Onde mécanique progressive/Pourquoi la guitare émet-elle un son ?

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Source du son : la corde de la guitare

On va étudier le comportement de la corde avec les approximations suivantes :

• le poids de la corde est négligeable devant la tension de la corde;
• la tension de la corde a une valeur constante (corde inextensible et non élastique), on note $\|{\overrightarrow {T}}\|=T_{0}$.

D'après le théorème fondamental de la dynamique appliqué à l'élément de corde dans le référentiel d'étude, supposé galiléen on a :

$\mu {\rm {d}}x{\overrightarrow {a}}={\overrightarrow {T_{1}}}+{\overrightarrow {T_{2}}}$

où $\mu$ désigne la masse linéique de la corde. En projetant cette relation sur l'axe $(Oz)$ :

$\mu {\rm {d}}x{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}(x,t)=-T_{0}\sin \left(\alpha (x)\right)+T_{0}\sin \left(\alpha (x+{\rm {d}}x)\right)$

Soit en effectuant le développement limité de $\sin \left(\alpha (x)\right)$ au premier ordre : $\sin \left(\alpha (x+{\rm {d}}x)\right)-\sin \left(\alpha (x)\right)={\frac {\partial \sin \alpha }{\partial x}}{\rm {d}}x$ :

$\mu {\rm {d}}x{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}(x,t)=T_{0}{\frac {\partial \sin \alpha }{\partial x}}{\rm {d}}x$

L'angle $\alpha$ étant petit $\sin \alpha \sim \alpha \sim \tan \alpha \sim {\frac {z(x+{\rm {d}}x,t)-z(x,t)}{{\rm {d}}x}}\sim {\frac {\partial z}{\partial x}}(x,t)$, on obtient l'équation différentielle :

$\mu {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}(x,t)=T_{0}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}(x,t)$

Soit :

${\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}(x,t)-{\frac {\mu }{T_{0}}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}(x,t)=0$

Cette équation est appelée équation de d'Alembert.

Que l’on note aussi:

${c^{2}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}(x,t)-{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}(x,t)=0$

${c^{2}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}(x,t)={\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}(x,t)$

Où c est la célérité de l'onde. Et donc $c={\sqrt {\frac {T_{0}}{\mu }}}$

Mouvements possibles

On suppose que la corde est tendue à l'extrémité gauche, ce qui correspond à $z(0,t)=0$. On note aussi $l$ la longueur de la corde. De plus, à la condition initiale $t=0$, on suppose que la corde est au repos, c'est-à-dire que $z(x,0)=0$. De ces deux conditions initiales on déduit entièrement l'évolution temporelle du mouvement de la corde. Deux cas sont possibles :

1. Un mouvement ponctuel à l'extrémité droite de la corde. Dans ce cas, on peut supposer $z(l,t)=z_{0}(t)\neq 0$ pour $t$ suffisamment petit. L'équation différentielle devient alors :

$\mu {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}(x,t)=T_{0}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}(x,t),\quad 0\leqslant x\leqslant l$

avec les conditions initiales $z(0,t)=0$ et $z(l,t)=z_{0}(t)$. La solution de cette équation différentielle est :

$z(x,t)=z_{0}(t-{\frac {x}{c}})$

Fichier:Onde mécanique dans une corde.png

Onde mécanique dans une corde

1. Un mouvement ponctuel au milieu de la corde. Dans ce cas, on peut supposer $z\left({\frac {l}{2}},t\right)=z_{0}(t)\neq 0$ pour $t$ suffisamment petit. L'équation différentielle devient alors :

$\mu {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}(x,t)=T_{0}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}(x,t),\quad 0\leqslant x\leqslant l$

avec les conditions initiales $z\left({\frac {l}{2}},t\right)=z_{0}(t)$ et $z(0,t)=z(l,t)=0$. La solution de cette équation différentielle est :

$z(x,t)={\frac {z_{0}(t-{\frac {|x-{\frac {l}{2}}|}{c}})}{2}}$

Fichier:Onde mécanique dans une corde.png

Onde mécanique dans une corde