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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Annexe : Fonctions génératricesOndes électromagnétiques guidées/Annexe/Fonctions génératrices », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Cette annexe établit l’expression des champs électrique et magnétique transversaux en fonction des champs électrique et magnétique longitudinaux Ez et Bz indépendamment de la base choisie.
L'équation de Maxwell
d
i
v
(
E
→
)
=
0
{\displaystyle {\rm {div}}({\vec {E}})=0}
permettent également d'exprimer des liens entre
d
i
v
(
E
→
t
)
{\displaystyle {\rm {div}}({\vec {E}}_{t})}
et Ez .
On a
d
i
v
(
E
→
t
)
=
∂
E
x
∂
x
(
x
,
y
)
+
∂
E
y
∂
y
(
x
,
y
)
{\displaystyle {\rm {div}}({\vec {E}}_{t})={\frac {\partial E_{x}}{\partial x}}(x,y)+{\frac {\partial E_{y}}{\partial y}}(x,y)}
On exploite l'équation de Maxwell :
d
i
v
(
E
→
)
=
0
⇔
e
j
(
k
z
−
ω
t
)
(
∂
E
x
∂
x
(
x
,
y
)
+
∂
E
y
∂
y
(
x
,
y
)
+
j
k
E
z
(
x
,
y
)
)
=
0
{\displaystyle {\rm {div}}({\vec {E}})=0\Leftrightarrow e^{j(kz-\omega t)}\left({\frac {\partial E_{x}}{\partial x}}(x,y)+{\frac {\partial E_{y}}{\partial y}}(x,y)+jkE_{z}(x,y)\right)=0}
d
i
v
(
E
→
t
)
=
−
j
k
E
z
{\displaystyle {\rm {div}}({\vec {E}}_{t})=-jkE_{z}}
De même,
d
i
v
(
B
→
)
=
0
{\displaystyle {\rm {div}}({\vec {B}})=0}
implique :
d
i
v
(
B
→
t
)
=
−
j
k
B
z
{\displaystyle {\rm {div}}({\vec {B}}_{t})=-jkB_{z}}
Exploitons maintenant l'équation
r
o
t
→
(
E
→
)
=
−
∂
B
→
∂
t
{\displaystyle {\overrightarrow {\rm {rot}}}({\vec {E}})=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}
∇
→
∧
E
→
=
∂
∂
x
∂
∂
y
∂
∂
z
∧
E
x
(
x
,
y
)
e
j
(
k
z
−
ω
t
)
E
y
(
x
,
y
)
e
j
(
k
z
−
ω
t
)
E
z
(
x
,
y
)
e
j
(
k
z
−
ω
t
)
=
e
j
(
k
z
−
ω
t
)
(
∂
E
z
∂
y
(
x
,
y
)
−
E
y
(
x
,
y
)
j
k
)
e
j
(
k
z
−
ω
t
)
(
E
x
(
x
,
y
)
j
k
−
∂
E
z
∂
x
(
x
,
y
)
)
e
j
(
k
z
−
ω
t
)
(
∂
E
y
∂
x
(
x
,
y
)
−
∂
E
x
∂
y
(
x
,
y
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {E}}&={\begin{array}{|l}{\frac {\partial }{\partial x}}\\{\frac {\partial }{\partial y}}\\{\frac {\partial }{\partial z}}\\\end{array}}\wedge {\begin{array}{|l}E_{x}(x,y)e^{j(kz-\omega t)}\\E_{y}(x,y)e^{j(kz-\omega t)}\\E_{z}(x,y)e^{j(kz-\omega t)}\\\end{array}}&={\begin{array}{|l}\displaystyle {e^{j(kz-\omega t)}\left({\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}(x,y)-E_{y}(x,y)jk\right)}\\\displaystyle {e^{j(kz-\omega t)}\left(E_{x}(x,y)jk-{\frac {\partial E_{z}}{\partial x}}(x,y)\right)}\\\displaystyle {e^{j(kz-\omega t)}\left({\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial E_{x}}{\partial y}}(x,y)\right)}\\\end{array}}\end{aligned}}}
Le rotationnel de
E
→
t
{\displaystyle {\vec {E}}_{t}}
vaut :
∇
→
∧
E
→
t
=
∂
∂
x
∂
∂
y
∂
∂
z
∧
E
x
(
x
,
y
)
E
y
(
x
,
y
)
0
=
(
∂
E
y
∂
x
(
x
,
y
)
−
∂
E
x
∂
y
(
x
,
y
)
)
u
→
z
{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {E}}_{t}&={\begin{array}{|l}{\frac {\partial }{\partial x}}\\{\frac {\partial }{\partial y}}\\{\frac {\partial }{\partial z}}\\\end{array}}\wedge {\begin{array}{|l}E_{x}(x,y)\\E_{y}(x,y)\\0\\\end{array}}\\&=\left({\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial E_{x}}{\partial y}}(x,y)\right){\vec {u}}_{z}\end{aligned}}}
et
r
o
t
→
(
E
→
)
=
−
∂
B
→
∂
t
=
j
ω
B
x
(
x
,
y
)
e
j
(
k
z
−
ω
t
)
j
ω
B
y
(
x
,
y
)
e
j
(
k
z
−
ω
t
)
j
ω
B
z
(
x
,
y
)
e
j
(
k
z
−
ω
t
)
{\displaystyle {\overrightarrow {\rm {rot}}}({\vec {E}})=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}={\begin{array}{|l}j\omega B_{x}(x,y)e^{j(kz-\omega t)}\\j\omega B_{y}(x,y)e^{j(kz-\omega t)}\\j\omega B_{z}(x,y)e^{j(kz-\omega t)}\\\end{array}}}
r
o
t
→
(
E
→
t
)
=
j
ω
B
z
u
→
z
{\displaystyle {\overrightarrow {\rm {rot}}}({\vec {E}}_{t})=j\omega B_{z}{\vec {u}}_{z}}
Par ailleurs, en remarquant que
∇
→
E
z
∧
u
→
z
=
∂
E
z
∂
x
(
x
,
y
)
∂
E
z
∂
y
(
x
,
y
)
0
∧
0
0
1
=
∂
E
z
∂
y
(
x
,
y
)
−
∂
E
z
∂
x
(
x
,
y
)
0
{\displaystyle {\vec {\nabla }}E_{z}\wedge {\vec {u}}_{z}={\begin{array}{|l}\displaystyle {{\frac {\partial E_{z}}{\partial x}}(x,y)}\\\displaystyle {{\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}(x,y)}\\0\end{array}}\wedge {\begin{array}{|l}0\\0\\1\end{array}}={\begin{array}{|l}\displaystyle {{\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}(x,y)}\\\displaystyle {-{\frac {\partial E_{z}}{\partial x}}(x,y)}\\0\end{array}}}
et que
u
→
z
∧
E
→
t
=
−
E
y
(
x
,
y
)
E
x
(
x
,
y
)
0
{\displaystyle {\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {E}}_{t}={\begin{array}{|l}-E_{y}(x,y)\\E_{x}(x,y)\\0\end{array}}}
, on aboutit au résultat suivant :
j
ω
B
→
t
=
u
→
z
∧
(
j
k
E
→
t
−
∇
→
E
z
)
{\displaystyle j\omega {\vec {B}}_{t}={\vec {u}}_{z}\wedge (jk{\vec {E}}_{t}-{\vec {\nabla }}E_{z})}
De manière analogue, l'exploitation de l'équation
r
o
t
→
(
B
→
)
=
1
c
2
∂
E
→
∂
t
{\displaystyle {\overrightarrow {\rm {rot}}}({\vec {B}})={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}
donne
{
r
o
t
→
(
B
→
t
)
=
−
j
ω
c
2
E
z
u
→
z
−
j
ω
c
2
E
→
t
=
u
→
z
∧
(
i
k
B
→
t
−
∇
→
B
z
)
{\displaystyle {\begin{cases}{\overrightarrow {\rm {rot}}}({\vec {B}}_{t})=\displaystyle {-{\frac {j\omega }{c^{2}}}E_{z}{\vec {u}}_{z}}\\\displaystyle {-{\frac {j\omega }{c^{2}}}{\vec {E}}_{t}={\vec {u}}_{z}\wedge (ik{\vec {B}}_{t}-{\vec {\nabla }}B_{z})}\\\end{cases}}}
Combinons les équations :
−
j
ω
c
2
E
→
t
=
u
→
z
∧
(
u
→
z
∧
(
j
k
E
→
t
−
∇
→
E
z
)
k
ω
−
∇
→
B
z
)
⇔
−
j
ω
2
ω
c
2
E
→
t
=
u
→
z
∧
(
u
→
z
∧
(
i
k
2
ω
E
→
t
−
k
ω
∇
→
E
z
)
)
+
u
→
z
∧
∇
→
B
z
⇔
−
j
ω
2
ω
c
2
E
→
t
=
u
→
z
∧
(
u
→
z
∧
i
k
2
ω
E
→
t
)
+
k
ω
u
→
z
∧
(
u
→
z
∧
∇
→
E
z
)
+
u
→
z
∧
∇
→
B
z
⇔
−
j
ω
2
ω
c
2
E
→
t
=
−
i
k
2
ω
E
→
t
−
k
ω
∇
→
E
z
+
u
→
z
∧
∇
→
B
z
⇔
j
ω
(
ω
2
c
2
−
k
2
)
E
→
t
=
k
ω
∇
→
E
z
−
u
→
z
∧
∇
→
B
z
{\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {j\omega }{c^{2}}}{\vec {E}}_{t}={\vec {u}}_{z}\wedge \left({\vec {u}}_{z}\wedge (jk{\vec {E}}_{t}-{\vec {\nabla }}E_{z}){\frac {k}{\omega }}-{\vec {\nabla }}B_{z}\right)&\Leftrightarrow -{\frac {j\omega ^{2}}{\omega c^{2}}}{\vec {E}}_{t}={\vec {u}}_{z}\wedge \left({\vec {u}}_{z}\wedge \left(i{\frac {k^{2}}{\omega }}{\vec {E}}_{t}-{\frac {k}{\omega }}{\vec {\nabla }}E_{z}\right)\right)+{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {\nabla }}B_{z}\\&\Leftrightarrow -{\frac {j\omega ^{2}}{\omega c^{2}}}{\vec {E}}_{t}={\vec {u}}_{z}\wedge \left({\vec {u}}_{z}\wedge i{\frac {k^{2}}{\omega }}{\vec {E}}_{t}\right)+{\frac {k}{\omega }}{\vec {u}}_{z}\wedge ({\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {\nabla }}E_{z})+{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {\nabla }}B_{z}\\&\Leftrightarrow -{\frac {j\omega ^{2}}{\omega c^{2}}}{\vec {E}}_{t}=-{\frac {ik^{2}}{\omega }}{\vec {E}}_{t}-{\frac {k}{\omega }}{\vec {\nabla }}E_{z}+{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {\nabla }}B_{z}\\&\Leftrightarrow {\frac {j}{\omega }}\left({\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}-k^{2}\right){\vec {E}}_{t}={\frac {k}{\omega }}{\vec {\nabla }}E_{z}-{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {\nabla }}B_{z}\\\end{aligned}}}
E
→
t
=
−
j
k
⊥
2
(
k
∇
→
E
z
−
ω
u
→
z
∧
∇
→
B
z
)
{\displaystyle {\vec {E}}_{t}=-{\frac {j}{k_{\perp }^{2}}}(k{\vec {\nabla }}E_{z}-\omega {\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {\nabla }}B_{z})}
Propriété
La connaissance complète de Ez et Bz permet de remonter à la structure complète de
E
→
{\displaystyle {\vec {E}}}
et
B
→
{\displaystyle {\vec {B}}}
.