Rédaction mathématique/Exercices/Mise en équation et résolution

Le format A4

Soit une feuille de papier, de format rectangulaire L × l (longueur, largeur). On découpe cette feuille en deux selon l’axe qui passe en son milieu, parallèle à sa largeur (donc perpendiculaire à sa longueur).

1. Quel doit être le rapport longueur/largeur pour qu’il ne change pas lorsqu'on effectue un tel découpage du papier ? Ce résultat est dû à Léonard de Vinci.
2. Sachant que le format A4 (21 cm de largeur) constitue le 4^e découpage d'une feuille A1, quelles sont les dimensions d'une feuille A1 ?
3. Sachant que le A1 est aussi un découpage du A0, quelle est la surface, en m², d'une feuille de format A0 ?

Solution

1. Une fois la feuille pliée, la largeur de la feuille devient la longueur, et la nouvelle largeur est donc la moitié de la longueur de la feuille entière. Pour avoir conservation du rapport, il faut que :

   ${\frac {L}{l}}={\frac {l}{L/2}}=2{\frac {l}{L}}$, soit $\left({\frac {L}{l}}\right)^{2}={\frac {L^{2}}{l^{2}}}=2$.

   Comme le rapport est positif : ${\frac {L}{l}}={\sqrt {2}}\approx 1{,}414$.

2. On sait qu'une feuille de format A4 a une longueur de 29,7 cm et une largeur de 21 cm. De proche en proche, on trouve qu'une feuille de format A1 a pour dimensions 84 cm et 59,4 cm.
3. Le format A0 a une surface double par rapport au format A1, donc la surface est de $2\times 59{,}4\times 84=9979{,}2{\text{ cm}}^{2}\approx 1{\text{ m}}^{2}$.