha +\alpha +\pi +a\alpha +a\pi }{2}}\right]\cos \left[{\frac {\alpha +a\alpha -\alpha -\pi -a\alpha -a\pi }{2}}\right]\\-{\frac {2}{1-a}}\sin \left[{\frac {\alpha -a\alpha +\alpha +\pi -a\alpha -a\pi }{2}}\right]\cos \left[{\frac {\alpha -a\alpha -\alpha -\pi +a\alpha +a\pi }{2}}\right]\end{Bmatrix}}$

$={\frac {I{\sqrt {2}}}{\pi }}{\begin{Bmatrix}{\frac {1}{1+a}}\sin \left[{\frac {\alpha \left(2+2a\right)+\pi \left(1+a\right)}{2}}\right]\cos \left[{\frac {-\pi \left(1+a\right)}{2}}\right]\\-{\frac {1}{1-a}}\sin \left[{\frac {\alpha \left(2-2a\right)+\pi \left(1-a\right)}{2}}\right]\cos \left[{\frac {-\pi \left(1+a\right)}{2}}\right]\end{Bmatrix}}$

$=-1^{a+1}{\frac {I{\sqrt {2}}}{\pi }}{\begin{Bmatrix}{\frac {1}{1+a}}\sin \left[{\frac {\alpha \left(2+2a\right)+\pi \left(1+a\right)}{2}}\right]\\-{\frac {1}{1-a}}\sin \left[{\frac {\alpha \left(2-2a\right)+\pi \left(1-a\right)}{2}}\right]\end{Bmatrix}}$

$=-1^{a+1}{\frac {I{\sqrt {2}}}{\pi }}{\begin{Bmatrix}{\frac {1}{1+a}}{\begin{bmatrix}\sin \left(\alpha (1+a)\right)\cos \left({\frac {\pi }{2}}(1+a)\right)\\+\cos \left(\alpha (1+a)\right)\sin \left({\frac {\pi }{2}}(1+a)\right)\end{bmatrix}}\\-{\frac {1}{1-a}}{\begin{bmatrix}\sin \left(\alpha (1-a)\right)\cos \left({\frac {\pi }{2}}(1-a)\right)\\+\cos \left(\alpha (1-a)\right)\sin \left({\frac {\pi }{2}}(1-a)\right)\end{bmatrix}}\end{Bmatrix}}$

$=-1^{a+1}{\frac {I{\sqrt {2}}}{\pi }}{\begin{Bmatrix}{\frac {1}{1+a}}\left[\sin \left({\frac {\pi }{2}}(1+a)\right)\cos \left(\alpha (1+a)\right)\right]\\-{\frac {1}{1-a}}\left[\sin \left({\frac {\pi }{2}}(1-a)\right)\cos \left(\alpha (1-a)\right)\right]\end{Bmatrix}}$

$A_{a}={\begin{cases}?&{\mbox{si }}a=1\\0&{\mbox{si }}a=2k+1{\mbox{ avec }}k\in \mathbb {N} \\-{\frac {I{\sqrt {2}}}{\pi }}\left\{{\frac {\cos \left(\alpha (1+\alpha )\right)}{1+a}}+{\frac {\cos \left(\alpha (1+\alpha )\right)}{1-a}}\right\}&{\mbox{si }}a=4k{\mbox{ avec }}k\in \mathbb {N} \\{\frac {I{\sqrt {2}}}{\pi }}\left\{{\frac {\cos \left(\alpha (1+\alpha )\right)}{1+a}}+{\frac {\cos \left(\alpha (1+\alpha )\right)}{1-a}}\right\}&{\mbox{si }}a=4k-2{\mbox{ avec }}k\in \mathbb {N} ^{*}\end{cases}}$

Élément second de la série $B_{a}$

$B_{a}={\frac {2}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left[i(\theta )\cos \left(a\theta \right)\right]d\theta$

$={\frac {1}{\pi }}{\begin{Bmatrix}\int _{0}^{\pi }\left[I{\sqrt {2}}\sin \theta \times \cos \left(a\theta \right)\right]d\theta \\+\int _{\pi }^{2\pi }\left[I{\sqrt {2}}\sin \theta \times \cos \left(a\theta \right)\right]d\theta \end{Bmatrix}}$

$={\frac {1}{\pi }}{\begin{Bmatrix}\int _{\alpha }^{\pi }\left[I{\sqrt {2}}\sin \theta \times \cos \left(a\theta \right)\right]d\theta \\+\int _{\alpha +\pi }^{2\pi }\left[I{\sqrt {2}}\sin \theta \times \cos \left(a\theta \right)\right]d\theta \end{Bmatrix}}$

$={\frac {I{\sqrt {2}}}{\pi }}{\begin{Bmatrix}\int _{\alpha }^{\pi }\left[{\frac {1}{2}}\left(\sin(\theta +a\theta )+\sin(\theta -a\theta )\right)\right]d\theta \\+\int _{\alpha +\pi }^{2\pi }\left[{\frac {1}{2}}\left(\sin(\theta +a\theta )+\sin(\theta -a\theta )\right)\right]d\theta \end{Bmatrix}}$

$={\frac {I{\sqrt {2}}}{\pi }}{\begin{Bmatrix}\int _{\alpha }^{\pi }\sin \left[(1+a)\theta \right]d\theta \\+\int _{\alpha }^{\pi }\sin \left[(1-a)\theta \right]d\theta \\+\int _{\alpha +\pi }^{2\pi }\sin \left[(1+a)\theta \right]d\theta \\+\int _{\alpha +\pi }^{2\pi }\sin \left[(1-a)\theta \right]d\theta \end{Bmatrix}}$

$\forall a\in \mathbb {N} -\{1\}$

$={\frac {I{\sqrt {2}}}{\pi }}{\begin{Bmatrix}\left[{\frac {-\cos(1+a)\theta }{1+a}}\right]_{\alpha }^{\pi }\\+\left[{\frac {-\cos(1-a)\theta }{1-a}}\right]_{\alpha }^{\pi }\\+\left[{\frac {-\cos(1+a)\theta }{1+a}}\right]_{\alpha +\pi }^{2\pi }\\+\left[{\frac {-\cos(1-a)\theta }{1-a}}\right]_{\alpha +\pi }^{2\pi }\end{Bmatrix}}$

$={\frac {I{\sqrt {2}}}{\pi }}{\begin{Bmatrix}\left[{\frac {\cos \left((1+a)\alpha \right)-\cos \left((1+a)\pi \right)}{1+a}}\right]\\+\left[{\frac {\cos \left((1+a)(\alpha +\pi )\right)-\cos \left((1+a)2\pi \right)}{1-a}}\right]\\+\left[{\frac {\cos \left((1+a)(\alpha +\pi )\right)-\cos \left((1+a)2\pi \right)}{1+a}}\right]\\+\left[{\frac {\cos \left((1-a)(\alpha +\pi )\right)-\cos \left((1-a)2\pi \right)}{1-a}}\right]\\\end{Bmatrix}}$

$={\frac {I{\sqrt {2}}}{\pi }}{\begin{Bmatrix}\left[{\frac {\cos \left((1+a)\alpha \right)-\left(-1\right)^{a+1}}{1+a}}\right]\\+\left[{\frac {\cos \left((1+a)(\alpha +\pi )\right)-\left(-1\right)^{a+1}}{1-a}}\right]\\+\left[{\frac {\cos \left((1+a)(\alpha +\pi )\right)-1}{1+a}}\right]\\+\left[{\frac {\cos \left((1-a)(\alpha +\pi )\right)-1}{1-a}}\right]\end{Bmatrix}}$

$={\frac {I{\sqrt {2}}}{\pi }}{\begin{Bmatrix}\left[{\frac {\cos \left((1+a)\alpha \right)+\left(-1\right)^{a}+\cos \left((1+a)(\alpha +\pi )\right)-1}{1+a}}\right]\\+\left[{\frac {\cos \left((1-a)\alpha \right)+\left(-1\right)^{a}+\cos \left((1-a)(\alpha +\pi )\right)-1}{1-a}}\right]\\\end{Bmatrix}}$

$={\frac {I{\sqrt {2}}}{\pi }}{\begin{Bmatrix}{\frac {1}{1+a}}\left[2\cos \left({\frac {(1+a)\alpha +(1+a)(\alpha +\pi )}{2}}\right)\cos \left({\frac {(1+a)\alpha -(1+a)(\alpha +\pi )}{2}}\right)+\left(-1\right)^{a}-1\right]\\+{\frac {1}{1-a}}\left[2\cos \left({\frac {(1-a)\alpha +(1-a)(\alpha +\pi )}{2}}\right)\cos \left({\frac {(1-a)\alpha -(1-a)(\alpha +\pi )}{2}}\right)+\left(-1\right)^{a}-1\right]\end{Bmatrix}}$

$={\frac {I{\sqrt {2}}}{\pi }}{\begin{Bmatrix}{\frac {1}{1+a}}\left[2\cos \left({\frac {\alpha +a\alpha +\alpha +\pi +a\alpha +a\pi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha +a\alpha -\alpha -\pi -a\alpha -a\pi }{2}}\right)+\left(-1\right)^{a}-1\right]\\+{\frac {1}{1-a}}\left[2\cos \left({\frac {\alpha -a\alpha +\alpha +\pi -a\alpha -a\pi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha -a\alpha -\alpha -\pi +a\alpha +a\pi }{2}}\right)+\left(-1\right)^{a}-1\right]\end{Bmatrix}}$

$={\frac {I{\sqrt {2}}}{\pi }}{\begin{Bmatrix}{\frac {1}{1+a}}\left[2\cos \left({\frac {(2\alpha +\pi )(1+a)}{2}}\right)\cos \left({\frac {-\pi (1+a)}{2}}\right)+\left(-1\right)^{a}-1\right]\\+{\frac {1}{1-a}}\left[2\cos \left({\frac {(2\alpha +\pi )(1-a)}{2}}\right)\cos \left({\frac {-\pi (1-a)}{2}}\right)+\left(-1\right)^{a}-1\right]\end{Bmatrix}}$

$B_{a}={\frac {I{\sqrt {2}}}{\pi }}{\begin{Bmatrix}{\frac {1}{1+a}}\left[\left(-1\right)^{a}-1\right]\\+{\frac {1}{1-a}}\left[\left(-1\right)^{a}-1\right]\end{Bmatrix}}$

$B_{a}={\begin{cases}?&{\mbox{si }}a=1\\0&{\mbox{si }}a=2k+1{\mbox{ avec }}k\in \mathbb {N} ^{*}\\-{\frac {I{\sqrt {2}}}{\pi }}\left({\frac {1}{a+1}}+{\frac {1}{a-1}}\right)&{\mbox{si }}a=2k{\mbox{ avec }}k\in \mathbb {N} \end{cases}}$

Puissance instantannée p(t)

$p(t)=u(t)\times i(t)$

Puissance Moyenne P

$P={\overline {p(t)}}$

$={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left[p(t)\right]dt$

$={\frac {2}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\left[u(t)\times i(t)\right]dt$

$={\frac {1}{\pi }}\int _{\alpha }^{\pi }\left[u(t)\times i(t)\right]dt$

$={\frac {1}{\pi }}\int _{\alpha }^{\pi }\left[\left(U{\sqrt {2}}\sin \theta \right)\times \left(I{\sqrt {2}}\sin \theta \right)\right]d\theta$

$={\frac {2UI}{\pi }}\int _{\alpha }^{\pi }\left[\sin ^{2}\theta \right]d\theta$

$={\frac {2UI}{\pi }}\int _{\alpha }^{\pi }\left[{\frac {1-\cos \left(2\theta \right)}{2}}\right]d\theta$

$={\frac {UI}{\pi }}\left[\theta -{\frac {\sin \left(2\theta \right)}{2}}\right]_{\alpha }^{\pi }$

$={\frac {UI}{\pi }}\left[\pi -{\frac {\sin \left(2\pi \right)}{2}}-\alpha -{\frac {\sin \left(2\alpha \right)}{2}}\right]$

$P={\frac {UI}{\pi }}\left[\pi -\alpha +{\frac {\sin \left(2\alpha \right)}{2}}\right]$

Valeur efficace du courant $Y_{eff}$

$I_{eff}={\sqrt {\sum _{a=1}^{a=\infty }\left(I_{a}^{2}\right)}}$

Taux de distortion THD

$THD={\sqrt {\sum _{a=2}^{a=\infty }\left({\frac {I_{a}}{I_{1}}}\right)^{2}}}={\frac {\sqrt {\sum _{a=2}^{a=\infty }{I_{a}}^{2}}}{I_{1}}}={\frac {I_{HM}}{I_{1}}}$

Facteur de distortion DF

$DF={\frac {\sqrt {\sum _{a=2}^{a=\infty }{I_{a}}^{2}}}{I_{eff}}}={\frac {I_{HM}}{I_{eff}}}$

Puissance apparente S

$S^{2}=\left(\sum _{a=1}^{\infty }U_{a}^{2}\right)\times \left(\sum _{a=1}^{\infty }I_{a}^{2}\right)$

Facteur de puissance FP

$FP={\frac {P}{S}}$

Facteur de déphasage cos φ

$\cos \varphi ={\frac {P_{1}}{S_{1}}}$

Étude d'une commande [0;α]+[π;π+α] sur une charge résistive pure

Définition

La tension est définit par : $u(t)$ tel que :

$u(t)=U{\sqrt {2}}\sin \omega t$

Avec :

• U = 230 V
• $\omega =2\pi f$
• f = 50 Hz

Le courant est définit par : $i(t)$ tel que :

$i(t)={\begin{cases}I{\sqrt {2}}\sin \left(\omega t\right)&{\mbox{si }}k\pi <\theta <k\pi +\alpha \\0&{\mbox{si }}k\pi +\alpha <\theta <\left(k+1\right)\pi \end{cases}}$

Avec :

• $\theta =\omega t$
• $k\in \mathbb {Z}$
• $U=R\times I$