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Soit 5 couples
(
x
i
,
y
i
)
,
i
(
−
2
,
−
1
,
0
,
+
1
,
+
2
)
{\displaystyle (x_{i},y_{i}),i(-2,-1,0,+1,+2)}
Puis soit 7 couples
(
x
i
,
y
i
)
,
i
(
−
3
,
−
2
,
−
1
,
0
,
+
1
,
+
2
,
+
3
)
{\displaystyle (x_{i},y_{i}),i(-3,-2,-1,0,+1,+2,+3)}
La mission consiste, si vous l'acceptez, à déterminer une fonction qui répond, soit exactement, soit au mieux au sens de la régression, à ces données.
Possibilités , parmi d'autres à trouver :
______________________________________________________________________________________________
1ere forme de modèle :
y
i
=
y
0
+
S
∗
s
i
n
h
h
(
ω
s
∗
i
)
+
C
∗
(
1
−
c
o
s
h
h
(
ω
c
∗
i
)
)
{\displaystyle y_{i}=y_{0}+S*sinhh(\omega _{s}*i)+C*(1-coshh(\omega _{c}*i))}
hh signifie que la fonction sin ou cos peuvent être selon les calculs harmonique ou hyperbolique
{
y
−
2
=
y
0
+
S
∗
s
i
n
h
h
(
ω
s
∗
−
2
)
+
C
∗
(
1
−
c
o
s
h
h
(
ω
c
∗
−
2
)
)
y
−
1
=
y
0
+
S
∗
s
i
n
h
h
(
ω
s
∗
−
1
)
+
C
∗
(
1
−
c
o
s
h
h
(
ω
c
∗
−
1
)
)
y
+
1
=
y
0
+
S
∗
s
i
n
h
h
(
ω
s
∗
+
1
)
+
C
∗
(
1
−
c
o
s
h
h
(
ω
c
∗
+
1
)
)
y
+
2
=
y
0
+
S
∗
s
i
n
h
h
(
ω
s
∗
+
2
)
+
C
∗
(
1
−
c
o
s
h
h
(
ω
c
∗
+
2
)
)
{\displaystyle {\begin{cases}y_{-2}=y_{0}+S*sinhh(\omega _{s}*-2)+C*(1-coshh(\omega _{c}*-2))\\y_{-1}=y_{0}+S*sinhh(\omega _{s}*-1)+C*(1-coshh(\omega _{c}*-1))\\y_{+1}=y_{0}+S*sinhh(\omega _{s}*+1)+C*(1-coshh(\omega _{c}*+1))\\y_{+2}=y_{0}+S*sinhh(\omega _{s}*+2)+C*(1-coshh(\omega _{c}*+2))\end{cases}}}
{
y
+
2
+
y
−
2
=
2
∗
y
0
+
C
∗
(
1
−
c
o
s
h
h
(
ω
c
∗
2
)
)
y
+
1
+
y
−
1
=
2
∗
y
0
+
C
∗
(
1
−
c
o
s
h
h
(
ω
c
∗
1
)
)
{\displaystyle {\begin{cases}y_{+2}+y_{-2}=2*y_{0}+C*(1-coshh(\omega _{c}*2))\\y_{+1}+y_{-1}=2*y_{0}+C*(1-coshh(\omega _{c}*1))\end{cases}}}
{
y
+
2
−
y
−
2
=
S
∗
s
i
n
h
h
(
ω
s
∗
2
)
y
+
1
−
y
−
1
=
S
∗
s
i
n
h
h
(
ω
s
∗
1
)
{\displaystyle {\begin{cases}y_{+2}-y_{-2}=S*sinhh(\omega _{s}*2)\\y_{+1}-y_{-1}=S*sinhh(\omega _{s}*1)\end{cases}}}
Plus rapide et plus stylé consiste à dire que tout échantillonnage peut se décomposer en une somme d'un échantillonnage pair et d'un échantillonnage impair
Ce qui donne ici
(
x
i
,
y
i
)
=
(
x
i
,
y
i
+
y
−
i
2
)
+
(
x
i
,
y
i
−
y
−
i
2
)
{\displaystyle (x_{i},y_{i})=(x_{i},{\frac {y_{i}+y_{-i}}{2}})+(x_{i},{\frac {y_{i}-y_{-i}}{2}})}
Soit
{
y
+
2
−
y
−
2
2
=
S
∗
s
i
n
h
h
(
ω
s
∗
2
)
y
+
1
−
y
−
1
2
=
S
∗
s
i
n
h
h
(
ω
s
∗
1
)
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {y_{+2}-y_{-2}}{2}}=S*sinhh(\omega _{s}*2)\\{\frac {y_{+1}-y_{-1}}{2}}=S*sinhh(\omega _{s}*1)\end{cases}}}
{
y
+
2
+
y
−
2
2
=
y
0
+
C
∗
(
1
−
c
o
s
h
h
(
ω
c
∗
2
)
)
y
+
1
+
y
−
1
2
=
y
0
+
C
∗
(
1
−
c
o
s
h
h
(
ω
c
∗
1
)
)
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {y_{+2}+y_{-2}}{2}}=y_{0}+C*(1-coshh(\omega _{c}*2))\\{\frac {y_{+1}+y_{-1}}{2}}=y_{0}+C*(1-coshh(\omega _{c}*1))\end{cases}}}
:D'où l'on déduit par calculie les cosinus harmonique ou hyperbolique de ws et wc puis S et C
________________________________________________________________________________________________
2eme forme de modèle :
y
i
=
y
0
+
e
−
k
x
2
∗
(
S
∗
s
i
n
h
h
(
ω
∗
x
)
+
C
∗
(
1
−
c
o
s
h
h
(
ω
∗
x
)
)
{\displaystyle y_{i}=y_{0}+e^{-kx^{2}}*(S*sinhh(\omega *x)+C*(1-coshh(\omega *x))}
{
y
−
2
=
y
0
+
e
−
k
4
∗
(
S
∗
s
i
n
(
ω
∗
−
2
)
+
C
∗
(
1
−
c
o
s
(
ω
∗
2
)
)
y
−
1
=
y
0
+
e
−
k
1
∗
(
S
∗
s
i
n
(
ω
∗
−
1
)
+
C
∗
(
1
−
c
o
s
(
ω
∗
1
)
)
y
+
1
=
y
0
+
e
−
k
1
∗
(
S
∗
s
i
n
(
ω
∗
+
1
)
+
C
∗
(
1
−
c
o
s
(
ω
∗
1
)
)
y
+
2
=
y
0
+
e
−
k
4
∗
(
S
∗
s
i
n
(
ω
∗
+
2
)
+
C
∗
(
1
−
c
o
s
(
ω
∗
2
)
)
{\displaystyle {\begin{cases}y_{-2}=y_{0}+e^{-k4}*(S*sin(\omega *-2)+C*(1-cos(\omega *2))\\y_{-1}=y_{0}+e^{-k1}*(S*sin(\omega *-1)+C*(1-cos(\omega *1))\\y_{+1}=y_{0}+e^{-k1}*(S*sin(\omega *+1)+C*(1-cos(\omega *1))\\y_{+2}=y_{0}+e^{-k4}*(S*sin(\omega *+2)+C*(1-cos(\omega *2))\end{cases}}}
OU
3ème forme cas particulier de la 2ème :
y
i
=
y
0
+
K
e
−
k
x
2
∗
(
s
i
n
h
h
(
ω
s
∗
x
)
+
(
1
−
c
o
s
h
h
(
ω
c
∗
x
)
)
{\displaystyle y_{i}=y_{0}+Ke^{-kx^{2}}*(sinhh(\omega _{s}*x)+(1-coshh(\omega _{c}*x))}
{
y
−
2
=
y
0
+
K
e
−
k
4
∗
(
s
i
n
(
ω
s
∗
−
2
)
+
(
1
−
c
o
s
(
ω
c
∗
2
)
)
y
−
1
=
y
0
+
K
e
−
k
1
∗
(
s
i
n
(
ω
s
∗
−
1
)
+
(
1
−
c
o
s
(
ω
c
∗
1
)
)
y
+
1
=
y
0
+
K
e
−
k
1
∗
(
s
i
n
(
ω
s
∗
+
1
)
+
(
1
−
c
o
s
(
ω
c
∗
1
)
)
y
+
2
=
y
0
+
K
e
−
k
4
∗
(
s
i
n
(
ω
s
∗
+
2
)
+
(
1
−
c
o
s
(
ω
c
∗
2
)
)
{\displaystyle {\begin{cases}y_{-2}=y_{0}+Ke^{-k4}*(sin(\omega _{s}*-2)+(1-cos(\omega _{c}*2))\\y_{-1}=y_{0}+Ke^{-k1}*(sin(\omega _{s}*-1)+(1-cos(\omega _{c}*1))\\y_{+1}=y_{0}+Ke^{-k1}*(sin(\omega _{s}*+1)+(1-cos(\omega _{c}*1))\\y_{+2}=y_{0}+Ke^{-k4}*(sin(\omega _{s}*+2)+(1-cos(\omega _{c}*2))\end{cases}}}
OU
Toute combinaison d'une fonction paire t d'une fonction impaire avec 5 inconnues en tout,y0 comptant pour 1 . Des combinaisons à n'en plus finir , ce qui amène à des test de présélection
_________________________________________________________________________________________________
Puis au -delà , par exemple si on souhaite n'avoir que des harmoniques, et avec 7 couples de données
y
t
=
y
0
+
e
−
k
s
t
2
∗
A
s
i
n
(
ω
s
∗
t
)
+
e
−
k
c
t
2
∗
B
(
1
−
c
o
s
(
ω
c
∗
t
)
)
{\displaystyle y_{t}=y_{0}+e^{-k_{s}t^{2}}*Asin(\omega _{s}*t)+e^{-k_{c}t^{2}}*B(1-cos(\omega _{c}*t))}
{
y
−
2
=
y
0
+
e
−
4
k
s
∗
A
s
i
n
(
ω
s
∗
−
2
)
+
e
−
4
k
c
∗
B
(
1
−
c
o
s
(
ω
c
∗
2
)
)
y
−
1
=
y
0
+
e
−
k
s
∗
A
s
i
n
(
ω
s
∗
−
1
)
+
e
−
k
c
∗
B
(
1
−
c
o
s
(
ω
c
∗
1
)
)
y
+
1
=
y
0
+
e
−
k
s
∗
A
s
i
n
(
ω
s
∗
+
1
)
+
e
−
k
c
∗
B
(
1
−
c
o
s
(
ω
c
∗
1
)
)
y
+
2
=
y
0
+
e
−
4
k
s
∗
A
s
i
n
(
ω
s
∗
+
2
)
+
e
−
4
k
c
∗
B
(
1
−
c
o
s
(
ω
c
∗
2
)
)
{\displaystyle {\begin{cases}y_{-2}=y_{0}+e^{-4k_{s}}*Asin(\omega _{s}*-2)+e^{-4k_{c}}*B(1-cos(\omega _{c}*2))\\y_{-1}=y_{0}+e^{-k_{s}}*Asin(\omega _{s}*-1)+e^{-k_{c}}*B(1-cos(\omega _{c}*1))\\y_{+1}=y_{0}+e^{-k_{s}}*Asin(\omega _{s}*+1)+e^{-k_{c}}*B(1-cos(\omega _{c}*1))\\y_{+2}=y_{0}+e^{-4k_{s}}*Asin(\omega _{s}*+2)+e^{-4k_{c}}*B(1-cos(\omega _{c}*2))\end{cases}}}
_____________________________________________________________
y
i
=
y
0
+
(
1
−
e
−
k
s
x
2
)
∗
A
s
i
n
(
ω
s
∗
x
)
+
(
1
−
e
−
k
c
x
2
)
∗
B
c
o
s
(
ω
c
∗
x
)
{\displaystyle y_{i}=y_{0}+(1-e^{-k_{s}x^{2}})*Asin(\omega _{s}*x)+(1-e^{-k_{c}x^{2}})*Bcos(\omega _{c}*x)}
{
y
−
2
=
y
0
−
(
1
−
e
−
4
k
s
)
∗
A
s
i
n
(
ω
s
∗
2
)
+
(
1
−
e
−
4
k
c
)
∗
B
c
o
s
(
ω
c
∗
2
)
y
−
1
=
y
0
−
(
1
−
e
−
k
s
)
∗
A
s
i
n
(
ω
s
∗
1
)
+
(
1
−
e
−
k
c
)
∗
B
(
1
−
c
o
s
(
ω
c
∗
1
)
)
y
+
1
=
y
0
+
(
1
−
e
−
k
s
=
∗
A
s
i
n
(
ω
s
∗
+
1
)
+
(
1
−
e
−
k
c
)
∗
B
(
1
−
c
o
s
(
ω
c
∗
1
)
)
y
+
2
=
y
0
+
(
1
−
e
−
4
k
s
)
∗
A
s
i
n
(
ω
s
∗
2
)
+
(
1
−
e
−
4
k
c
)
∗
B
c
o
s
(
ω
c
∗
2
)
{\displaystyle {\begin{cases}y_{-2}=y_{0}-(1-e^{-4k_{s}})*Asin(\omega _{s}*2)+(1-e^{-4k_{c}})*Bcos(\omega _{c}*2)\\y_{-1}=y_{0}-(1-e^{-k_{s}})*Asin(\omega _{s}*1)+(1-e^{-k_{c}})*B(1-cos(\omega _{c}*1))\\y_{+1}=y_{0}+(1-e^{-k_{s}}=*Asin(\omega _{s}*+1)+(1-e^{-k_{c}})*B(1-cos(\omega _{c}*1))\\y_{+2}=y_{0}+(1-e^{-4k_{s}})*Asin(\omega _{s}*2)+(1-e^{-4k_{c}})*Bcos(\omega _{c}*2)\end{cases}}}
_________________________________________________________________________
y
i
=
y
0
+
A
x
2
k
e
−
k
a
x
2
+
B
x
2
h
+
1
e
−
k
b
x
2
{\displaystyle y_{i}=y_{0}+Ax^{2k}e^{-k_{a}x^{2}}+Bx^{2h+1}e^{-k_{b}x^{2}}}
{
y
−
2
=
y
0
+
A
x
2
k
e
−
k
a
4
−
B
x
2
k
+
1
e
−
k
b
4
y
−
1
=
y
0
+
A
x
2
k
e
−
k
a
1
−
B
x
2
k
+
1
e
−
k
b
1
y
+
1
=
y
0
+
A
x
2
k
e
−
k
a
1
+
B
x
2
k
+
1
e
−
k
b
1
y
+
2
=
y
0
+
A
x
2
k
e
−
k
a
4
+
B
x
2
k
+
1
e
−
k
b
4
{\displaystyle {\begin{cases}y_{-2}=y_{0}+Ax^{2k}e^{-k_{a}4}-Bx^{2k+1}e^{-k_{b}4}\\y_{-1}=y_{0}+Ax^{2k}e^{-k_{a}1}-Bx^{2k+1}e^{-k_{b}1}\\y_{+1}=y_{0}+Ax^{2k}e^{-k_{a}1}+Bx^{2k+1}e^{-k_{b}1}\\y_{+2}=y_{0}+Ax^{2k}e^{-k_{a}4}+Bx^{2k+1}e^{-k_{b}4}\end{cases}}}
___________________________________________________________________________
y
i
=
y
0
+
A
x
2
k
(
1
−
e
−
k
a
x
2
)
+
B
x
2
h
+
1
(
1
−
e
−
k
b
x
2
)
{\displaystyle y_{i}=y_{0}+Ax^{2k}(1-e^{-k_{a}x^{2}})+Bx^{2h+1}(1-e^{-k_{b}x^{2}})}
{
y
−
2
=
y
0
+
A
x
2
k
(
1
−
e
−
k
a
4
)
−
B
x
2
k
+
1
(
1
−
e
−
k
b
4
)
y
−
1
=
y
0
+
A
x
2
k
(
1
−
e
−
k
a
1
)
−
B
x
2
k
+
1
(
1
−
e
−
k
b
1
)
y
+
1
=
y
0
+
A
x
2
k
(
1
−
e
−
k
a
1
)
+
B
x
2
k
+
1
(
1
−
e
−
k
b
1
)
y
+
2
=
y
0
+
A
x
2
k
(
1
−
e
−
k
a
4
)
+
B
x
2
k
+
1
(
1
−
e
−
k
b
4
)
{\displaystyle {\begin{cases}y_{-2}=y_{0}+Ax^{2k}(1-e^{-k_{a}4})-Bx^{2k+1}(1-e^{-k_{b}4})\\y_{-1}=y_{0}+Ax^{2k}(1-e^{-k_{a}1})-Bx^{2k+1}(1-e^{-k_{b}1})\\y_{+1}=y_{0}+Ax^{2k}(1-e^{-k_{a}1})+Bx^{2k+1}(1-e^{-k_{b}1})\\y_{+2}=y_{0}+Ax^{2k}(1-e^{-k_{a}4})+Bx^{2k+1}(1-e^{-k_{b}4})\end{cases}}}
OU
Toute combinaison de fonction paire et de fonction impaire avec 7 inconnues en tout
