Leçons de niveau 15

Mathématiques en MP/Devoir/Intégrale dépendant d'un paramètre

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Intégrale dépendant d'un paramètre
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Devoir no1
Cours : Mathématiques en MP

Devoir de niveau 15.

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Mathématiques en MP/Devoir/Intégrale dépendant d'un paramètre
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Pour , on pose

.
— Ⅰ —
  1. Montrer que est bien définie sur et que est une intégrale divergente.
  2. Montrer que est décroissante.
  3. Montrer que
    .
  4. On définit la fonction par
    .
    Montrer que est dérivable et exprimer sa dérivée.
  5. En déduire que est dérivable et que
    .


— Ⅱ —

Dans les questions suivantes, on étudie le comportement de au voisinage de puis au voisinage de . Il est conseillé d'utiliser la formule .

  1. Montrer que
    .
  2. En déduire un équivalent de au voisinage de .
  3. Montrer que
    ,
    avec
    .
  4. Montrer que est définie et continue sur .
  5. Déduire des questions précédentes l'équivalent suivant en  : .