Propositions et opération élémentaire/Conjonctions et disjonctions

Leçons de niveau 11
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Conjonctions et disjonctions
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Chapitre no 4
Leçon : Propositions et opération élémentaire
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Soient et deux propositions.



Conjonction[modifier | modifier le wikicode]

Conjonction de deux propositions[modifier | modifier le wikicode]

Définition :


La table de vérité de la proposition est la suivante :

Valeur de vérité de la proposition Valeur de vérité de la proposition Valeur de vérité de la proposition
VRAIE VRAIE VRAIE
VRAIE FAUSSE FAUSSE
FAUSSE VRAIE FAUSSE
FAUSSE FAUSSE FAUSSE

Disjonction[modifier | modifier le wikicode]

Disjonction de deux propositions[modifier | modifier le wikicode]

Définition :


La table de vérité de la proposition est la suivante :

Valeur de vérité de la proposition Valeur de vérité de la proposition Valeur de vérité de la proposition
VRAIE VRAIE VRAIE
VRAIE FAUSSE VRAIE
FAUSSE VRAIE VRAIE
FAUSSE FAUSSE FAUSSE


L'opérateur « ou » est inclusif, c'est-à-dire : si est vraie, alors est vraie.

On peut résumer tout cela dans la table de vérité suivante :

Valeur de vérité de la proposition Valeur de vérité de la proposition Valeur de vérité de la proposition Valeur de vérité de la proposition
VRAIE VRAIE VRAIE VRAIE
VRAIE FAUSSE VRAIE FAUSSE
FAUSSE VRAIE VRAIE FAUSSE
FAUSSE FAUSSE FAUSSE FAUSSE

Maintenant étudions cette table de vérité :

Valeur de la proposition Valeur de la proposition Valeur de la proposition Valeur de la proposition
VRAIE VRAIE VRAIE FAUSSE
VRAIE FAUSSE FAUSSE VRAIE
FAUSSE VRAIE FAUSSE VRAIE
FAUSSE FAUSSE FAUSSE VRAIE

On remarque que est équivalente à . De même, on obtiendrait est équivalente à .
On peut résumer ces propriétés en disant que la négation d'un « ou » est un « et » et la négation d'un « et » est un « ou ».

Dans des exemples :

() ou ( a au moins une solution.) Vraie
(4 est pair) et (Les mammouths ont disparu) Vraie
() et () Faux
Faux
Vraie

Négation des conjonctions et disjonctions (règles de De Morgan)[modifier | modifier le wikicode]

Elles ont été formulées par le mathématicien britannique Augustus De Morgan (1806-1871).

Soient et deux propositions.

Début d’un théorème
Fin du théorème

La négation d'une conjonction de deux propositions est équivalente à la disjonction des négations de ces deux propositions.

Début d’un théorème
Fin du théorème


La négation d'une disjonction de deux propositions est équivalente à la conjonction des négations de ces deux propositions.