Probabilités conditionnelles/Exercices/Sur les arbres

Exercice 2-1

Considérons l'arbre suivant :

Sur la copie d'un élève, on peut lire pour le calcul de la probabilité de l'issue $(C;\,H;\,O)$:

$p\left((C;\,H;\,O)\right)=p(C)\times p_{C}(H)\times p_{C\cap H}(O)={\frac {4}{7}}\times {\frac {2}{3}}\times 1={\frac {8}{21}}$

Qu'en pensez-vous ?

Solution

Le résultat est correct mais il est faux de supposer que $p(C)={\frac {4}{7}}$ car l'événement $C$ peut aussi être réalisé si d'autres issues sont réalisées. Il aurait été plus correct d'écrire :

$p\left((C;\,H;\,O)\right)=p(C_{1})\times p_{C_{1}}(H)\times p_{{C_{1}}\cap H}(O)={\frac {4}{7}}\times {\frac {2}{3}}\times 1={\frac {8}{21}}$

en précisant que $C_{1}$ est l'événement « $C$ est réalisé à la première étape »

 

Exercice 2-2

Une expérience aléatoire peut être modélisée par l'arbre suivant :

Soit $A'$, l'événement « $A$ est réalisé au moins une fois au cours de l'expérience aléatoire ».

Soit $B'$, l'événement « $B$ est réalisé au moins une fois au cours de l'expérience aléatoire ».

Calculer $p_{A'}(B')$.

Solution

Soit $A_{1}$ (respectivement $A_{2}$) l'événement « $A$ apparaît au cours de la première (respectivement deuxième) étape ».

Soit $B_{1}$ (respectivement $B_{2}$) l'événement « $B$ apparaît au cours de la première (respectivement deuxième) étape ».

Nous avons alors :

$p_{A'}(B')={\frac {p(A'\cap B')}{p(A')}}={\frac {p(A_{1}\cap B_{2})+p(A_{2}\cap B_{1})}{1-p({\bar {A'}})}}={\frac {p(A_{1}\cap B_{2})+p(A_{2}\cap B_{1})}{1-p(B_{1}\cap B_{2})}}={\frac {{\frac {1}{3}}\times {\frac {3}{5}}+{\frac {2}{3}}\times {\frac {1}{2}}}{1-{\frac {2}{3}}\times {\frac {1}{2}}}}={\frac {{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{3}}}{1-{\frac {1}{3}}}}={\frac {4}{5}}$

 

Exercice 2-3

Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue ! Comment faire ?

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}