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Onde mécanique progressive : Pourquoi la guitare émet-elle un son ?
Onde mécanique progressive/Pourquoi la guitare émet-elle un son ? », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On va étudier le comportement de la corde avec les approximations suivantes :
- le poids de la corde est négligeable devant la tension de la corde;
- la tension de la corde a une valeur constante (corde inextensible et non élastique), on note
.
D'après le théorème fondamental de la dynamique appliqué à l'élément de corde dans le référentiel d'étude, supposé galiléen on a :
![{\displaystyle \mu {\rm {d}}x{\overrightarrow {a}}={\overrightarrow {T_{1}}}+{\overrightarrow {T_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff97daff9a5faa02805e206e04175351efdb6537)
où
désigne la masse linéique de la corde. En projetant cette relation sur l'axe
:
![{\displaystyle \mu {\rm {d}}x{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}(x,t)=-T_{0}\sin \left(\alpha (x)\right)+T_{0}\sin \left(\alpha (x+{\rm {d}}x)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a1c78e978555578c65b5d7d02c5dd6aaf7bc36c)
Soit en effectuant le développement limité de
au premier ordre :
:
![{\displaystyle \mu {\rm {d}}x{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}(x,t)=T_{0}{\frac {\partial \sin \alpha }{\partial x}}{\rm {d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d733649c0a7717c9e400ad48224e9b63cf442b4)
L'angle
étant petit
, on obtient l'équation différentielle :
![{\displaystyle \mu {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}(x,t)=T_{0}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}(x,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c80c12a7498a7b02042c9c957bd08269a8c81097)
Soit :
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}(x,t)-{\frac {\mu }{T_{0}}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}(x,t)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/558a1c10cf448cc1d70c31c5f9f22a73561776f2)
Cette équation est appelée équation de d'Alembert.
Que l’on note aussi:
![{\displaystyle {c^{2}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}(x,t)-{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}(x,t)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/946b0f5b8dd134fad7a64700bd9390375c181674)
![{\displaystyle {c^{2}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}(x,t)={\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}(x,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d1207171108a461b1152d6b1a1aa6ab7cddc761)
Où c est la célérité de l'onde.
Et donc
On suppose que la corde est tendue à l'extrémité gauche, ce qui correspond à
. On note aussi
la longueur de la corde. De plus, à la condition initiale
, on suppose que la corde est au repos, c'est-à-dire que
. De ces deux conditions initiales on déduit entièrement l'évolution temporelle du mouvement de la corde. Deux cas sont possibles :
- Un mouvement ponctuel à l'extrémité droite de la corde. Dans ce cas, on peut supposer
pour
suffisamment petit. L'équation différentielle devient alors :
![{\displaystyle \mu {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}(x,t)=T_{0}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}(x,t),\quad 0\leqslant x\leqslant l}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/343958a7dcbb2f4e28db2062b22131ae449878a0)
- avec les conditions initiales
et
. La solution de cette équation différentielle est :
![{\displaystyle z(x,t)=z_{0}(t-{\frac {x}{c}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/288a0a2e0f7e5cec92f38dabd8b652e2615bdc74)
- Un mouvement ponctuel au milieu de la corde. Dans ce cas, on peut supposer
pour
suffisamment petit. L'équation différentielle devient alors :
![{\displaystyle \mu {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}(x,t)=T_{0}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}(x,t),\quad 0\leqslant x\leqslant l}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/343958a7dcbb2f4e28db2062b22131ae449878a0)
- avec les conditions initiales
et
. La solution de cette équation différentielle est :
![{\displaystyle z(x,t)={\frac {z_{0}(t-{\frac {|x-{\frac {l}{2}}|}{c}})}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8996a9cd29dae53a3e8952ec0bf98319354d589e)