Proportionnalité/Règle de trois

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La règle de trois permet de résoudre de nombreux problèmes concernant des phénomènes proportionnels.

Explication

Le principe de la règle de trois consiste à se ramener à l'unité.

Prenons un exemple :

La question à laquelle nous souhaitons répondre est :

Si pour fabriquer 5 objets il faut 7 heures de travail, combien d'heures faut-il pour fabriquer 8 objets ?

• Déterminons le temps nécessaire à la production d'un objet :

En 7 heures, sont fabriqués 5 objets. Donc la fabrication d'1 objet dure ${\frac {7}{5}}$ heures de travail (5 fois moins de temps).

• Nous pouvons donc en déduire le temps nécessaire à la production de 8 objets :

Si pour 1 objet il faut ${\frac {7}{5}}$ heures, alors pour 8 objets il faut 8 fois plus de temps soit ${\frac {7}{5}}\times 8$ heures de travail.

Définition

Le terme de Règle de trois est dû à l'intervention de 3 nombres (ici 5, 7, 8). La mise en place d'une règle de trois nécessite une rédaction rigoureuse pour placer ces trois nombres dans la fraction finale. Cette rédaction peut être avantageusement remplacée par un tableau de proportionnalité. De plus, l’utilisation d'un tel tableau permet d’appliquer l'égalité du produit en croix (égalité du produit des diagonales).

Soit $x$ le temps de fabrication de 8 objets :

5	1	8
7	${\frac {7}{5}}$	$x={\frac {7\times 8}{5}}$

Ici, on passe de la première colonne à la seconde colonne en divisant par 5, puis de la seconde colonne à la troisième colonne en multipliant par 8. Après avoir converti en minutes pour effectuer les calculs, on obtiendra le nombre manquant qui est donc: $x=11h12min$.

Le tableau de proportionnalité permet de raccourcir encore le raisonnement en mécanisant le calcul. On peut trouver directement le résultat de cette façon :

5	8
7	$x={\frac {7\times 8}{5}}$

Le résultat final s'obtient en effectuant le produit des deux termes d'une diagonale et en divisant par le terme restant.

$x={\frac {7\times 8}{5}}$.

C'est sous cette forme qu'elle est maintenant présentée en France.

Exemples

Exemple 1

Le prix des pommes est de 5 € le kg, j'en achète 1,5 kg, combien devrai-je payer ?

kg	Prix en €
1	5
1,5	$x$

$x={\frac {1,5\times 5}{1}}=7,5$

Donc, je devrai payer 7,5 €.

Exemple 2

On dispose d'un plan dont l'échelle indique que : 2 cm ${\hat {=}}$ 15 km.
On veut connaître la distance à vol d'oiseau entre 2 villes.
Pour cela, on mesure sur le plan la distance entre les points indiquant chacun le lieu géographique d'une ville. On trouve 12,2 cm.

Plan	2	12,2
Terrain	$15$	?

D'après la règle de trois, on effectue ce petit calcul :

$x={\frac {12,2\times 15}{2}}=91,5$

Ainsi la distance sur le terrain est : 91,5 km.

Extensions

Règle de trois inverse

Il y a des grandeurs qui diminuent proportionnellement à un accroissement des données. Par exemple, si on demande en combien de temps 10 ouvriers construiront un certain mur que 15 ouvriers ont pu élever en 12 jours, on considèrera qu’il faut, pour construire un tel mur, un travail égal à

$W=15\times 12=180$ hommes × jours ;

travail qui est, dans une large mesure, indépendant du nombre d'hommes ou du temps disponible, mais ne dépend que de la taille du mur. Ainsi, le temps recherché t doit être tel que : $W=10\times t=180$ donc $t=18$ jours. En résumé, la règle de trois s'écrit dans ce cas : $t={\frac {15\times 12}{10}}=18$

Règle de trois composée

On rencontre parfois des problèmes de proportion faisant intervenir deux « règles de trois » enchaînées, ou même plus. En voici un exemple :

18 ouvriers travaillant à raison de 8 heures par jour ont pavé en 10 jours une rue longue de 150 m. On demande combien il faut d'ouvriers travaillant 6 heures par jour pour paver en 15 jours une rue longue de 75 m, rue de même largeur que la précédente.

Lagrange propose la règle suivante : Si une quantité augmente en même temps, dans la proportion qu'une ou plusieurs autres quantités augmentent, et que d'autres quantités diminuent, c’est la même chose que si on disait que la quantité proposée augmente comme le produit des quantités qui augmentent en même temps, divisé par le produit de celles qui diminuent en même temps.

Dans l'exemple qu'on vient de donner, pour une même largeur de route,

• il faut plus d'ouvriers si la longueur de rue à paver augmente ;
• il faut moins d'ouvriers si la durée journalière de travail augmente ou si le nombre de jours accordé pour faire le travail augmente.

Donc le nombre N d'ouvriers cherché est donné par : $N=18\times {\frac {75}{150}}\div \left({\frac {6}{8}}\times {\frac {15}{10}}\right)={\frac {18\times 8\times 10\times 75}{6\times 15\times 150}}=8$