Maximum de vraisemblance

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Exercices proposés

Exercice 1. (Théorème de la limite centrale) Soit (Xn)n une suite de variables aléatoires i.i.d. centrées de variance σ 2 > 1. Soit Zn = 1 σ √ n Xn j=1 Xj . Par le théorème de la limite centrale, cette variable converge en loi vers la loi normale centrée réduite, c’est-à-dire, pour tout t ∈ R, on a limn→+∞ E[e itZn ] = e − t 2 2 . L’objet de cet exercice est de montrer que la suite Zn ne peut pas converger en probabilité. 1. Calculer la fonction caractéristique de Z2n − Zn et montrer que cette différence converge en loi. 2. En étudiant P(|Z2n − Zn| ≥ �), montrer que Zn ne converge pas en probabilité.

Exercice 2.

(X1, X2, ..., XN ) Ã i.i.d.Γ(1, a), donc la vraisemblance de a est : l(a; x1, x2, ..., xN ) = Y N i=1 1 a e −xi/a = 1 aN exp− 1 a P i xi L(a; x1, x2, ..., xN; ) = lnl(a, x1, x2, ..., xN ) = −Nln(a) − 1 a X i xi L’estimateur du maximum de vraisemblance ˆa r´ealise le maximum en a de L(a; x1, x2, ..., xN ). La fonction objectif est deux fois continˆument d´erivable pour a > 0 : nous pouvons appliquer les r´esultats classiques d’optimisation. La condition n´ecessaire d’ordre 1 (CN1) est ∂ ∂aL(a; x1, x2, ..., xN ) = 0ena = ba Une condition suffisante d’ordre2 (CS2) est ∂ 2 ∂a2 L(a; x1, x2, ..., xN ) < 0ena = ba

Exercice 3.

Dans le cas d'une étude de faisabilité, on considère le modèle exponentiel {}. En utilisant à chaque fois l'observation d'un échantillon  . Répondre aux questions suivantes:

a) Rappeler l'expression de l'estimateur du maximum de Vraisemblance dans le modèle.

b) Etudier la consistance, le biais, le risque quadratique de cet estimateur.

c) Si cet estimateur est biaisé, est- il asymptotiquement sans biais?