Nombres complexes/Fiche/Nombres complexes et trigonométrie

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Fiche mémoire sur les nombres complexes et la trigonométrie
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Nombres complexes/Fiche/Nombres complexes et trigonométrie
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Rappels sur les nombres complexes[modifier | modifier le wikicode]

  • Inégalité triangulaire :
  • Pour tous réels vérifiant , il existe un réel tel que : et


Rappels sur la trigonométrie[modifier | modifier le wikicode]

Dérivée des fonctions usuelles[modifier | modifier le wikicode]

Cosinus, sinus et tangente d'une somme[modifier | modifier le wikicode]

Produit de cosinus, sinus ou tangente[modifier | modifier le wikicode]

Somme de cosinus, sinus ou tangente[modifier | modifier le wikicode]

Formules de duplication[modifier | modifier le wikicode]

Formules de linérisation[modifier | modifier le wikicode]

Substitution de la tangente[modifier | modifier le wikicode]

On pose


Formules avancées[modifier | modifier le wikicode]

Formule d'Euler[modifier | modifier le wikicode]

  • Remarque : On utilisera ces deux formules pour linéariser des expressions de la forme

Formule de Moivre[modifier | modifier le wikicode]

  • Soient et , alors :

Binôme de Newton[modifier | modifier le wikicode]

  • Rappel :
  • Soient des nombres réels ou complexes et un entier naturel

Application du binôme[modifier | modifier le wikicode]

  • Soient et , alors :


Racines nième d'un nombre complexe d'équations du second degré[modifier | modifier le wikicode]

Introduction[modifier | modifier le wikicode]

  • Soit , alors admet exactement racines ièmes 2 à 2 distinctes.
  • Les racines carrées des nombres complexes de sont et .

Racines de l'unité[modifier | modifier le wikicode]

  • Les racines de l'unité sont :
  • Les racines cubiques de l'unité sont , et , où :
  • De plus, on a : et

Calculs algébriques des racines carrées[modifier | modifier le wikicode]

  • Pour obtenir les racines carrées de sous forme algébrique, on résout

Résolution d'une équation du second degré à coefficients complexes[modifier | modifier le wikicode]

  • Soient des nombres complexes avec
    On veut résoudre .
    On pose .
    • Si , les solutions de l'équation sont et (où est une racine carrée de )
    • Si , alors l'équation a une solution double :

Remarque : si et sont solutions de l'équation , alors et

Proposition sur la somme et le produit des racines[modifier | modifier le wikicode]

  • Si et sont des nombres complexes dont on connaît la somme et le produit .
    Alors et sont solutions de l'équation .

Application des nombres complexes à la géométrie[modifier | modifier le wikicode]

Quelques rappels utiles ...[modifier | modifier le wikicode]

  • Soient des points de (avec et )
    • Les points sont alignés si et seulement si

Transformations usuelles[modifier | modifier le wikicode]

  • L'application se traduit géométriquement par la translation de vecteur
  • L'application se traduit géométriquement par la symétrie d'axe (Ox).
  • L'application se traduit géométriquement par la transformation avec :
  • L'application se traduit géométriquement par la transformation où : (où est l'unique point fixe d'affixe )
    Cette transformation est appelée similitude directe de centre , d'angle et de rapport .

Notion de disque[modifier | modifier le wikicode]

  • Le disque ouvert de centre et de rayon est :
  • Le disque fermé de centre et de rayon est :

Expression avancée du scalaire de deux vecteurs[modifier | modifier le wikicode]

  • Soient et des vecteurs de , alors on a :
  • Soient des points de , alors les vecteurs et sont orthogonaux si et seulement si :

Racines de l'unité[modifier | modifier le wikicode]

  • L'ensemble des racines ièmes de l'unité forme un polygone régulier à côtés (racines cubiques : triangle ; racines 4e : carré ; ...)